1、1专题 03 导数与应用一、选择题1. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十六次模拟考试】已知函数 2yx的图象在点 20,x处的切线为 l，若 l也与函数 lnyx， 0,1的图象相切，则 0x必满足（ ）A 012 B 0 C D 【答案】D2. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期三调考试】已知函数 满足 ，且存在实数 使得不等式 成立，则 的取值范围为( )A B C D【答案】D【解析】 ， ， ，解得 ， ，解得 ， ， ， 在 递增，而 ， 5. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期二调考试】已知函数 ， ，若 成立，则 的最小值是（ ）A B C D【答案】A【解析】
2、设 ，则 ， ， ， ，令2，则 ， ， 是 上的增函数，又 ，当时， ，当 时， ，即 在 上单调递减，在 上单调递增， 是极小值也是最小值， 3. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期二调考试】已知函数 其中 为自然对数的底数，若函数 与 的图象恰有一个公共点，则实数 的取值范围是_.【答案】【解析】因为 ，所以函数 在区间 上单调递增，且 所以当 时，与 有一个公共点；当 时 ，令 ，即 有一个解即可.设 ，则 得 .因为当 时， 当 时， 所以当 时， 有唯一的极小值 ，即 有最小值，所以当 时，有一个公共点.综上，实数 的取值范围是 . 1当 ke时， ，又 在 1,上单调递减，
3、所以 0hx在,上恒成立，则 hx在 1,上单调递减，又 0h，所以 0hx在 1,上恒成立.2当 10ke时， ， ，又 在 ,上单调递减，所以存在 0,x，使得 0hx，3所以在 01,x上 h，在 0,x上 0hx，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，又 ，所以 x在 01,上恒成立，所以 0hx在 ,上恒成立不可能.综上所述， 1ke.3. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期六调】已知函数 （1）讨论 的导函数 的零点的个数；（2）证明：当 时， 【答案】 （1） ， 没有零点， ， 存在唯一的零点；（2）证明见解析.【解析】 （1） 定义域为 ， 的零点个数 与 的交点个数，
4、 时，无交点， 时，有 1 个交点， 时，无交点（2）由（1） 时，存在唯一 ，使 ，即 ，且 时， 单调递减，时， 单调递增，当 时，4. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十六次模拟考试】已知函数 （ ） ， .（1）当 在 处的切线与直线 垂直时，方程 有两相异实数根，求 的取值范围；（2）若幂函数 的图象关于 轴对称，求使不等式 在 上恒成立的的取值范围.【答案】 （1） ；（2）【解析】 （1）由题设可得 ，令 （ ）则 令 得 .4递减 极小值 递增 ， ， ，且 有两个不等实根， ，即又 ， ，即 时， .所以 在 内单调递增， ，所以 ，即 时，由 在 内单调递增，且 ， .
5、 使得 .递减 极小值 递增所以 的最小值为 .5又 ，所以 .因此，要使当 时， 恒成立，只需 ，即 即可.解得 ，此时 ，可得 ，以下求出 的取值范围. 在 上单调递增， ，从而 ，不符合 题意若 ，当 时， ， 在 上单调递增， ， 在 上单调递增， ,从而在 上 ，不符合题意；若 ，则 在 上恒成立， 在 上单调递减， ， 在 上单调递减， ， 即 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.且当 时， ，当 时， ，要使 有两个不同的根，必有 ，解得6实数 的取值范围是 . ，又 ， ，令 ，则 ， 9. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期三调考试】已知函数 (其中 ， 是自然对数
6、的底数).(1)若 ，当 时，试比较 与 2 的大小；(2)若函数 有两个极值点 ，求 的取值范围，并证明： .【答案】 （1） （2） 见解析（2）函数 有两个极值点 ，则 是 的两个根，即方程 有两个根，7设 ，则 ，当 时， ，函数 单调递增且 ；当 时， ，函数 单调递增且 ；当 时， ，函数 单调递增且 ；要使方程 有两个根，只需 ，如图所示故实数 的取值范围是又由上可知函数 的两个极值点 满足 ，由 得 . 由于 ，故 ，所以10. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期二调考试】已知函数(1)求曲线 在点 处的切线方程；(2)若函数 恰有 2 个零点，求实数 的取值范围.【答案
7、】 （1） （2）8（2）由题意得， ，所以 .由 ，解得 ，故当 时， ， 在 上单调递减；当 时， ， 在 上单调递增.所以 .又 ， ，结合函数的图象可得，若函数恰有两个零点，则 解得 .所以实数 的取值范围为 .11. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期二调考试】已知函数 .(1)当 时，若 在 上恒成立，求 的取值范围；(2)当 时，证明： .【答案】 （1） （2）见解析9（2）因为 ，所以 ， .令 ，则 .当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.所以 ，即当 时， ，所以 在 上单调递减.又因为所以当 时， 当 时，于是 对 恒成立.12. 【河北省衡水中学 20
8、19 届高三上学期二调考试】已知函数 ， ， Rm令 .（）当 12时，求函数 fx的单调递增区间；10（）若关于 x的不等式 恒成立，求整数 m的最小值.【答案】 （1） 0,；（2） .当 0m时， .令 Gx得 1，所以当 10,xm时， 0Gx；当 时， 0Gx.因此函数 x在 0,是增函数，在 是减函数.故函数 Gx的最大值为 .令 ，因为 ， .又因为 hm在 0,上是减函数，所以当 2m时， 0h.所以整数 的最小值为 2.1113. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期二调考试】已知函数 .(1)若函数 在 上为增函数，求 的取值范围；(2)若函数 有两个不同的极值点，记作
9、 ，且 ，证明：.【答案】 （1） （2）见解析（2）由题得， 则因为 有两个极值点 ，所以欲证 等价于证 ，即 ，所以因为 ，所以原不等式等价于 .由 可得 ，则 .由 可知，原不等式等价于 ，即12设 ，则 ，则上式等价于 .令 ，则因为 ，所以 ，所以 在区间 上单调递增， 所以当 时， ，即 ，所以原不等式成立，即 . 14. 【河北省衡水中学 2019 届高三第一次摸底考试】已知函数 ，其中 为自然对数的底数讨论函数 的极值；若 ，证明：当 ， 时， 【答案】 （1） 时， 时，函数 取得极小值； 时，函数 取得极大值； 时，无极值；（2）证明见解析.证明：当 ， 时， ，只要证明
10、即可，13由 可知： 在 内单调递减， ，令 ，函数 在 上单调递减，因此结论成立15. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(一)】已知函数 ,（ ， 为自然对数的底数）（1）试讨论函数 的极值情况；（2）当 且 时，总有【答案】(1) 当 时, 无极值; 当 时, 极大值为 ， 无极小值.(2)见解析.14（2）当 时，设函数 ，则 ，记，则当 变化时， 的变化情况如下表：单调递减 极小值 单调递增由上表可知而由 ，知所以所以 ，即所以 在 内为单调递增函数.所以当 时，即 当且 时，所以 当且 时，总有 .16. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(三)】已知函数 （ ， ）.（1
11、）如果曲线 在点 处的切线方程为 ，求 、 值；（2）若 ， ，关于 的不等式 的整数解有且只有一个，求 的取值范围.【答案】 （1） （2） .15（2）当 时， ，关于 的不等式 的整数解有且只有一个.等价于关于 的不等式 的整数解有且只要一个，构造函数 ，所以 .当 时，因为 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 在 内单调递增.因为 ，所以在 上存在唯一的整数 使得 ，即 .当 时，为满足题意，函数 在 内不存在整数使 ，即 在 上不存在整数使.因为 ，所以 .当 时，函数 ，所以 在 内为单调递减函数，所以 ，即 ；当 时， ，不符合题意.综上所述， 的取值范围为 .17. 【河北省衡水中学
12、 2018 年高考押题(二)】设函数 .16（1）试讨论函数 的单调性；（2）如果 且关于 的方程 有两解 ， ，证明 .【答案】 （1）见解析；（2）见解析.（2）要证 ，只需证 .设 ，因为 ，所以 为单调递增函数.所以只需证 ，即证 ，只需证 .（*） 又 ， ，所以两式相减，并整理，得 .17把 代入（*）式， 得只需证 ，可化为 .令 ，得只需证 .令 （ ） ，则 ，所以 在其定义域上为增函数，所以 .综上得原不等式成立.18. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(二)】在直角坐标系 中，曲线 ： （ 为参数，） ，在以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ：
13、 .（1）试将曲线 与 化为直角坐标系 中的普通方程，并指出两曲线有公共点时 的取值范围；（2）当 时，两曲线相交于 ， 两点，求 .【答案】 （1） 的取值范 围为 ；（2） .18（2）当 时，曲线 ： ，两曲线交点 ， 所在直线方程为 .曲线 的圆心到直线 的距离为 ，所以 .19. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(二)】已知函数 .（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数 的图象，并由图象找出满足不等式 的解集；（2）若函数 的最小值记为 ，设 ，且有 ，试证明： .【答案】 （1）解集为 ；（2）见解析见解析.19（2）证明：由图可知函数 的最小值为 ，即 .所以 ，从而 ，从
14、而 .当且仅当 时，等号成立，即 ， 时，有最小值，所以 得证.20. 【河北省衡水中学 2018 届高三十五模试题】已知函数 .（1）当 01a时，求函数 fx的单调区间；20（2）是否存在实数 a，使得至少有一个 0,x，使 0fx成立，若存在，求出实数 a的取值范围；若不存在，说明理由.（2）先考虑“至少有一个 0,x，使 0fx成立”的否定“ ， fx恒成立”.即可转化为 恒成立.令 ，则只需 0x在 ,恒成立即可，当 10a时，在 10,ex时， 0x，在 时， 0xx的最小值为 ，由 得 1ea，故当 1ea时， fx恒成立，当 0时， 1， 0在 ,x不能恒成立，当 1a时，取
15、x，有 ， 0在 ,x不能恒成立，综上所述，即 e1时，至少有一个 0,x，使 0f成立.21. 【河北省衡水中学 2018 届高三上学期七调考试】已知函数 的最大值为 1e，的图像关于 y轴对称.21（1）求实数 a， b的值.（2）设 ，则是否存在区间 ，使得函数 Fx在区间 ,mn上的值域为 ？若存在，求实数 k的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】 （1） 0a， b.（2）见解析.（2）由（1）知 ， ，则 ，所以 ，令 ，则 对 恒成立，所以 Fx在区间 1,内单调递增，所以 恒成立，所以函数 在区间 内单调递增.假设存在区间 ，使得函数 Fx在区间 ,mn上的值域是 ，则 ，
16、问题转化为关于 x的方程 在区间 1,内是否存在两个不相等的实根，即方程 在区间 1,内是否存在两个不相等的实根，令 ， ,x，则 ，22设 ， 1,x，则 对恒成立，所以函数 p在区间 ,内单调递增，故 恒成立，所以0hx，所以函数 hx在区间 1,内单调递增，所以方程 在区间 1,内不存在两个不相等的实根.综上所述，不存在区间 ，使得函数 Fx在区间 ,mn上的值域是 .22. 【河北省衡水中学 2018 届高三高考押题（一)】已知函数 ， （ ， 为自然对数的底数）.（1）试讨论函数 的极值情况；（2）证明：当 且 时，总有 .【答案】(1) 在 处 取得极大值，且极大值为 ， 无极小值.(2)见解析.故 在 处取得极大值，且极大值为 ， 无极小值.23当 变化时， ， 的变化情况如下表：由上表可知 ，而 ，由 ，知 ，所以 ，所以 ，即 .所以 在 内为单调递增函数.所以当 时， .即当 且 时， .所以当 且 时，总有 .证法二：当 时， .因为 且 ，故只需证 .当 时， 成立；24
