1、12018 年秋季高二年级 12 月月考数学试卷（理科）一、单选题1设 ： ， ： ，则 是 的（ ）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件2已知向量 ， ，分别是直线 、 的方向向量，若 ，则（ ）A ， B ， C ， D ，3椭圆 的长轴长、短轴长和焦点坐标依次为（ ） A ， ， B ， ，C ， ， D ， ，4执行下面的程序框图，如果输入的 ，则输出的 A 2 B 3 C 4 D 55已知点 ,则点 关于 轴对称的点的坐标为1AxA B C D ,3,143,14346若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是（ ） A B C D
2、 27阅读如图所示的程序，若运行结果为 35，则程序中 的取值范围是（ ）A B C D 8在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则A B C D 9 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，与古老的“辗转相除法”实质是一样的.如图的算法语句即表示“辗转相除法” ，若输入 时，输出的 （ ）A 33 B 99 C 53 D 3110我国古代名著庄子天下篇中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭” ，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取 7 天后所剩木棍的长
3、度（单位：尺） ，则处可分别3填入的是A B C D 11设抛物线 C： y2=4x 的焦点为 F，过点（2，0）且斜率为 的直线与 C 交于 M， N 两点，则 =A 5 B 6 C 7 D 812已知双曲线 C： ， O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M、 N.若 OMN 为直角三角形，则| MN|=A B 3 C D 4二、填空题13命题“ , ”的否定是_.14用秦九韶算法计算函数 当 时的值，则 _.15我国古代“伏羲八卦图”的部分与二进制和十进制的互化关系如下表，依据表中规律，、 处应分别填写_.4八卦 二进制 000 001
4、010 011十进制 0 1 2 316已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 所成角的余弦值为 ， 与圆锥底面所成角为 45，若 的面积为 ，则该圆锥的侧面积为_三、解答题17 （1）已知椭圆的离心率为 ，短轴一个端点到右焦点的距离为 4，求椭圆的标准方程。（2）已知双曲线过点 ，一个焦点为 ，求双曲线的标准方程。18已知 m0，p：x 22x80，q：2mx2+m（1）若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围；（2）若 m=5， “pq”为真命题， “pq”为假命题，求实数 x 的取值范围19如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点（1）证明： 平面 ；（2）若点 在棱 上，且 ，求
5、点 到平面 的距离520如图，矩形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 ， 的点（1）证明：平面 平面 ；（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？说明理由21设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 的坐标为 .（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；（2）设 为坐标原点，证明： .22已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点线段 的中点为（1）证明： ；（2）设 为 的右焦点， 为 上一点，且 证明： 参考答案1A【解析】由题设知， ，因为 ，所以满足 ，但 ，根据充分条件、必要条件、充要条件的定义，可知 是 的充分不必要条件.故选 A.2D【解析】 ， ， ，
6、。选 D。3B【解析】分析：利用椭圆方程化为标准方程，然后求解即可详解：椭圆 化为标准方程为： ，可得 ， ， ，所以椭圆 的长轴长，短轴长和焦点坐标分别为： ， ， 故选 点睛：本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力4B【解析】阅读流程图，初始化数值 . 循环结果执行如下：第一次： ；第二次： ；第三次： ；第四次： ；第五次： ；第六次： ；结束循环，输出 .故选 B.点睛:算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.求解时，先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，如
7、：是求和还是求项.5B【解析】点 , 点 关于 轴对称的点的坐标为 .314Ax3,14故选 B.6B【解析】分析：根据题意，方程中 x2、y 2的分母均大于 0，且 y2的分母较大，由此建立关于 m 的不等式组，解之即可得到实数 m 的取值范围详解：若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 ，解得 故选 点睛：本题给出含有字母参数 m 的方程，在方程表示椭圆的情况下求 m 的范围着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题7A【解析】分析：首先读懂题干中的程序，是直到型循环结构，即直到 时结束循环，输出 S 的值。根据 S=35，再求出 a 的范围。详解：本程序是直到型循环结构，第一次
8、运行， ；第二次运行，；第三次运行， ，此时 ；第四次运行， ，此时满足 ，综上条件，得 ，选 A.点睛：本题主要考查由程序语句的输出结果，判断条件中 a 的范围，属于易错题。错误的原因是没有弄懂程序是直到型还是当型循环结构，直到型循环结构：DO 循环体 LOOP UNTIL 条件，直到型循环结构：WHILE 条件 循环体 WEND。8A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得 ，之后应用向量的加法运算法则-三角形法则，得到 ，之后将其合并，得到 ，下一步应用相反向量，求得 ，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得，所以 ，故选 A.点睛：该题考查的是有关平面向量
9、基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.9A【解析】分析：由题意结合所给的算法整理计算即可求得最终结果.详解：结合算法语句可知程序运行如下：首先输入数值： ，第一次循环： ， ， ，此时 ，继续循环；第二次循环： ， ， ，此时 ，继续循环；第三次循环： ， ， ，此时 ，继续循环；第四次循环： ， ， ，此时 ，跳出循环，输出的.本题选择 A 选项.点睛：本题主要考查算法与程序语句相结合的问题，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10D【解析】【分析】此算法为循环结构，共循环 7
10、次，故处填判断语句，填取半计算，填循环控制变量的变化方式.【详解】算法为循环结构，循环 7 次，每次对长度折半计算，也就是 ，因此填 ，又填判断语句，需填 ，填 .故选 D.【点睛】本题考察算法中的循环结构，属于基础题.此类问题，注意循环的次数，如本题 7 天后木棍的长度为 尺，故 需执行 7 次，由此判断出循环所需次数.11D【解析】分析：首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点 ，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得 ，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.详解：根据题意，过点（2，0）且斜率为 的直
11、线方程为 ，与抛物线方程联立 ，消元整理得： ，解得 ，又 ，所以 ，从而可以求得 ，故选 D.点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出 ，之后借助于抛物线的方程求得 ，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点 M、N 的坐标，应用韦达定理得到结果.12B【解析】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到 ，根据直角三角形的条件，可以确定直线 的倾斜角为 或 ，根据相关图形的对称性，得知两种
12、情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为 ，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得 ，利用两点间距离同时求得 的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为 ，且右焦点为 ，从而得到 ，所以直线 的倾斜角为 或 ，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为 ，可以得出直线 的方程为 ，分别与两条渐近线 和 联立，求得 ，所以 ，故选 B.点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线 的斜率，结合过右焦点的条件，利用
13、点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.13【解析】【分析】全称命题的否定，为特称命题，结论要否定.【详解】将全称命题化为特称命题，将结论否定： .【点睛】本题考查全称命题的否定，只否定结论，全称量词变为存在量词.14【解析】【分析】将函数改写成一次式的形式 ，然后通过计算得到当 x=1 时 v0， v1， v2， v3的值后即可得出所求【详解】由题意得，函数 ，当 x=1 时， 故答案为 0【点睛】本题考查了秦九韶算法计算函数值，考查了计算能力，由于该算法是程序化的过程，所以解题时根据算法的步骤逐步求解即可得到结果，属于基础题15110，6【解析】
14、【分析】由二进制转化为十进制的方法，我们只要依次累加各位数字上的数该数位的权重，即可得到结果【详解】由八卦图，可得 A 处是 110，110 （2） =0+12+122=2+4=6故答案为 110，6【点睛】二进制转换为十进制的方法是依次累加各位数字上的数该数位的权重，属于基础题16【解析】分析：先根据三角形面积公式求出母线长，再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求结果.详解：因为母线 ， 所成角的余弦值为 ，所以母线 ， 所成角的正弦值为 ，因为的面积为 ，设母线长为 所以 ，因为 与圆锥底面所成角为 45，所以底面半径为因此圆锥的侧面积为点睛：本题考查线面角，圆锥的侧面
15、积，三角形面积等知识点，考查学生空间想象与运算能力17 （1） （2）【解析】试题分析：（1）由已知，先确定 的值，进而求出 ，可得椭圆的标准方程（2）由已知可得双曲线焦点在 轴上且 ，将点 代入双曲线方程，可求出，即得双曲线的标准方程试题解析：（1）由椭圆的离心率为 ，短轴一个端点到右焦点的距离为 4，得 ，即（2）因为双曲线过点 ，一个焦点为 ，所以即18 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）根据充分不必要条件的定义进行求解即可（2）根据复合命题真假关系，进行求解即可【详解】（1）由 x22x80 得2x4，即 p：2x4，记命题 p 的解集为 A=2，4，p 是 q 的充分不必要条件，
16、AB， ，解得：m4 （2）“pq”为真命题， “pq”为假命题，命题 p 与 q 一真一假， 若 p 真 q 假，则 ，无解，若 p 假 q 真，则 ，解得：3x2 或 4x7综上得：3x2 或 4x7【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用以及复合命题真假关系的判断，利用定义法是解决本题的关键19解：（1）因为 AP=CP=AC=4， O 为 AC 的中点，所以 OP AC，且 OP= 连结 OB因为 AB=BC= ，所以 ABC 为等腰直角三角形，且 OB AC， OB= =2由 知， OP OB由 OP OB， OP AC 知 PO平面 ABC（2）作 CH OM，垂足为 H又由（
17、1）可得 OP CH，所以 CH平面 POM故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离由题设可知 OC= =2， CM= = ， ACB=45所以 OM= ， CH= = 所以点 C 到平面 POM 的距离为 【解析】分析：（1）连接 ，欲证 平面 ，只需证明 即可；（2）过点 作 ，垂足为 ，只需论证 的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.详解：（1）因为 AP=CP=AC=4， O 为 AC 的中点，所以 OP AC，且 OP= 连结 OB因为 AB=BC= ，所以 ABC 为等腰直角三角形，且 OB AC， OB= =2由 知， OP OB由 OP OB， OP AC 知 PO平
18、面 ABC（2）作 CH OM，垂足为 H又由（1）可得 OP CH，所以 CH平面 POM故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离由题设可知 OC= =2， CM= = ， ACB=45所以 OM= ， CH= = 所以点 C 到平面 POM 的距离为 点睛：立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，也可利用等体积法解决.20 （1）证明见解析（2）存在，理由见解析【解析】分析：（1）先证 ,再证 ，进而完成证明。（2）判断出 P 为 AM 中点， ，证明 MC
19、 OP， 然后进行证明即可。详解：（1）由题设知，平面 CMD平面 ABCD，交线为 CD因为 BC CD， BC 平面 ABCD，所以 BC平面 CMD，故 BC DM因为 M 为 上异于 C， D 的点，且 DC 为直径，所以 DM CM又 BC CM=C，所以 DM平面 BMC而 DM 平面 AMD，故平面 AMD平面 BMC（2）当 P 为 AM 的中点时， MC平面 PBD证明如下：连结 AC 交 BD 于 O因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 AC 中点连结 OP，因为 P 为 AM 中点，所以 MC OPMC 平面 PBD， OP 平面 PBD，所以 MC平面 PBD点睛：本题
20、主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问先断出 P 为 AM 中点，然后作辅助线，由线线平行得到线面平行，考查学生空间想象能力，属于中档题。21(1) AM 的方程为 或 .(2)证明见解析.【解析】分析：(1)首先根据 与 轴垂直，且过点 ，求得直线 l 的方程为 x=1，代入椭圆方程求得点 A 的坐标为 或 ，利用两点式求得直线 的方程；(2)分直线 l 与 x 轴重合、 l 与 x 轴垂直、 l 与 x 轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果.详解：（1）由已知得 ， l 的
21、方程为 x=1.由已知可得，点 A 的坐标为 或 .所以 AM 的方程为 或 .（2）当 l 与 x 轴重合时， .当 l 与 x 轴垂直时， OM 为 AB 的垂直平分线，所以 .当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 ， ，则 ，直线 MA， MB 的斜率之和为 .由 得.将 代入 得.所以， .则 .从而 ，故 MA， MB 的倾斜角互补，所以 .综上， .点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第
22、二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.22 （1）证明见解析（2）证明见解析【解析】分析：（1）设而不求，利用点差法，或假设直线方程，联立方程组，由判别式和韦达定理进行证明。（2）先求出点 P 的坐标，解出 m，得到直 的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解。详解：（1）设 ， ，则 ， 两式相减，并由 得 由题设知 ， ，于是 由题设得 ，故 （2）由题意得 F（1，0） 设 ，则由（1）及题设得 ， 又点 P 在 C 上，所以 ，从而 ， 于是 同理 所以 故 点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，第一问利用点差法，设而不求可减小计算量，第二问由已知得求出 m，得到 ,再有两点间距离公式表示出 ，考查了学生的计算能力，难度较大。
