1、1第 1 讲基本初等函数、函数图象与性质1以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性；2利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象性质解决简单问题；3函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法；4掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质；5以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；6能利用函数解决简单的实际问题1函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则(2)奇偶性：若 f(x)是偶函数，则 f(x) f
2、( x)若 f(x)是奇函数，0 在其定义域内，则 f(0)0奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性(3)周期性：若 y f(x)对 xR， f(x a) f(x a)或 f(x2 a) f(x)(a0)恒成立，则 y f(x)是周期为 2a 的周期函数若 y f(x)是偶函数，其图象又关于直线 x a 对称，则 f(x)是周期为 2|a|的周期函数若 y f(x)是奇函数，其图象又关于直线 x a 对称，则 f(x)是周期为 4|a|的周期函数若 f(x a) f(x) ，则 y f(x)是周期为 2|a|的周期函数(或 f（ x a）
3、 1f（ x） )易错提醒 错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“”连接，可用“和”或“， ”连接2函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究(3)函数图象的对称性若函数 y f(x)满足 f(a x) f(a x)，即 f(x) f(2a x)，则 y f(x)的图象关于直线 x a 对称；若函数 y f(x)满足 f(a x) f(a x)，即 f(x) f(2a x)，则 y f(x)的图象关
4、于点( a，0)对称3指数与对数式的七个运算公式2(1)aman am n；(2)(am)n amn；(3)loga(MN)log aMlog aN；(4)loga log aMlog aN；MN(5)logaMn nlogaM；(6) log ；(7)logaN (注： a， b0 且 a， b1， M0， N0)logbNlogba4指数函数与对数函数的图象和性质指数函数 y ax(a0， a1)与对数函数 ylog ax(a0， a1)的图象和性质，分 01 两种情况，当a1 时，两函数在定义域内都为增函数，当 00.)A(，0 B(，1 C2，1 D2，0解析 (1) 032logef
5、ff，选 C(2)函数 y| f(x)|的图象如图 y ax 为过原点的一条直线，当 a0 时，与 y| f(x)|在 y 轴右侧总有交点，不合题意；当 a0 时成立；当 alog25.1220.8，且 a g(log 25.1) g(log25.1)， g(3)g(log25.1)g(20.8)，则 cab法二 (特殊化)取 f(x) x，则 g(x) x2为偶函数且在(0，)上单调递增，又 3log25.120.8，从而可得cab答案 (1)C (2)C探究提高 1利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解2函数单调性应用：可以比
6、较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性【训练 2】(1)(2017淄博诊断)已知奇函数 f(x) 则 f(2)的值等于_3x a（ x 0） ，g（ x） （ xf f(0)，即 f(3) f f(2)(12) (52)答案 (1)8 (2)D热点三 基本初等函数的图象与性质【例 3】(1)(2017郑州一模)若函数 y a|x|(a0，且 a1)的值域为 y|y1，则函数 ylog a|x|的图象大致是( )(2)(2018襄阳联考)设函数 ln2lfxxf，则 fx是（ ）A奇函数，且在 0,2上是增函数 B奇函数，且在 0,2上是减函数C偶函数，且在 上是增函数 D偶函数，且在
7、 上是减函数解析 (1)由于 y a|x|的值域为 y|y1， a1，则 ylog ax 在(0，)上是增函数，又函数 ylog a|x|的图象关于 y 轴对称因此 ylog a|x|的图象应大致为选项 B(2)因为 ln2lf xf，所以函数 f是偶函数，又 2l n2ln4在 0,上是减函数，故选 D答案 (1)B (2) D探究提高 1指数函数、对数函数的图象和性质受底数 a 的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数 a 的范围2研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件如求 f(x)ln( x23 x2)的单调区间，只考虑t x23 x2 与函数 yln
8、 t 的单调性，忽视 t0 的限制条件【训练 3】(1) (2018德州一模)函数 2lnyx的图象大致为（）A B6C D(2)(2017成都冲刺)设函数 f(x) 则满足 f(f(t)2 f(t)的 t 的取值范围是_34x 54， x0，g（ 1） 0，g（ 1） 0， ) 14答案 (1)C (2)B探究提高 1函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的类型有：(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定2判断函数零点个数的主要方法：(1)解方程 f(x)0，直接求零点；(2)利用零点存在定理；(3)数形结合法：对于给定的函数不
9、能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题【训练 4】(2017石家庄调研)已知函数 f(x)sin x(x0)的图象有且只有 3 2对关于 y 轴对称的点，则实数 a 的取值范围是( )A B(0，1) C D(19， 15) (0， 15) (0， 19)解析 由题意，设函数 f(x)图象上点 P(x0， f(x0)(x0f（ 5） ，g1（ 9） 1，loga90，且 a1)，满足 f(1) ，则 f(x)的单调递减区间是（）19A(，2 B2，) C2，) D(，25已知函数 f(x) x22ln x， h(x) x2 x a(1)求函数 f(x)的极值；(2
10、)设函数 k(x) f(x) h(x)，若函数 k(x)在1，3上恰有两个不同零点，求实数 a 的取值范围1(2017合肥二模)已知函数 f(x) 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 x2 4x， x 2，log2x a， x2， )（）A1，0) B(1，2 C(1，) D(2，)2(2018内江一模)函数 21=lnxfxe的图象大致是（）10A BC D3(2018贵州 37 校联考)已知定义在 R上的偶函数 fx满足：当 1,0x时， 2xf，且 1f的图像关于原点对称，则 2019f（）A 2B C 2D 24(2018银川一中)设函数 2,1logxf， xfxa.若 gx
11、存在两个零点，则 a的取值范围是_5(2017贵阳质检)已知函数 f(x)ln( x1) (a0)ax1 x(1)当 a1 时，求函数 f(x)的单调区间；(2)若11则 x 2logt ，同理， y ， z lg tlg 2 lg tlg 3 lg tlg 5122 x3 y 0，2 x3y2lg tlg 2 3lg tlg 3 lg t（ 2lg 3 3lg 2）lg 2lg 3 lg t（ lg 9 lg 8）lg 2lg 3又2 x5 z 2 时，令 f(x)log 2x a0，得 x2 a又函数 f(x)有两个不同零点，2 a0 且 2a2，解得 a1故选 C2 【解题思路】分析四个
12、图象的不同，从而判断函数的性质，利用排除法求解【答案】当 x时， fx，故排除 D；易知 f在 R上连续，故排除 B；且 10ln20fe，故排除 A，故选 C3 【解题思路】根据偶函数及 1fx的图像关于原点对称可知，函数的周期；根据周期性及 1fx为奇函数，可得 2019f的值【答案】由题可知函数 fx的图像关于直线 0x和点 1,对称，所以函数 fx的周期为 4，则 22019314252fffff4 【解题思路】画出 f(x)的图像，利用数形结合进行判断【答案】 gxa,若 gx存在两个零点，即 2fa,和 x有两个不同的交点即可，其中一个临界是过点 1,0代入得到 2a,且能取到，另
13、一个临界是过点 1,2，代入得到 4a，故范围是 4,.15故答案为 4,25 【解题思路】(1)定义域求导单调区间；(2)分类讨论确定 f(x)的最大值【答案】(1)当 a1 时， f(x)的定义域为(1，1)(1，)，f( x) ，1x 1 1（ 1 x） 2 x（ x 3）（ x 1） 2（ x 1）当13 时， f( x)0；当 00 时，令 f( x)0，得 x1 ， x2 a 2 a2 8a2 a 2 a2 8a2若 00， f(x)f(0)0，不符合题意若 a1，此时1f(0)0，不符合题意若 a1，由(1)知，函数 f(x)在 x0 处取得最大值 0，符合题意，综上实数 a 的取值范围为1
