1、1专题 03 导数与应用一、选择题1. 【河北省衡水中学 2018 届高三上学期七调考试数学（理)试题】已知 e为自然对数的底数，若对任意的1,xe，总存在唯一的 0,y，使得 成立，则实数 a的取值范围是（ ）A ,0 B , C 2,e D ,1【答案】B2. 【河北省衡水中学 2018 届高三十六模】已知函数 ，若对任意的0,x,总有 恒成立，记 23mn的最小值为 ,fmn，则 ,f最大值为（ ）A 1 B e C 21 D e【答案】C【解析】由题意得 对任意的 x0,恒成立，所以 230m，令，得 ，当 1x时， 0y；当时， 0y；所以当 123xm时， ，从而，因为 ，所以当
2、1n时， ；当21n 时， ；因此当 1n时， ，选 C. 4. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(三)】已知 0x是方程 的实根，则下列关于实数0x的判断正确有_. ln2 01xe 【答案】.5. 【衡水中学 2019 届高三开学二调考试】曲线 在 1x处的切线倾斜角是（ ）A 16 B 3 C 56 D 23【答案】D【解析】对函数求导则 ，则 ，则倾斜角为 23故本题答案选 D6. 【衡水中学 2019 届高三开学二调考试】若函数 在区间 0,2内有两个不同的零点，则实数 a的取值范围为（ ）A 2,eB 0,2 C2,eD342,e【答案】D37. 【衡水中学 2019 届高三
3、开学二调考试】已知函数 ， ，若对任意的 ，都有 成立，则实数 的取值范围是A B C D【答案】A【解析】令 ，则 ，所以 在 单调递减， 单调递增，所以 ，则 , 2. 【衡水中学 2019 届高三开学二调考试】已知 0,kb且 对任意的 2x恒成立，则 bk的最小值为_ _【答案】1【解析】设 ，则由 得： 12xk，当当时， 0fx，当 时， 0fx，所以当 时， f有唯一极值，也是最小值 ，所以由 对任意的 2x恒成立，得 ，可得 ，因为 0k，故 成立，令 （ 0k） ， ，当 ,1时， 0hk，当41,k时， 0hk，所以当 1k时， ，所以 1bk，故填 三、解答题1. 【河北
4、省衡水中学 2018 届高三毕业班模拟演练一】已知函数 .（1）若函数 恰有一个零点，求实数 的取值范围；（2）设关于 的方程 的两个不等实根 ，求证： （其中 为自然对数的底数）.【答案】(1) (2)见解析当 时，令 ，得 ， 在区间 上， ，函数 单调递增；在区间 上， ，函数 单调递减，故当 时， 取得极大值，5且极大值为 ，无极小值.若 恰有一个零点，则 ，解得 ，综上所述，实数 的取值范围为 .设 ，则上式转化为 ，设 ， ， 在区间 上单调递增， ， ，6即 ，即 . 3. 【河北衡水金卷 2019 届高三 12 月第三次联合质量测评数学（理)试题】已知函数 (1)若 ，证明：当
5、 ；(2)设 ，若函数 上有 2 个不同的零点，求实数 的取值范围【答案】 （1）见解析；（2）（2）法一：（i）当 时， 没有零；（ii）当 时， ，当 时， ；当 时， .所以 在 上单调递减，在 上单调递增.故 是 在 上的最小值若 ，即 时， 在 上没有零点； 7若 ，即 时， 在 上只有 1 个零点； 若 ，即 时，由于 ，所以 在（0，2）上有 1 个零点， 由（1）知，当 时， ， 4. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十次模拟考试数学（理)试题】已知函数 .（1）当 a，求函数 yfx的图象在 0处的切线方程；（2）若函数 fx在 0,1上单调递增，求实数 a的取值范围；（
6、3）已知 ， y， z均为正实数，且 1xyz，求证.【答案】(1) yx (2) (3)见解析8函数 fx在 0,1上单调递增， 0fx在 ,1上恒成立，即 在 ,1上恒成立.设 ， 0,1x， 0x，则 x在 0,1上单调递增， 在 上的值域为 ,2ln. 6. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】 已知函数 .（1）求函数 的单调区间；（2）当 时，函数 的图象恒不在 轴的上方，求实数 的取值范围.【答案】 （1）当 时， 增区间为 ，当 时，递增区间为 ，减区间为 ；（2）.（2）由题意得 ， 9当 时，函数 的图象恒不在 轴的上方， 在 上恒成立设 ，则
7、 .令 ，则 ，若 ，则 ，故 在 上单调递增， ， 在 上单调递增， ， 8. 【河北省衡水中学 2018 届高三十六模】已知函数 （ 为常数， 是自然对数的底数） ，曲线 在点 处的切线与 轴垂直（1）求 的单调区间；（2）设 ，对任意 ，证明： 【答案】 （1） 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；（2）证明见解析.【解析】（1）因为 ，由已知得 ， 所以 ，设 ，则 ，在 上恒成立，即 在 上是减函数，由 知，当 时 ，从而 ，当 时 ，从而 综上可知， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 10综上所述，对任意 令 ，则 恒成立，所以 在 上递增， 恒成立，即 ，即 当 时，有 ；当
8、 时，由式， ，综上所述， 时， 成立，故原不等式成立9. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(二)】设函数 .（1）试讨论函数 的单调性；（2）设 ，记 ，当 时，若方程 有两个不相等的实根 ，证明 .【答案】 （1）见解析；（2）见解析.11（2）证明：由题可知 ，所以 .所以当 时， ；当 时， ；当 时， .欲证 ，只需证 ，又 ，即 单调递增，故只需证明 .设 ， 是方程 的两个不相等的实根，不妨设为 ，则两式相减并整理得 ，从而 ，故只需证明 ，即 .因为 ，12所以（*）式可化为 ，即 .因为 ，所以 ，不妨令 ，所以得到 ， .记 ， ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，因此
9、 在单调递增. （2）因为 g（x）=xlnx-a（x-1） ，注意到 g（1）=0，所以所求问题等价于函数 g（x）=xlnx-a（x-1）在（1，e上没有零点.因为 .所以由 lnx+1-aea-1,所以 g（x）在（0，e a-1）上单调递减，在（e a-1， ）上单调递增. 当 ea-11，即 a1 时，g（x）在（1,e上单调递增，所以 g（x）g(1)=0.此时函数 g（x）在（1,e上没有零点， 当 1ea-1e,即 1a2 时，g（x）在1,e a-1)上单调递减，在（e a-1,e上单调递增，又因为 g（1）=0，g（e）=e-ae+a，g（x）在(1,e上的最小值为 g（e
10、 a-1）=a-e a-1，所以（i）当 1a 时，g（x）在1,e上的最大值 g（e）0，即此时函数 g（x）在(1,e上有零点. （ii）当 a2 时，g（e）0，即此时函数 g（x）在（1 ,e上没有零点，当 ee a-1即 a2 时，g（x）在1,e上单调递减，所以 g（x）在1,e上满足 g（x）g(1)=0 ， 此时函数 g（x）在(1,e上没有零点. 综上，所求的 a 的取值范围是 或 .1311. 【河北省衡水中学 2019 届高三第一次摸底考试】已知函数 .（1）当 时，求证： ；（2）讨论函数 的零点的个数。【答案】(1)见解析；（2）见解析.（2）解：据题意，得 .当 时
11、， 恒成立.则函数 在 上是减函数。又 ，所以函数 有且只有一个零点. 当 时.由 ，得 .当 时， ；当 时， ，所以 在区间 内是减函数，在区间 内是增函数.所以 是函数 的极小值点，也是最小值点，即 . 14令 ，则 ，当 时， ；当 时， ；当 时， ，所以函数 在区间 内是增函数，在区间 内是减函数，从而 是函数 的极大值点.也是最大值点，所以 ，即 （当且仅当 时取等号）当 ，即 时，函数 只有一个零点当 ，即 ，且 时，分 和 两种情况讨论：（i）当 时， ，因为 ，所以 在区间 内有一个零点；又 ，因此 有两个零点.（ii）当 时， ；由（1） ，得 .即 ，亦即 .令 .则得
12、 ，即 ，1512. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期三调考试】设函数 .(1)当 时，求函数 的最大值；(2)令 ， 其图象上任意一点 处切线的斜率 恒成立，求实数 的取值范围；(3)当 ， ，方程 有唯一实数解，求正数 的值.【答案】 （1） （2） （3）【解析】(1)依题意，知 的定义域为 ，当 时， ，令 ，解得 .( )因为 有唯一解，所以 ，当 时， ，此时 单调递增；16当 时， ，此时 单调递减，所以 的极大值为 ，此即为最大值.(2) ， ，则有 ，在 上恒成立，所以 ， .当 时， 取得最大值 ，所以 .(3)因为方程 有唯一实数解，所以 有唯一实数解，设 ，则
13、，令 ， ，因为 ， ，所以 (舍去)， ，当 时， ， 在 上单调递减； 此时 在区间 和 上分别至多有 1 个零点,所以 至多有 个零点.当 且 ,即 时,因为 , ,所以 分别在区间 , 和 上恰有 1 个零点.由于 在区间 和 上单调,所以 分别在区间 和 上恰有 1 个零点.综上可知,当过点 存在 条直线与曲线 相切时, 的取值范围是 .14. 【衡水中学 2019 届高三开学二调考试】已知函数 ， .（1）讨论函数 的单调性；17（2）证明：若 ，则对任意 ， ， ，有 .【答案】(1)见解析.(2)证明明见解析.（2）考虑函数 ，则由于 ，故 ，即 在 单调增加，从而当 时有 ，
14、即，故 ，当 时，有 .15. 【衡水中学 2019 届高三开学二调考试】已知函数 （ mR） （1）若 fx在其定义域内单调递增，求实数 m的取值范围；（2）若 1752m，且 fx有两个极值点 1x， 2（ 12x） ，求 取值范围18【答案】 （1） ,4；（2）【解析】（2）由（1）知 ，当 1752m时 fx有两个极值点，此时， 12x， ，因为 ，解得 142x，由于 21x，于是.令 ，则 ， hx在 1,42上单调递减，.即 .故 的取值范围为 .16. 【衡水中学 2019 届高三开学二调考试】设函数 ，其中 .19（1）讨论函数 极值点的个数，并说明理由；（2）若 成立，求
15、 的取值范围.【答案】 （1）见解析（2）【解析】（） ，设 ，则 ，当 时， ，函数 在 为增函数，无极值点.当 时， ，若 时 ， ，函数 在 为增函数，无极值点.若 时 ，设 的两个不相等的正实数根 ， ，且 ，则所以当 ， ， 单调递增；当 ， 单调递减；当 ， ， 单调递增.因此此时函数 有两个极值点；同理当 时 的两个不相等的实数根 ， ，且 ，当 ， ， 单调递减，当 ， ， 单调递增；所以函数只有一个极值点. 综上可知当 时 的无极值点；当 时 有一个极值点；当 时， 的有两个极值点.（）对于 ，由（）知当 时函数 在 上为增函数 ，由 ，所以 成立.若 ，设 的两个不相等的正
16、实数根 ， ，且 ， ， .则若 ， 成立，则要求 ，20即 解得 .此时 在 为增函数， ， 成立若当 时令 ， 显然不恒成立.综上所述， 的取值范围是 .17. 【衡水中学 2019 届高三开学二调考试】已知函数 ，其中 aR.（1）若函数 f(x)在 x=1 处取得极值，求实数 a 的值；（2）在（1）的结论下，若关于 x 的不等式 ，当 x1 时恒成立，求 t 的值.【答案】(1) ； (2) .18. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期六调考试】请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.21设函数 ， .（1）求函数 的单调区间； （2）当 时，讨论函数 与 图象的交点个数.【答案】 （1）当 时，函数 的单调增区间是 ，无单调减区间；当 时，函数 的单调增区间是 ，单调减区间是 ；（2）1 个.（2）令 ， ，问题等价于求函数 的零点个数，当 时， ， ，有唯一零点；当 时， ，当 时， ，函数 为减函数，注意到 ， ，所以 有唯一零点；当 时，由 得 或 ，由 得 ，所以函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增，注意到 ，所以 有唯一零点；22当 时，由 得， 或 ，由 得 ，
