1、1开放探究专题开放探究题是相对于条件完备，结论明确的题型而言的，其特征是满足结论的条件不全，或满足条件的结论不唯一，或推理过程不确定，需要同学们依据题意与要求进行猜想、探索、发现、归纳来补全所需条 件，结论或选择相关的求解途径这类问题知识覆盖面广，题型灵活多变，是当前初中阶段培养学生创新意识与探究能力的数学问题一、条件开放型条件开放探究题一般是已给出问题的结论，而要求补加满足结论条件的一类题型，其特征是问题的条件不完备，且所要补充的条件不一定是得出结论的所必须的条 件，即不一定由结论唯一推出解条件开放型问题的一般思 路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步
2、探求其合乎要求的一些条件例 1 （2015娄底）如图 1，已知 AB=BC，要使ABDCBD，还需要加一个条件，你添加的条件是_,(只需写一个，不添加辅助线).解析：由已知 AB=BC 及公共边 BD=BD 可知，要使ABDCBD，已经具备了两条边相等，根据全等三角形的判定定理，应该有两种方法 SAS 或 SSS 能使这两个三角形全等所以可添ABD=CB D 或AD=CD评注：根据图形探究三 角形全等的条件，除了根据基本判定方法以外，还应善于挖掘图形中隐藏条件（如公共边、公共角、对顶角等），以及线段的和差、角的和差关系等例 2 （2015梅州）已知，ABC 中，点 E 是 AB 边的中点，点
3、F 在 AC 边上，若以A，E，F 为顶点的三角形与ABC 相似，则需要增加的一个条件是_（写出一个 即可）解析：本题由于没有确定相似三角形的对应顶点，所以应分两种情况讨论：当AEFABC 时（如图 2-） ，由点 E 为 AB 中点，得 AF= AC（或点 F 为 AC 中 点，EFBC，AEF=B 等） ；若使AFEABC（如图 2-） ，则应添加AFE=ABC 或AEF=ACB 等评注：本题考查了相似三角形判定的方法，可添加的条件较多，要注意题目中公共角这一隐藏条件的应用跟踪训练：1（2015黔东南）如图，在四边形 ABCD 中，AB/CD，连接 BD.请添加一个适当的条件_，使得ABD
4、CDB.（只需写一个）.DCBA图 1EB C AE FA CFB 图 22第 1 题图 第 2 题图2（2015牡丹江）如图，四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，AO=CO，请添加一个条件_（只添一个即可），使四边形 ABCD 是平行四边形.二、结论开放型结论开放探究题是根据给出的问题条件探究相应的结论，而符合条件的结论往往呈现多样性，可很好的培养学生的发散思维在解答结论开放性探究题时，要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻地分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证做出取舍；对于需要找出多个结论的结论开放性问题，可以运用分类讨论的思想，从各个不同的侧面入手，进
5、行探索、分析，寻找问题的结论例 3 （2015淄博）对于两个二次函数 ， ，满1y2足 当 时，二次函数 的函数值为 5，且二次函数 有83221xym1 2y最小值 3请写出两个符合题意的二次函数 的解析式_（要求：写出的解析式2y的对称轴不能相同） 分析：已知当 x=m 时，二次函数 y1的函数值为 5，且二次函数 y2有最小值 3，故抛物线 的顶点坐标为（m，3） ，设出顶点式求出 m 的确值即可2y解：因为当 时，二次函数 的函数值为 5， 的函数值为 3，此时 ，x12 821y所以当 时， ，即 得 或 ，又因为032x032m此时 有最小值，故抛物线 的顶点坐标为( ，3)，用顶
6、点式设出解析式为2yym，随着 取值的不同， 的解析式也不断变化，如当 时，解析2mxaa2y1a式为 和 32y322xy评注：本题考查了二次函数的图象和性质，解答本题的关键是求出 的值例 4 （2015崇左）如图 3，线段 AB 是 O 的直径，点C 在圆上， AOC80，点 P 是线段 AB 延长线上的一动点，连结 PC，则 APC 的度数是_度（写出一个即可）分析：根据三角形外角性质可知，APC 的度数大于零度，且小于APC 度数，故只需求出ABC 度数，便可确定APC 的度数的范围解：因为圆周角 ABC 与圆心角 AOC 对的是同一条弧，所以 ABC AOC40根据三角形的一个外角大
7、于和它不相邻的任何一个内角，知12 APC ABC，即 0 APC40，据此写一个度数即可 COA B P图 33评注：此题主要考查了圆周角定理，根据题意得出 ABC 的度数是解题关键跟踪训练：3（2015益阳）已知 y 是 x 的反比例函数，当 x 0 时， y 随 x 的增大而减小请写出一个满足以上条件的函数表达式 4.（2015义乌）如果抛物线 过定点 M（1 ，1），则称此抛物线为定点2abc抛物线小敏写出了一条定点抛物线的一个解析式 y=2x2+3x4请你写出一个不同于小敏的答案_BA CD第 4 题图5（2015潜江天门）我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.如图，四边形AB
8、CD 是一个筝形，其中 AB=CB， AD=CD请你写出与筝形 ABCD 的角或者对角线有关的一个结 论，并证明你的结论.三、综合开放性问题综合开放型问题又称为条件、结论全开放型问题，此类问题没有明确的条件 和结论，并且符合条件的结论具有多样性，要求学生通过合理推理，透彻分析总结出结论，从而培养学生的发散思维能力根据这类问题的特点，在解答时，必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断例 5 如图 4，点 A、B、D、E 都在圆上，弦 AE 的延长线与弦BD 的延长线相交于点 C给出以下三个论断：AB 是
9、圆的直径；点 D 是 BC 中点；AB=AC以三个论断中的两个作为已知条件，第三个作为结论，写出一个你认为正确的命题，并加以证明分析：以三个论断中两个为条件，一个为结论，共有三种组合：即由 推出；由推出 ；由推出然后分别根据图形，结合所学知识，分析三个组合的正确与否即可解：正确的命题可以是由推出，证明如下：连接 AD，因为 AB 是圆的直径，所以 ADBC.又因为点 D 为 BC 中点，所以 AD 垂直平分 BC.所以 AB=AC（由推出和由推出也都是真命题，证明过程请自主完成）评注：本题属于条件和结论全开放的问题，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质和90的圆周角与直径的关系是解答本题的关键跟踪
10、训练6如图，有以下 3 个条件：AC=AB，ABCD，1=2，从这 3 个条件中任选 2个作为题设，另 1 个作为结论，则组成的命题是真命题的概率是 （ ）DCEAB 图 44A.0 B. C. D.1第 6 题图7.（2015烟台）先化简： ，再从2 x3 的范围内选取一个21()xx你喜欢的 x 值代入求值.四、存在性问题存在性问题是指在一定条件下，探索发现某种数学关系是否存在的一类问题，它往往有“是否存在”“是否成立”等词语出现解答此类问题的方法是首先对问题的结论作出肯定存在的假设，按题目中条件和所学知识进行推理、计算，若推出的结论合理，则说明假设成立，反之，则假设不成立例 5 （201
11、5攀枝花，有改动）如图 5，已知抛物线y=x 2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） 、B（3，0）两点，与 y轴交于点 C求该抛物线的解析式；在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点 D，使得BCD 的面积最大？若存在，求出 D 点坐标及BCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由分析：把 A（1，0） 、B（3，0）两点代入 y=x 2+bx+c 即可求出抛物线的解析式，设 D（ ， ） ，过点 D 作 DHx 轴于点 H，交 BC 于点 G，设BCD 的面积为t2tS，根据 ，即可求出 S 与 t 之间的函数关系式，从而求出 D 点坐标CGBDCS及BCD 面积的最大值.解：把 A
12、（1，0） 、B（3，0）两点代入 y=x 2+bx+c 中得，解得所以抛物线的解析式为 y=x 2+2x+3.存在，理由如下：设 D（ ， ）.过点 D 作 DHx 轴于点 H，交 BC 于点 G，由易得点 C 的t32t坐标为（0，3），设直线 BC 的解析式为 ，将 B（3，0）和 C（0，3）代入，得bkxy，解得 ，0b3k1-3G图 55所以直线 BC 的解析式为 ，则 G 点坐标为（ ， ）.3xyt3所以 DG= = -（ ）= ，GDy2tt2设BCD 的面积为 S，且 ，CDBCDS所以 S= = ，配方，得 S=ttt13212t1.87t所以当 时，面积有最大值为 ，此
13、时点 D 坐标为（ ， ）.23t82723415评注：在解答坐标系中三角形面积问题时，通常是将所求三角形转化为边在坐标轴上的三角形，或一些边与坐标轴平行的三角形面积之和或面积之差。跟踪训练：8（2015黔东南）如图，已知二次函数 的图像与 轴的一个交点为cxy41321 xA（4,0），与 轴的交点为 B，过 A、B 的直线为 .y bk（1）求二次函数 的解析式及点 B 的坐标；1（2）由图像写出满足 的自变量 的取值范围；2y（3）在两坐标轴上是否存在点 P，使得ABP 是以 AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由.第 8 题图跟踪训练参考答案：1 ，或 ，或 ，或 .ABCDB =AC=DB2ABCD；或 ACBD；或BAO=DCO；或ABO=CDO；或 DO=BO；或ADO=CBO.3答案不唯一，如 4本题答案不唯一，如 y=x22x+25（1）DAB=DCB；（2）BD 平分ADC 和ABC；（3）DBAC，DB 平分 AC 等均可证明略.6.D7.原式= 可取 x=2 代入上式， = =421x21x注：所代入的数值不能是-1、0、1，其他的均可，8.（1） ，点 B 的坐标为(0,3).342xy（2）x0 或 x4.6
