1、1第 3 章 圆的基本性质圆中的辅助线 类型之一 遇弦添加过圆心的垂线段或半径1如图 8ZT1， AB 是 O 的直径，弦 CD AB，垂足为 P.若 CD8， OP3，则 O的半径为( )A10 B8C5 D3图 8ZT1图 8ZT22如图 8ZT2， AB 是 O 的弦， OH AB 于点 H， P 是优弧 AB 上一点，若 AB2 ， OH 1，则 APB 的度数是 _33如图 8ZT3，在 ABC 中，已知 ACB130， BAC20， BC2，以点 C 为圆心， CB 为半径的圆交 AB 于点 D，求 BD 的长图 8ZT34如图 8ZT4，已知 O 的半径为 25，弦 AB 的长为
2、 48， C 是劣弧 AB 的中点求2AC 的长图 8ZT4 类型之二 遇直径添加直径所对的圆周角5如图 8ZT5 所示， AB 是 O 的直径，点 C， D 在 O 上， ABC50，则 D 的度数为( )A50 B45 C40 D30图 8ZT5图 8ZT66如图 8ZT6 所示， A， B， C， D 是 O 上的四个点， ABD20， BD 是 O 的直径，则 ACB 的度数为_3图 8ZT77如图 8ZT7， ABC 内接于 O， ACB90， ACB 的平分线交 O 于点 D，若 AC6， BD5 ，则 BC 的长为_28如图 8ZT8 所示，在 ABC 中， BC3，以 BC 为
3、直径的 O 交 AC 于点 D.若 D 是AC 的中点， ABC120.(1)求 ACB 的度数；(2)求点 A 到直线 BC 的距离图 8ZT849.如图 8ZT9 所示，在 ABC 中， AB BC2，以 AB 为直径的 O 分别交 BC， AC 于点 D， E，且 D 为 BC 的中点(1)求证： ABC 为等边三角形(2)求 DE 的长(3)在线段 AB 的延长线上是否存在一点 P，使 PBD AED？若存在，请求出 PB 的长；若不存在，请说明理由图 8ZT9 类型之三 遇不规则图形化为规则图形10如图 8ZT10，在 Rt AOB 中， AOB90， OA3， OB2，将 Rt A
4、OB 绕点O 顺时针旋转 90后得到 Rt FOE，将线段 EF 绕点 E 逆时针旋转 90后得线段 ED，分别以 O， E 为圆心， OA， ED 长为半径画 和 ，连结 AD，则图中阴影部分的面积是( )AF DF A B.54C3 D8图 8ZT105图 8ZT1111如图 8ZT11 所示，以 AD 为直径的半圆 O 经过 Rt ABC 的斜边 AB 的两个端点，交直角边 AC 于点 E， B， E 是半圆弧的三等分点， 的长为 ，则图中阴影部分的面积为( )BE 23A. B. 9 39C. D. 3 32 32 3 32 23122016嘉兴期末如图 8ZT12， O 为半圆的圆心
5、，直径 AB12， C 是半圆上一点，OD AC 于点 D， OD3.(1)求 AC 的长；(2)求图中阴影部分的面积图 8ZT12132017博兴县模拟如图 8ZT13，已知 AB 是 O 的直径，点 C， D 在 O 上， D60且 AB6，过点 O 作 OE AC，垂足为 E.(1)求 OE 的长；(2)若 OE 的延长线交 O 于点 F，求弦 AF， AC 和弧 CF 围成的图形(阴影部分)的面积 S.6图 8ZT137详解详析1C260 解析 连结 OA， OB， AB2 ， OH1，易得 AOB120，再根据圆3周角定理得 APB60.3解：如图，过点 C 作 CE AB 于点 E
6、. B180 A ACB1802013030.在 Rt BCE 中， CEB90， B30， BC2， CE BC1， BE .12 BC2 CE2 3 CE BD， DE BE， BD2 BE2 .34解：如图，连结 OA， OC， OC 交 AB 于点 H， C 是弧 AB 的中点， OH AB.在 Rt OAH 中， OA25， AH24，根据勾股定理，得 OH 7，OA2 AH2 HC OC OH25718.在 Rt AHC 中，根据勾股定理，得 AC 30，AH2 HC28 AC 的长为 30.5C 解析 如图，连结 AC. AB 是 O 的直径，点 C 在 O 上， ACB90.在
7、Rt ABC 中， ACB90， ABC50， CAB40， D CAB40.故选 C.67078 解析 连结 DA，因为 ACB90，所以 AB 为 O 的直径，所以 ADB90.因为 CD 平分 ACB，所以 BD AD.在 ABD 中，AB 10.在 Rt ABC 中，AD2 BD2 （ 5 2） 2 （ 5 2） 2BC 8.AB2 AC2 102 628解：(1)如图，连结 BD. BC 为 O 的直径， BDC90. D 是 AC 的中点， BD 是 AC 的垂直平分线， AB BC， BAC C. ABC120， BAC C30，即 ACB30.(2)如图，过点 A 作 AE B
8、C 交 CB 的延长线于点 E. BC3， ACB30， BDC90， BD .32在 Rt BCD 中，由勾股定理可得9CD .BC2 BD23 32 AD CD， AC3 .3在 Rt AEC 中， ACE30， AE AC 3 ，12 12 3 3 32即点 A 到直线 BC 的距离为 .3 329解：(1)证明：连结 AD. AB 是 O 的直径， ADB90. D 是 BC 的中点， AD 是线段 BC 的垂直平分线， AB AC.又 AB BC， AB BC AC， ABC 为等边三角形(2)连结 BE. AB 是 O 的直径， AEB90， BE AC. ABC 是等边三角形，
9、AE EC，即 E 为 AC 的中点 D 是 BC 的中点，故 DE 为 ABC 的中位线， DE AB 21.12 12(3)存在点 P 使 PBD AED.由(1)(2)知 BD ED， DE AB.10又 BAC60， AED120. ABC60， PBD120， PBD AED.要使 PBD AED，只需 PB AE AC1.1210D 解析 如图，过点 D 作 DH AE 于点 H， AOB90， OA3， OB2， AB .OA2 OB2 13由旋转的性质可知， OE OB2， DE EF AB ， DHE EOF BOA，13 DH OB2，阴影部分的面积 ADE 的面积 EOF
10、 的面积扇形 AOF 的面积扇形 DEF 的面积 52 23 8.12 12 90 32360 90 1336011D 解析 如图所示，连结 OB， OE， BE， BD.设半圆的半径为 R. B， E 是半圆弧的三等分点， DOB BOE EOA60. 的长为 ，BE 23 R ，解得 R2. S 扇形 OBE lR 2 . AD 是半圆 O 的直60180 23 12 12 23 23径， ABD90.在 Rt ABD 中， BAD DOB30， BD2.由勾股定理可得12AB2 .在 Rt ABC 中， C90， BAC BOE30， BC AB ， AC312 12 3 3，AB2 B
11、C2 （ 2 3） 2 （ 3） 211 S ABC ACBC 3 .12 12 3 3 32 OB OE， BOE60， BOE 是等边三角形， BEO60 EOA， BE AD， S ABE S OBE， S 阴影 S ABC S ABE S 弓形 BE S ABC S OBE S 弓形 BE S ABC S 扇形 OBE .3 32 2312解：(1) OD AC， AD DC. AO OB， OD 是 ABC 的中位线， BC2 OD6， AB 是半圆 O 的直径， ACB90， AC 6 .AB2 BC2 122 62 3(2)如图，连结 OC， OC OB BC6， BOC60， AOC120， S 阴影 S 扇形 OAC S AOC 6 3129 .120 62360 12 3 313解：(1) D60， B60(圆周角定理)12 AB6， BC OB3. AB 是 O 的直径， ACB90. OE AC， OE BC，又 O 是 AB 的中点， OE 是 ABC 的中位线， OE BC .12 32(2)如图，连结 OC，则易得 COE AFE，阴影部分的面积扇形 FOC 的面积 S 扇形 FOC ，60 32360 32 S .32
