1、- 1 -广东省湛江第一中学 2018-2019学年高一上学期第一次大考数学试题考试时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题（每题 5分，共 12题 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目只有一项符合题目要求的）1.设集合 A0,2,4,6,8,10， B4,8，则 AB( )A. 4,8 B. 0,2,6C. 0,2,6,10 D. 0,2,4,6,8,10【答案】C【解析】【分析】根据补集定义求解.【详解】 A B4,8， AB0,2,6,10故选 C【点睛】本题考查补集的定义，考查基本求解能力.2.函数 的定义域为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析
2、】函数 有意义，要求【详解】函数 有意义，要求 故答案为：C.【点睛】这个题目考查了具体函数的定义域问题，对于函数定义域问题，首先分式要满足分母不为 0，根式要求被开方数大于等于 0，对数要求真数大于 0，幂指数要求底数不等于 0即可.3.设 ，下列图形中表示集合 A到集合 B的函数图形的是( )- 2 -A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：A 选项中，图象过原点（0，0） ，纵坐标为 0，与值域 B矛盾；B 选项中，图象上个点的横坐标均在0，2上，纵坐标均在1，2上，故正确；C，D 选项中，值域均为1，2，与题干中的值域矛盾；故正确选项为 B考点：函数图象与定义域，值域的关系
3、4.设函数 = 则 ( )A. B. C. 1 D. 4【答案】D【解析】【分析】根据函数的解析式得到 = ， .【详解】函数 = , = , .故答案为：D.【点睛】这个题目考查了分段函数的解析式和性质，求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 的形式时，应从内到外依次求值;求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.- 3 -5.若 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】所以6.若 ，则 的值为( )A. 0 B. 1
4、C. D. 1或【答案】C【解析】【分析】由集合相等的性质求出 b=0，a=1，由此能求出 a2017+b2017的值【详解】 ， , b=0, ,a=-1或 1，根据集合元素的互异性得到 a=-1.b=0，a=1，a 2017+b2017=（1） 2017+02017=1故选：C【点睛】本题考查代数式求值，是基础题，解题时要认真审题，注意集合相等的性质的合理运用同时也考查到了集合相等的概念和集合元素的互异性，集合相等即集合元素完全相同，互异性指的是同一个集合内不能有重复的元素.7.若不等式 对任意实数 均成立，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：不等
5、式 对任意实数 均成立等价于 恒成立当 即 时,不等式变形为 ,恒成立；- 4 -当 时依题意可得 综上可得 故 B正确考点：1 一元二次不等式；2 转化思想【易错点晴】本题主要考查的是一元二次不等式恒成立问题考查转化思想,难度中等将原问题转化为 恒成立问题往往考虑二次函数开口向下且判别式小于 0,而忽视二次项系数 等于 0 的情况出错8.已知函数 是定义在 R上的偶函数，当 时， 是增函数，且 ，则不等式 的解集为 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集【详解】偶函数 f（x）在0，+）上为增函数，f
6、（1）=0，f（1）=f（1）=0，则函数 f（x）对应的图象如图：则 f（x）0 的解为1x1，即不等式的解集为（1，1） ，故选：A【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用当函数的解析式比较复杂或者没有解析式的抽象函数，通常采用的方法是研究函数的单调性和奇偶性，从而可以直接比较自变量的大小即可.9.若 与 在区间1，2上都是减函数，则 的取值范围是( )- 5 -A. B. C. 0，1 D. (0，1【答案】D【解析】【分析】f（x）为二次函数，单调性结合图象解决，而 g（x）为指数型函数，单调性只需看底数与 1的大小即
7、可【详解】f（x）=x 2+2ax在区间1，2上是减函数，故对称轴 x=a1；g（x）=（a+1） 1x 在区间1，2上是减函数，只需 a+11，即 a0，综上可得 0a1故选：D【点睛】本题考查已知函数单调性求参数范围，属基本题掌握好基本函数的单调性是解决本题的关键考查了二次函数的单调性，和二次函数的对称轴有关系，指数型函数的单调性，和底数有直接关系.10.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数” ，那么函数解析式为 ，值域为 的“孪生函数”共有( )A. 10个 B. 9 个 C. 8 个 D. 4 个【答案】B【解析】【分析】根据孪生函数的定义，即函数
8、的定义域不同而已， ，解得 x=-1或 1， 解得 x=-2或 2，分别写出函数的定义域即可.【详解】函数解析式为 ，值域为 ，根据孪生函数的定义，即函数的定义域不同而已， ，解得 x=-1或 1， 解得 x=-2或 2，定义域分别可为：-1，-2 ， -1，2 ， 1，2 ， 1，-2 ， -1，1，2 -1，1，-2 ， -1，2，-2 ， 1，-2，2 ， -1，1，-2，2共九个定义域不同的函数.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了函数的三要素，函数的三要素指的是函数的定义域，对应法则，值域，当这三者完全相同时两个函数是同一函数，有一个不同则函数即不为同一函数.- 6 -11.函数 是
9、 上的减函数，则 的取值范围是( )A. （0，1） B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】当 x0 时，函数 f（x）是减函数，当 x0 时，若函数 f（x）=a x是减函数，则0a1要使函数 f（x）在（，+）上是减函数，还需满足 0+33aa 0，从而求得 a的取值范围【详解】当 x0 时，函数 f（x）=x+33a 是减函数，当 x0 时，若函数 f（x）=a x是减函数，则 0a1要使函数 f（x）在（，+）上是减函数，需满足 0+33aa 0，解得 a ，故有即 0a 故答案为:B【点睛】本题主要考查指数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题考查了分段函数已
10、知单调性求参的问题，首先保证每一段上的单调性，之后再保证整个定义域上的单调性.12.已知 是定义域为 的奇函数，满足 ，若 ，则A. B. 0 C. 2 D. 50【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是 4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可【详解】f（x）是奇函数，且 f（1x）=f（1+x） ，f（1x）=f（1+x）=f（x1） ，f（0）=0，则 f（x+2）=f（x） ，则 f（x+4）=f（x+2）=f（x） ，即函数 f（x）是周期为 4的周期函数，- 7 -f（1）=2，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（12）=f（1）=f（1）=2，
11、f（4）=f（0）=0，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+02+0=0，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=12f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选：C【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键一般 函数的对称轴为 x=a， 函数的对称中心为（a,0）.二、填空题（每题 5分，共 4题 20分）13.不论 为何值，函数 的图象一定经过点 P，则点 P的坐标为_.【答案】 【解析】【分析】函数过的定点，即需要指数的次数等于 0即可.【详解】不论 为何值，函数
12、 的图象过的定点为：x-2=0,x=2,代入解析式求得 y=2,故点 P（2，2）.故答案为： .【点睛】本题考查了指数函数型的函数所过的定点，即不受底数的影响，此时使得指数部分为 0即可，形如 的指数型函数过的定点是： .14.已知函数 的定义域是1,1，则 的定义域为_.【答案】【解析】【分析】- 8 -函数 的定义域是1,1, 的范围是 ,即作用法则的范围，即函数 f(x)的定义域.【详解】函数 的定义域是1,1, 的范围是 ，则 的定义域为 x的范围，即括号内能容纳的范围: .故答案为： .【点睛】求函数定义域的类型及求法(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解(2)
13、抽象函数：若已知函数 f(x)的定义域为 a， b，其复合函数 fg(x)的定义域由a g(x) b求出若已知函数 fg(x)的定义域为 a， b，则 f(x)的定义域为 g(x)在 x a， b上的值域15.已知 ， 分别是定义在 R上的偶函数和奇函数，且 ，则_.【答案】1【解析】试题分析： ， ，又 ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函数， ， ， ， 考点：函数的奇偶性16.若关于 的函数 的最大值为 M，最小值为 N，且MN4，则实数 的值为_.【答案】2【解析】【分析】函数 ，g(x)是奇函数，MN【详解】函数 = ,其中 g(x)是奇函数，MN- 9 -故答案为：2.【点睛】本题考
14、查了函数奇偶性的应用，奇函数在对称区间上的最值互为相反数，且在对称点处取得的函数值互为相反数.也用到了判断函数奇偶性的方法：奇函数*奇函数为奇函数，奇函数乘以偶函数是奇函数.三、解答题（本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(1)求值： +(2)已知 ，求 的值【答案】 （1） ； （2）18.【解析】【分析】(1)根据指数幂的运算公式进行计算即可；（2）根据立方和公式和完全平方公式进行化简.【详解】 （）原式= (2) 已知 , = ,代入上式得到 18.【点睛】本题考查了指数幂的运算公式，以及立方和公式的应用，完全平方公式的应用，较为基础.18.已知全
15、集 UR，集合 ， (1)若 ，求 AB；(2)若 AB，求实数 的取值范围【答案】 （1） ； （2） .【解析】【分析】(1) A , ， ;(2) 当 A 时，- 10 -, A时，则由 ，易得 或 ,解出即可，最终将两种情况并到一起.【详解】(1)若 ，则 A ， 又 ， (2)当 A时， ， ，此时满足 AB； 当 A时，则由 ， ，易得 或 ， 或 .综上可知，实数 的取值范围 .【点睛】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集（2）看这些元素满足什么限制条件（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素
16、的互异性19.已知函数 是定义在 上的偶函数，且当 时， （1）现已画出函数 在 轴左侧的图像，如图所示，请补全函数 的图像，并根据图像直接写出函数 的增区间；（2）求函数 的解析式；（3）求函数 的值域。- 11 -【答案】 （1）见解析； （2） ； （3） .【解析】【分析】(1)根据函数的解析式以及偶函数的对称性画出图像即可；（2）设 ，代入解析式求出即可；（3）分段求出函数的值域最终并到一起即可.【详解】 （1） 在区间 上单调递增（2） 函数 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，当 ,.（3）当 时， ， 当 时， ， （或由 是偶函数得到）函数的值域是【点睛】本题考查了分段函数的
17、性质和图像，分段函数的定义域是每一段的定义域并到一起，值域是将每一段的值域并到一起，最值，是分别求出每一段的最值，再从中取最大值或者最小值.20.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比已知投资 1万元时两类产品的年收益分别为 0125 万元和 05 万元（如图） （1）分别写出两种产品的年收益与投资额的函数关系式；- 12 -（2）该家庭现有 20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？【答案】 （1） ； （2）.【解析】试题分析：（1）
18、根据题意，得 ， ，代入点的坐标，求的 的值，即可可得到两种产品的收益与投资的函数关系；（2）投资债券类产品 万元，则股票类投资为万元，令 ，换元利用二次函数的性质，即可求解其最大收益试题解析：（1） ， ， ，（2）设：投资债券类产品 万元，则股票类投资为 万元令 ，则所以当 ，即 万元时，收益最大， 万元考点：函数的实际应用问题视频21.已知定义域为 的函数 是奇函数.（）求实数 的值；（）判断函数 的单调性;- 13 -（）若对任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围【答案】 （）（） 在 上为减函数。（）【解析】试题分析：（）因为 是奇函数，所以 =0，即（）由（）知 ，设 则因为函数
19、 y=2 在 R上是增函数且 0又 0 0即 在 上为减函数。（）因 是奇函数，从而不等式：等价于 ，因 为减函数，由上式推得： 即对一切 有： ，从而判别式考点：函数的奇偶性、单调性，抽象不等式的解法。点评：中档题，本题将函数的奇偶性、单调性，抽象不等式的解法综合在一起考查，注重了学生综合运用数学知识处理问题能力的考查。解答过程中，注意利用转化与化归思想，将抽象不等式问题，转化成具体不等式求解，是正确解题的关键。22.对于区间 ，若函数 同时满足： 在 上是单调函数；函数 ，的值域是 ，则称区间 为函数 的“保值”区间.（1）求函数 的所有“保值”区间.- 14 -（2）函数 是否存在“保值
20、”区间？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】(1) ；(2) 的取值范围是 .【解析】分析：（1）由已知中“保值”区间的定义，结合函数 的值域是 ，我们可得，从而函数 在区间 上单调递增，故有 ，结合 即可得到函数函数 的“保值”区间；（2）由已知中“保值”区间的定义，我们分函数 在区间 上单调递减，和函数 在区间 上单调递增，两种情况分类讨论，分别将用 或 表示，利用二次函数配方法可得到结论.详解：（1）因为函数 的值域是 ，且 在 的最后综合讨论结果，即可得到值域是 ，所以 ，所以 ，从而函数 在区间 上单调递增，故有 ，解得 .又 ，所以 .所以函数 的“保值”区间为
21、.（2）若函数 存在“保值”区间，则有：若 ，此时函数 在区间 上单调递减，所以 ，消去 得 ，整理得 .因为 ，所以 ，即 .又 ，所以 .因为 ，所以 .若 ，此时函数 在区间 上单调递增，- 15 -所以 ，消去 得 ，整理得 .因为 ，所以 ，即 .又 ，所以 .因为 ，所以 .综合、得，函数 存在“保值”区间，此时 的取值范围是 .点睛：本题考查函数的单调性、函数与方程思想以及分类讨论思想的应用、新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求， “照章办事” ，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
