1、1第 2 讲稳得填空题填空题具有小巧灵活、结构简单、运算量不大等特点.根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：(1)定量型：要求考生填写数值、数集或数量关系，如方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等；(2)定性型：要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质，如填写给定二次曲线的焦点坐标、离心率等.解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格.考试说明中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”.为此在解填空题时要做到：快运算要快，力戒小题大做；稳变形要稳，不可操之过急；全答案要全，
2、力避残缺不齐；活解题要活，不要生搬硬套；细审题要细，不能粗心大意.1.方法一 直接法它是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法.要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题.2.方法二 特殊值法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论.为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例.3.方法三 数形结合法(图解法)一些含有几何背景的填空题
3、，若能“数中思形” “以形助数” ，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果，Venn 图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形.4.方法四构造法构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程，构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的.方法一 直接法【例 1】(2018全国 I 卷)
4、记 nS为数列 na的前 项和若 21nSa，则 6S_考向预测2解析依题意， 12nSa作差得 12na，所以 na为公比为 2 的等比数列，又因为 112aS，所以 1，所以 1n，所以 66132S探究提高 直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键.【训练 1】(2017烟台质检)已知抛物线 C1： y24 x 的焦点为 F，点 P 为抛物线上一点，且| PF|3，双曲线C2： 1( a0， b0)的渐近线恰好过 P 点，则双曲线 C2
5、的离心率为_.x2a2 y2b2解析 设点 P(x0， y0)，由抛物线定义得 x0(1)3，所以 x02.又因为 y 4 x0，得 y02 ，即 P(2，2 ).20 2 2又因为双曲线 C2的渐近线过 P 点，所以 ，ba 2 22 2故 e .1 (ba)2 1 2 3答案 3方法二 特殊值法【例 2】如图，在三棱锥 O ABC 中，三条棱 OA， OB， OC 两两垂直，且 OAOBOC，分别经过三条棱OA， OB， OC 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为 S1， S2， S3，则 S1， S2， S3的大小关系为_.解析 要满足各个截面使分得的两个三棱锥体积相等，则需满足与
6、截面对应的交点 E， F， G 分别为中点，故可以将三条棱长分别取为 OA6， OB4， OC2，如图，则可计算 S13 ， S22 ， S3 ，故5 10 13S31 时， ( x)0， (x)在(1，)上是增函数.因此 (x)极小值为 (1) .1e在同一坐标系中作 y (x)与 y a 的图象，又当 x0 成立的 x 的取值范围是_.解析 令 g(x) ，则 g( x) ，由于 xf( x) f(x)0 的解集为(0，1)，因此 f(x)0 的解集为(0，1).答案 (0，1) 探究提高 构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造
7、新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题.【训练 4】在数列 an中， a11，且 an1 2 an1，则数列 an的通项公式是_.解析 由 an1 2 an1，得 an1 12( an1)，又 a11，得 a1120，数列 an1是公比 q2 的等比数列，因此 an122 n1 2 n，故 an2 n1.答案 an2 n151.(2018全国 I 卷)若 xy， 满足约束条件201xy，则 32zxy的最大值为_2. (2018全国 II 卷)曲线 2lnx在点 0,处的切线方程为_3.在 ABC 中， a， b， c 分别是角 A， B， C 的对边.若( a b c)(
8、a b c) ab， c ，当 ab 取得最大值时，3S ABC_.4.(2018全国 III 卷)函数 cos36fx在 0， 的零点个数为_1.(2018全国 III 卷)已知点 1M， 和抛物线 24Cyx： ，过 的焦点且斜率为 k的直线与 C交于 A，B两点若 90AB ，则 k_2.已知直线 ax by c10( b， c0)经过圆 x2 y22 y50 的圆心，则 的最小值是_.4b 1c3.设双曲线 1( a0， b0)的焦点分别为 F1， F2， A 为双曲线上的一点，且 F1F2 AF2，若直线 AF1与圆y2a2 x2b2x2 y2 相切，则双曲线的离心率为_.a2 b2
9、94.已知数列 an是各项均为正整数的等差数列，公差 dN *，且 an中任意两项之和也是该数列中的一项.若a16 m，其中 m 为给定的正整数，则 d 的所有可能取值的和为_(用 m 表示).1. (2018全国 I 卷) ABC的内角 C， ， 的对边分别为 abc， ， ，已知 sini4sinCcBaC，228bca，则 的面积为_2.已知点 A(m，0)，点 P 是双曲线 C： y21 右支上任意一点，若| PA|的最小值为 3，则 m_.x243.在一个容量为 5 的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为 10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字 1 未污损，即 9，10
10、，11，1 ，那么这组数据的方差 s2可能的最大值是_.4.已知点 P， A， B， C， D 是球 O 表面上的点， PA平面 ABCD，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形.若 PA23，则 OAB 的面积为_.6参考答案61.【解题思路】首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式 312yxz，之后在图中画出直线 32yx，在上下移动的过程中，结合 12z的几何意义，可以发现直线 过B 点时取得最大值，联立方程组，求得点 B 的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.【答案】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由 32zxy可得 312xz，画
11、出直线 ，将其上下移动，结合 2z的几何意义，可知当直线过点 B 时， z取得最大值，由 0xy，解得 2,0，此时 max326z，故答案为 62.【解题思路】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.【答案】 1yxQ， 201k， 2yx3.【解题思路】( a b c)(a b c) ab， c ，3( a b)2 c2 ab，得 a2 b2 c2 ab3 ab. a2 b22 ab，当且仅当 a b 时取等号，3 ab2 ab，则 ab1，当且仅当 a b 时取等号，当 ab 取得最大值时， a b1，得 cos C ，sin C ，a2 b2 c22ab 12
12、 1 cos2C 32故 S ABC absin C 11 .12 12 32 34【答案】344.【解题思路】求出 6x的范围，再由函数值为零，得到 36x的取值可得零点个数7【答案】由 ()cos306fx，有 3(Z)62xk，解得 39kx，由 039k得 k可取 0、1、2， ()cosfx在 0,上有 3 个零点1.【解题思路】利用点差法进行计算即可【答案】设 12,AxyB，则214yx，所以 21124y，所以 1212kxy，取 AB中点 0,Mxy,分别过点 A,B作准线 的垂线，垂足分别为 ,AB，因为 9， 122FA，因为 为 中点，所以 平行于 x轴，因为 1,，所
13、以 01y，则 12y，即 k故答案为 2.2.【解题思路】依题意得，圆心坐标是(0，1)，于是有 b c1， (b c)5 524b 1c (4b 1c) 4cb bc9，当且仅当 即 b2 c 时取等号，因此 的最小值是 9.4cbbc b c 1（ bc0） ，4cb bc， ) 23 4b 1c【答案】93.【解题思路】由题意， F1(0， c)， F2(0， c)，不妨取 A 点坐标为 ，(b2a， c)直线 AF1的方程为 y c x，即 2acx b2y b2c0.2acb2直线 AF1与圆 x2 y2 相切， .a2 b29 b2c4a2c2 b4 c3 b2 ac， e2 e
14、 0， e1， e .2 2 2 2【答案】 24.【解题思路】依题设 an a1( n1) d6 m( n1) d.又数列 an中任意两项之和 as at(s， tN *)是 an的一项，所以 a16 m是 d 的公倍数，即d2 i3j(i， j0，1，2， m).则 d 的所有可能取值的和为 2i 3j (2m1 1)(3 m1 1).m i 0 m j 0 12【答案】 (2m1 1)(3 m1 1)1281.【解题思路】首先利用正弦定理将题中的式子化为 sinsin4sinsiBCBAC，化简求得1sin2A，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到 2co8bA，可以断定 A 为锐角，
15、从而求得3co，进一步求得 83bc，利用三角形面积公式求得结果.【答案】因为 sini4sinCBaC，结合正弦定理可得 sinsiAB，可得 1si2A，因为 228bc，结合余弦定理 osa，可得 2cos8b，所以 A 为锐角，且 3cs2，从而求得 3，所以 BC的面积为 181in2SbA，故答案是 23.2.【解题思路】设 P(x， y)(x2)，则| PA|2( x m)2 y2 m21，当 m0 时， x m，| PA|的54(x 45m)2 15 45最小值为 3， m5 ；当 m0 时，2 m3， m1.15m2 1 2【答案】1 或 5 23.【解题思路】设这组数据的最后 2 个分别是：10 x， y，则 91011(10 x) y50，得 x y10，故 y10 x.故 s2 101 x2( x)2 x2，显然 x 最大取 9 时， s2最大是 32.8.15 25 25【答案】32.84.【解题思路】如图，由题意可知 PAC， PBC， PDC 均为直角三角形，取 PC 的中点 O，则 O 到 P， A， B， C， D 的距离相等，所以点 O 为过 P， A， B， C， D 的球的球心，由已知可得 OA OB2 ，3所以 AOB 是正三角形，所以 S 2 2 3 .12 3 3 32 3【答案】3 3
