1、- 1 -20182019 学年度第一学期高三 12 月份调研卷数学（理科）试题考试时间 120 分钟 ，满分 150 分。仅在答题卷上作答。一、选择题（本题有 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。）1.若全集为实数集 ，集合 ，则 （ ）R12log0AxA. B. C. 1,2,10,2D. ,2.若 ,则复数 （ ）12izzA. B. C. i2i2iD. 23.若变量 满足约束条件 ,则 的最大值是（ ）,xy21 yxyA. B. 0 C. 52 52D. 34.在 中，点 为边 上一点，若 ， ， ， ABCDABCD32AC3AD，则 的面积是（ ）sin3A. B. C
2、. 92152- 2 -D. 62125.如图所示的一个算法的程序框图，则输出 的最大值为（ ）A. B. 2 C. D. 6.已知抛物线 ，圆 过点 的直线 交圆2:4Myx22:1Nyr(0)1,l于 两点，交抛物线 于 两点，且满足 的直线 恰有三条，则 的N,CD,ABACBDlr取值范围为( )A. B. C. 30,2r1,2r2,rD. ,7.已知函数 的图象经过点 ， 当 时， (0,1)xfab1,3P2,5Q*nN，记数列 的前 项和为 ，当 时， 的值为（ ）1nafnnS0A. 7 B. 6 C. 5 D. 48.下列函数中，在 上与函数 的单调性和奇偶性都相同的是（
3、）1,2cosxyA. B. C. D. 2xy12yxyx- 3 -9.已知函数 f(x)e x(x1) 2(e 为 2.718 28)，则 f(x)的大致图象是( )A. B. C. D.10.设 、 分别为双曲线 （ ， ）的左、右焦点， 为双曲线右1F221xyab0abP支上任一点若 的最小值为 ，则该双曲线离心率 的取值范围是（ ）21P8eA. B. C. 0, 1,32,3D. 311.设当 时，函数 取得最大值，则 （ ）xsin2cofxxcosA. B. C. 25 5D. 512.在平行四边形 中， ，边 ， ，若 、 分别是边 、ABCD602AB1DMNBC上的点，
4、且满足 ，则 的取值范围是（ ）CDMNA. B. C. 1,31,52,4D. 25二、填空题（本题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）13.在 中， ， ，若 为 外接圆的圆心（即满足ABC3AB5ACOABC），则 的值为_.OO- 4 -14.抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是抛物线上的两个动点，且满足2(0)ypxFlAB，设线段 的中点 在 上的投影为 ，则 的最大值是_3AFBABMlNM15.已知函数 ，若 在区间 上存在零点，则 的sin04fxfx,2取值范围为_16.已知数列 的前 项和是 ，且 ，则数列 的通项公式 _三、解答题（本题有 6 小题，共 70 分
5、。）17. （12 分）设函数 其中 且 .()log(2)log(3),aafxx0a1（1）已知 ,求 的值；(4)1fa（2）若在区间 上 恒成立，求 的取值范围.3()1fx18.（10 分）已知双曲线 1( a0， b0)的右焦点为 F(c,0)(1)若双曲线的一条渐近线方程为 y x 且 c2，求双曲线的方程；(2)以原点 O 为圆心， c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为 A，过 A 作圆的切线，斜率为 ，求双曲线的离心率19. （12 分）已知等比数列 中， .na*1120,64nnnaNa（1）求 的通项公式；na（2）设 ，求数列 的前 项和 .21lognba
6、nb22nT20. （ 12 分）如图，椭圆 的左右焦点分别为的 、 ，离心21:xyC(0)a1F2率为 ；过抛物线 焦点 的直线交抛物线于 、 两点，当 时， 322:4xbyFMN74点在 轴上的射影为 。连结 并延长分别交 于 、 两点，连接 ； Mx1,NO1CABA与 的面积分别记为 ， ，设 .ONABMSABONABS（）求椭圆 和抛物线 的方程；1C2- 5 -（）求 的取值范围.21. （12 分）已知函数 的图象关于直线3sin(0,)2fxx对称，且图象上相邻两个最高点的距离为 .3x（1）求 和 的值；（2）若 ，求 的值.32()46f 3cos222. （12 分
7、）设函数 .ln,1xfxge(1)关于 的方程 在区间 上有解，求 的取值范围；x2103fm,3m(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.0gxafa- 6 -数学（理科）试题参考答案1.D 2.D 3.D 4.C 5.C 6.C 7.D 8.D 9.C 10.B 11.C 12.D13.8 14.1 15. 16.15,8417.（1） .（2） .a0a【解析】（1） .1(4)log(2)log(43)2aaf a（2）2225()l(56)l(),aafxxx由 得 由题意知 故 ，03,3,32从而 ，故函数 在区间 上单调5()(2)0aa25()4agx3,4a递增.若
8、则 在区间 上单调递减，所以 在区间 上的01,()fx3,4()fx,最大值为 ，即 ，解得23log9)1a29a，又 ，所以 .57572a或 00若 则 在区间 上单调递增，所以 在区间 上的31,()fx3,4a()fx3,4a最大值为 ， ，24log16)fa216a解得 ，与 联立无解.1333综上： .0a18.（1） 1（2）- 7 -【解析】 (1)双曲线的渐近线为 y x， a b， c2 a2 b22 a24， a2 b22，双曲线方程为 1.(2)设点 A 的坐标为( x0， y0)，直线 AO 的斜率满足 ( )1， x0 y0.依题意，圆的方程为 x2 y2 c
9、2，将代入圆的方程得 3 c2，即 y0 c， x0 c，点 A 的坐标为 ，代入双曲线方程得 1，即 b2c2 a2c2 a2b2，又 a2 b2 c2，将 b2 c2 a2代入式，整理得 c42 a2c2 a40，3 48 240，(3 e22)( e22)0， e1， e ，双曲线的离心率为 .19.（1） （2）17*,64nnaN213n【解析】（1）设等比数列 的公比为 ，则 ，naq0因为 ，所以 ，12nna112nna因为 ，解得 ，0q所以 ；17*2,64nnaN（2） ，22 27loglog17nnnnnnba设 ，则 ，7c1c222222123421341n n
10、nnTbccc - 8 -121234342121nnccccc.2123421673n n20.(1) , ;(2) .xy2xy,【解析】（）由抛物线定义可得 ，7,4Mcb点 M 在抛物线 上，24xby ，即 27c227c又由 ，得 3a2b将上式代入，得 7解得 1,b 3,c，2a所以曲线 的方程为 ，曲线 的方程为 。 1C214xy2C24xy（）设直线 的方程为 ，MNk由 消去 y 整理得 ，2 4ykx240x设 ， .1,)（ 2,则 ，2x设 ， ，ONkmOMk则 ，212164yx- 9 -所以 ， 14m设直线 的方程为 ，ONyx(0)m由 ，解得 ，2 4
11、yx4N所以 ，2211由可知，用 代替 ，4m可得 ， 22116MOMxm由 ，解得 ，2 14yx241A所以 ，22AOmx用 代替 ，可得14 2211664BmBx所以22221416= 14OMNABmS m 22221144mm，当且仅当 时等号成立。所以 的取值范围为 . ,21.（1） ；（2） .- 10 -【解析】（1）由题意可得函数 的最小正周期为 ， fx2=，再根据图象关于直线 对称，可得3x2+,3kZ结合 ，可得26（2）32()4f13sin.sin664再根据0215cos1sin66422.（1） ；（2） .35ln,l40a【解析】（1）方程 即为
12、，令213fxxm27ln3xm，则 ， 当27ln03hx13 xhx时， 随 变化情况如表：1,hxx31,23,23- 11 -hx043 极大值 ln32， 当 时， 351,ln2,ln24hh 1,x， 的取值范围是 .35l,l4xm35l,ln24（2）依题意，当 时， 恒成立，令0xgxfa，则ln10xFxgfex，令 ，则当 时， 1 x xe1xGe0， 函数 在 上递增， 0xGxe,， 存在唯一的零点 ，且当 时， 01,1x,1cxc，当 时， ，则当 时， ，当xc0Gx0E时， ， 在 上递减，在 上递增，从而,c0FxF,c,c，由 得 ，两边取对数得2ln1Fxecc10,e， ，即实数 的取值范围是 .ln0c,xaa0a
