1、1专题 09 概率与统计一、选择题1. 【河北省衡水中学 2018 届高三毕业班模拟演练一】如图的折线图是某公司 2017 年 1 月至 12 月份的收入与支出数据.若从这 12 个月份中任意选 3 个月的数据进行分析，则这 3 个月中至少有一个月利润（利润=收入-支出）不低于 40 万的概率为（ ）A B C D【答案】D2. 【河北衡水金卷 2019 届高三 12 月第三次联合质量测评数学（理)试题】如图所示，分别以正方形 ABCD两邻边 AB、AD 为直径向正方形内做两个半圆，交于点 O若向正方形内投掷一颗质地均匀的小球(小球落到每点的可能性均相同)，则该球落在阴影部分的概率为A BC
2、D【答案】C2【解析】法一：设正方形的边长为 2.则这两个半圆的并集所在区域的面积为 ，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区城内的概率为 .故选 C.法二：设正方形的边长为 2.过 O 作 OF 垂直于 AB， OE 垂直于 AD.则这两个半圆的并集所在区域的面积为，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区域的概率为 ，故选 C. 【解析】分析：画正态曲线图，由对称性得图象关于 对称，且 ，结合题意得到 的值.详解：随机变量 服从正态分布 ，曲线关于 对称，且 ，由 ，可知 ，故选 B.7. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】若 , , ， 的平均数为 3，方差为
3、4,且 , ，则新数据 , 的平均数和标准差分别为（ ）A-4 -4 B-4 16 C2 8 D-2 4【答案】D38. 【河北省衡水中学 2018 届高三上学期七调考试数学（理 )试题】如图所示的 5 个数据，去掉 后，下列说法错误的是（ ）A相关系数 变大 B残差平和变大C 变大 D解释变量 与预报变量 的相关性变强【答案】B9. 【河北省衡水中学 2018 届高三十六模】已知随机变量 服从正态分布 ，且 ， 等于（ ）4A B C D【答案】B【解析】随机变量 服从正态分布 ，曲线关于 对称，且 ，由 ，可知 ，故选 B. 12. 【河北省衡水中学 2019 届高三第一次摸底考试】某地某
4、所高中 2018 年的高考考生人数是 2015 年高考考生人数的 1.5 倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校 2015 年和 2018 年的高考情况，得到如下柱状图：2015 年高考数据统计 2018 年高考数据统计则下列结论正确的是A与 2015 年相比，2018 年一本达线人数减少B与 2015 年相比，2018 年二本达线人数增加了 0.5 倍C与 2015 年相比，2018 年艺体达线人数相同D与 2015 年相比，2018 年不上线的人数有所增加【答案】D513. 【河北省衡水中学 2019 届高三第一次摸底考试】赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元 222年，赵
5、爽为周碑算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图” ，亦称“赵爽弦图” （以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图” ，可类似地构造如图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是A B C D【答案】A614. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期六调考试】如图 1 为某省 2018 年 14 月快递业务量统计图，图2 是该省 2018 年 14 月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（ ）A2018 年 14 月的业务量，
6、3 月最高，2 月最低，差值接近 2000 万件B2018 年 14 月的业务量同比增长率均超过 50%，在 3 月底最高C从两图来看，2018 年 14 月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D从 14 月来看，该省在 2018 年快递业务收入同比增长率逐月增长【答案】D【解析】对于选项 A： 2018 年 14 月的业务量，3 月最高，2 月最低，差值为 ，接近 2000 万件，所以 A 是正确的；对于选项 B： 2018 年 14 月的业务量同比增长率分别为 ，均超过 ，在 3 月最高，所以 B 是正确的；对于选项 C：2 月份业务量同比增长率为 53%，而收入的同比增
7、长率为 30%，所以 C 是正确的；对于选项 D，1，2，3，4 月收入的同比增长率分别为 55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长， D 错误.本题选择 D 选项.15. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期六调考试】用 0 与 1 两个数字随机填入如图所示的 5 个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是 1 的个数不少于 0 的个数，则这样填法的概率为（ ）A B C D【答案】B7二、填空题1. 【河北省衡水中学 2018 届高三上学期七调考试数学（理)试题】若从区间 （ 为自然对数的底数，）内随机选取两个数，则这 两个数之积不小于 的概率为_【答案
8、】2【解析】设 ，由 ，得 ，所以所求概率 比较两个纳税方案可知，按调整后起征点应纳个税少交 220 元，即个人的实际收入增加了 220 元，所以小李的实际收入增加了 220 元。3. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十次模拟考试数学（理)试题】为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（1）已知该校有 40名学生，试估计全校学生中，每天学习不足 4小时的人数. （2）若从学习时间不少于 小时的学生中选取 4人，设选到的男生人数为 X，求随机变量 的分布列.（3）试比较男生学习时间的方差 21S与女生学习时间方差 2S的
9、大小.（只需写出结论）【答案】(1)240 人(2)见解析（3） 2s83618705；3；170.所以随机变量 X的分布列为 1234P170835183585170均值 14270.（3）由折线图可得 21s. 络订餐成为大家更加青睐的消费选择.近年来,网络订餐市场规模的“井喷式”增长，也充分反映了人们消费方式的变化. 全 国方便面销量情况（单位“亿包/桶） （数据来源：世界方便面协会）9年份时间代号年销量 （亿包/桶）(1)根据上表，求 关于 的线性回归方程 .用所求回归方程预测 2017 年( )方便面在中国的年销量；(2)方便面销量遭遇滑铁卢受到哪些因素影响? 中国的消费业态发生了怎
10、样的转变? 某媒体记者随机对身边的 位朋友做了一次调查,其中 位受访者表示超过 年未吃过方便面, 位受访者认为方便面是健康食品；而 位受访者有过网络订餐的经历，现从这 人中抽取 人进行深度访谈，记 表示随机抽取的 人认为方便面是健康食品的人数，求随机变量 的分布列及数学期望 .参考公式：回归方程： ，其中 ， .参考数据： .【答案】(1)356;(2)见解析.（2）依题意， 人中认为方便面是健康食品的有 人， 的可能值为 ， ， ， ，所以 ； ； ； ，10.5. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】在测试中,客观题难题的计算公式为,其中 为第 题的难度， 为
11、答对该题的人数， 为参加测试的总人数.现对某校高三年级 120 名学生进行一次测试，共 5 道客观题.测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：题号 1 2 3 4 5考前预估难度 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4测试后，从中随机抽取了 10 名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示(“”表示答对,“”表示答错)：学生 编号题号1 2 3 4 51 2 3 4 5 6 7 118 9 10 （1）根据题 中数据，将抽样的 10 名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120 名学生中第 5 题的实测答对人数；题号 1 2 3 4 5实测答对人数
12、实测难度（2）从编号为 1 到 5 的 5 人中随机抽取 2 人，求恰好有 1 人答对第 5 题的概率；（3）定义统计量 ，其中 为第 题的实测难度， 为第 题的预估难度( ).规定：若 ，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理.判断本次测试的难度预估是否合理.【答案】(1)见解析;(2) ;(3)见解析. 若选择方案二，设摸到红球的个数为 Y，付款金额为 Z，则 ，由已知可得，故 ，所以 （元）.因为 ，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.7. 【河北省衡水中学 2018 届高三上学期七调考试数学（理)试题】某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次
13、性获赔 50 万元.保险公司把职工从事的所有岗位12共分为 A、 B、 C三类工种，根据历史数据统计出三类工种的每赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）.（）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的 20%，试分别确定各类工种每张保单保费的上限；（）某企业共有职工 20000 人，从事三类工种的人数分布比例如图，老板准备为全体职工每人购买一份此种保险，并以（）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润.【答案】 （）见解析;（） 50元.（）购买 A类产品的份数为 份，购买 B类产品的份数为 份，购买 C类产品的份数为 份，13企业支付的总保费为 元，保险公司在这
14、宗交易中的期望利润为 元. 络订餐成为大家更加青睐的消费选择.近年来,网络订餐市场规模的“井喷式”增长，也充分反映了人们消费方式的变化. 全国方便面销量情况（单位“亿包/桶） （数据来源：世界方便面协会）年份 时间代号年销量 （亿包/桶）(1)根据上表，求 关于 的线性回归方程 .用所求回归方程预测 2017 年( )方便面在中国的年销量；(2)方便面销量遭遇滑铁卢受到哪些因素影响? 中国的消费业态发生了怎样的转变? 某媒体记者随机对身边的 位朋友做了一次调查,其中 位受访者表示超过 年未吃过方便面, 位受访者认为方便面是健康食品；而 位受访者有过网络订餐的经历，现从这 人中抽取 人进行深度访
15、谈，记 表示随机抽取的 人认为方便面是健康食品的人数，求随机变量 的分布列及数学期望 .参考公式：回归方程： ，其中 ， .参考数据： .【答案】(1)356;(2)见解析.14（2）依题意， 人中认为方便面是健康食品的有 人 ， 的可能值为 ， ， ， ，所以 ； ； ； ，.9. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(二)】某校为缓解高 三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级 名学生中随机抽取 名学生进行测试，并将其成绩分为 、 、 、 、 五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率） ，根据以上抽样调查数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三
16、年级学生获得成绩为 的人数；（2）若等级 、 、 、 、 分别对应 分、 分、 分、 分、 分，学校要求平均分达 分以上为“考前心理稳定整体过关” ，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？15（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从 、 两种级别中，用分层抽样的方法抽取 个学生样本，再从中任意选取 个学生样本分析，求这 个样本为 级的个数 的分布列与数学期望.【答案】(1) 等级为 的概率为 ,成绩为 的人数约有 ;(2)见解析；（3）见解析.（2）这 100 名学生成绩的平均分为 ，因为 ，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（3）由题可知用分层抽样的
17、方法抽取 11 个学生样本，其中 级 4 个， 级 7 个，从而任意选取 3 个，这 3个为 级的个数 的可能值为 0，1，2，3.则 ， ， .因此可得 的分布列为：则 .10. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(三)】某中学为了解高一年级学生身高发育情况，对全校 名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位： ）频数分布表如表 、表 .表 ：男生身高频数分布表身高/16频数 表 ：女生身高频数分布表身高/频数（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在 的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出 人，设 表示身高在 学生的人数，求 的分布列及数
18、学期望.【答案】(1) (2) （3）见解析（2）由表 和表 可得样本中男女身高在 的人数为 ，样本容量为 .所以样本中该校学生身高在 的概率为 .因此，可估计该校学生身高在 的概率为 .（3）由题意可得 的可能取值为 ，由表格可知，身高在 的概率为 ，男生身高在 的概率为 .所以 ，所以 的分布列为：17所以 .11. 【河北省衡水中学 2019 届高三第一次摸底考试】某高校为了对 2018 年录取的大一理工科新生有针对性地进行教学，从大一理工科新生中随机抽取 40 名，对他们 2018 年高考的数学分数进行分析，研究发现这 40 名新生的数学分数 在 内，且其频率 满足 （其中 ， ）.
19、（1）求 的值；（2）请画出这 20 名新生高考数学分数的频率分布直方图，并估计这 40 名新生的高考数学分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ；（3）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查 4 名该校的大一理工科新生，记调查的 4 名大一理工科新生中“高考数学分数不低于 130 分”的人数为随机变量，求的数学期望.【答案】 （1） ;(2)120;(3)见解析.（2）由（1） ，得 ，频率分布直方图如图： 18这 40 名新生的高考数学分数的平均数为 . （3）由题意可知， ，且“高考数学分数不低于 130 分”的概率为 ，所以 所以 .12. 【河北省衡水中学 2019
20、 届高三上学期六调考试】微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）.为子调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各 50 名，将男性、女性使用微信的时间分成 5 组： ， ， ， ， 分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据女性频率分布直方图估计女性使用微信的平均时间；（2）若每天再微信超过 4 个小时的用户列为“微信控” ，否则称其为“非微信控” ，请你根据已知条件完成 的列联表，并判断是否有 90%的把握认为“微信控”与“性别有关”？【答案】 （1）4.76；（2）有 90%的把握认为“微信控”与“性别”有关(2)2(0.04a0.1420.12)1，解得 a0.08.由题设条件得列联表：19性别 微信控 非微信控 总计男性 38 12 50女性 30 20 50总计 68 32 100所以 K2 2.9412.706.所以有 90%的把握认为“微信控”与“性别”有关
