1、- 1 -2018 年秋四川省泸县一中高二期中考试数学（理）试题注意事 项：1.本试卷分第卷和第卷两部分，共 4 页， 答题前，考生须将自己的姓名、班级、考号写在答题卡指定的位置上。考试结束，只上交答题卡。2.选择题的每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应 题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上。非选择题须使用黑色字迹的笔在答题卡上书写。第卷（选择题 60 分）一选择题：（共 12 小题，每小题 5 分，共计 60 分，每小题仅有一个选项是正确的）1. 椭圆 的焦点坐标是213xyA ， B ， C ， D(,0)(,)(2,0)(,(0,2)(,
2、），,22.设点 P 是椭圆 上的一点，且点 P 到左焦点的距离是 2，则点 P 到右焦点的距离2159xy是A3 B4 C6 D83.若圆 的一条切线是 ，那么实数 的值为22()(3)5xay2yxaA. 4 或 1 B. 4 或 C. 1 或 D. 或14144抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是xy2 32xA. B. C1 D.12 32 35.过双曲线 的右焦点 ，倾斜角为 的直线交双曲线于 两点，2136xy2F30 ,AB|A. B C. D15316516- 2 -6. 若 x, y 满 足 约 束 条 件 ， 则 的 最 小 值 为1yx2yA.-3 B.0 C. D.
3、337. 圆 C: 关 于 直 线 l： 对 称 的 圆 的 方 程 为20xy10xyA. B.43 20xyC. D.210xy8.设点 A(2,3),B(3,2),直线 过点 P(1,2)且与线段 AB 相交,则 的斜率 k 的取值范围是llA. B. 5或 k 15kC. D. 1 或 9.已知直线 l：3 x4 y m0 和圆 C： x2 y24 x2 y10，且圆 C 上至少存在两点到直线l 的距离为 1，则 m 的取值范围是A(-17,13) B(17，7) C(17，7)(3,13) D17，73,1310已知点 是抛物线 上的一个动点，则点 到点 的距离与 到该抛物线P24y
4、xPA(0,2)P准线的距离之和的最小值为A B3 C D5 1729211.直线 与曲线 有两个不同 的交点，则实数的 k 的取值范围4)2(xky4xy是A. B. C. D.43,125),125(43,21)125,0(12抛物 线 与圆 交于 两点，点 为劣弧 上不同2:Wyx2:5Cy,ABPAB于 的一个动点，与 轴平行的直线 交抛物线 于点 ，则 的周长的取值,ABPQWQC范围是A. B. C. D. 10,212,410,49,1第 II 卷(非选择题 90 分)- 3 -二填空题（本 大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20.0 分）13. 双 曲 线 的实 轴 长 为
5、 25160xy14.圆 ,求圆心到直线 的距离是02:,02: yxlC l_.15.已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上，且 SC平面 ABC,若SC=AB=AC=1, BAC=120,则球 O 的表面积为 .16.已知椭圆 C：错误！未找到引用源。，点 M 与 C 的焦点不重合，若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A，B，线段 MN 的中点在 C 上，则错误！未找到引用源。 .三解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.(本小题 10 分) 已知圆 C 的圆心在直线 ，半径为 5，且圆 C 经过点 和点 求圆 C01yx )0,2(P)1,5(Q的标准方程
6、；18.(本小题 12 分) 已知直线 l 经过抛物线 y26 x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A， B 两点(1)若直线 l 的倾斜角为 60，求| AB|的值；(2)若| AB|9，求线段 AB 的中点 M 到准线的距离19.(本小题 12 分) - 4 -如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，底面是边长为 1 的正方形，侧棱 PD1，PA PC ，2(1)求证： PD平面 ABCD；(2)求证：平面 PAC平面 PBD；(3)求二面角 P AC D 的正切值20.(本小题 12 分) 已知椭圆 的左右焦点分别是 ，椭圆上有不同的三点 ，且2159xy12,F,ABC, 成等差数列。2B
7、FO22|,|AFBC（1）求弦 的中点 的横坐标M（2）设弦 的垂直平分线的方程为 ，求 的取值范围(0)ykxm21. (本小题 12 分) 从 抛 物 线 上 各 点 向 x 轴 作 垂 线 ， 垂 线 段中 点 的 轨 迹 为 E.216yx（ 1） 求 曲 线 E 的 方 程 ;（ 2） 若 直 线 与 曲 线 E 相 交于 A, B 两 点 ， 求 证 ： OA OB；4yx（ 3） 若点 F 为曲 线 E 的 焦 点 ， 过 点 的直 线 与 曲 线 E 交 于 M, N 两 点， 直 线 MF,NF 分(2,0)Q别与曲线 E 交于 C,D 两点，设直线 MN,CD 斜率分别为
8、 ，求 的值1,2k1,2k- 5 -22（本小题满分 12 分）椭圆 E： 的左焦点为 F1，右焦点为 F2，离心率 ，过 F1的直线交21(0)xyab 2e椭圆于 A、 B 两点，且 ABF2的周长为 8.（1）求椭圆 E 的方程；（2）设动直线 l： y kx m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P，且与直线 x4 相交于点 Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点 M，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由.- 6 -2018 年秋四川省泸县一中高二期中考试数学（理）试题答案1选择题1.A 2.D 3.B 4.B 5.A 6.A 7.C 8.D
9、 9.A 10.A 11.C 12.A二填空题13.8 14. 15. 16.251217.设圆 C： ，点 C 在直线 上，则有 ，圆 C 经过点 和点 ，即： ，解得： ， 所以，圆 C：18.(1)因为直线 l 的倾斜角为 60，所以其斜率 ktan 60 .3又 F ，所以直线 l 的方程为 y ； 联立)0,23( 3 )2(x)2(6xy消去 y 得 x25x 0.94设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x25，而| AB| AF| BF| x1 x2 x1 x2 p，p2 p2所以| AB|538.(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由抛物线定
10、义知|AB| AF| BF| x1 x2 p x1 x23，所以 x1 x26，于是线段 AB 的中点 M 的横坐标是 3.又准线方程是 x ，所以 M 到准线的距离为 3 .32 32 9219 （1）证明：PD=DC=1,PC= ,2PD 2+DC2=PC2,PDDC,同理 PDDA,DCDA=D, PD平面 ABCD- 7 -(2)证明：由（1）知 PD平面 ABCD，AC 平面 ABCD，PDAC,又底面是 ABCD 正方形，BDAC,又BDPD=D,AC平面 PDB,又AC 平面 PAC,平面 PAC平面 PBD；（3）解：设 AC、BD 相交于点 O，连接 PO，则由（2）知AC平
11、面 PDB,DO 平面 PDB,PO 平面 PDB,ACDO 且 ACPO,POD 就是二 面角 P AC D 的平面角.在 RtPDO 中，PD=1,DO= ,2tanPOD= ,二面角 P AC D 的正切值为 220.由题意知， ，设 ，由焦半径公式，得59|),04(22BF),(),(21yxCA，因为 成等差数列，所以2212|,5| xCxAF22|,|FB，由此有 ，所以弦 的中点的横坐标59)()(81xA4x（2）将 代入 ，故4x(0)ykxm)4(,mkM则 ，又21kOMxyAC21将 分别带入椭圆方程，两式相减得21,yx和 645k所以， ，点 .694mk)16
12、9(4,又由点 在椭圆 内，故 ，)1(,M925yx19)6(2542m- 8 -解得 516m21. 解（ 1） 令 抛 物 线 上 一 点 , 设 .0()Pxy(,)Exy由 已 知 得 , 满 足 ， , 则 ，即 .00,2xy,21620016x2416yx 曲 线 E 的 方 程 为 ： 4x（2） 由 ，可 得 ， 设 ， 由 于 ,2yx216012(,)(,)AxyB21460由 韦 达 定 理 可 知 ： ，1212,x，122(4)4()61yx ， OA OB.120OABy（3）设 ，直线 MN： ，则234(,)(,)MN2xty1kt由 得24xty280ty
13、则 恒成立，163t3434,8yt设2256(,)(,)4yCDy由 M,F,C 三点共线，得 , ，化简为： ，从而MFCk352214y534y234(,)Cy同理，由 N,F,D 三点共线，得 6244,(,)yDy所以 ；所以34342281()yk kt2122. (1)因为| AB| AF2| BF2|8，即| AF1| F1B| AF2| BF2|8，又| AF1| AF2| BF1| BF2|2 a，所以 4a8， a2.又因为 ，即 ，所以 c1，所以 .eca223bc- 9 -故椭圆 E 的方程是 .2143xy(2)由 ，得(4 k23) x28 kmx4 m2120
14、.2143ykmx因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0， y0)，所以 m0 且 错误！未找到引用源。0，即 64k2m24(4 k23)(4 m212)0， 化简得 4k2 m230.(*)此时 ， y0 kx0 m ，0243x所以 P( ， ). 由 得 Q(4,4k m).km4xk假设平面内存在定点 M 满足条件，由图形对称性知，点 M 必在 x 轴上.设 M(x1,0)， 则 对满足(*)式 的 m， k 恒成立.0因为 ， (4 x1,4k m)，由 错误！未找到引用源。143,)kPxmQ 0PQ，得 ，2114630kxk整理，得 .(*)211()4xxm由于(*)式对满足(*)式的 m， k 恒成立，所以 解得 x11.12403x故存在定点 M(1,0)，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M.
