1、1第 2 讲解三角形正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题正弦定理、余弦定理、三角形面积公式(1)正弦定理在 ABC 中， 2 R(R 为 ABC 的外接圆半径)；asin A bsin B csin C变形： a2 Rsin A，sin A ，a2Ra b csin Asin Bsin C 等(2)余弦定理在 ABC 中， a2 b2 c22 bccos A；变形： b2 c2 a22 bccos A，cos A b2 c2 a22bc(3)三角形面积公式S ABC absin C bcsin A acsin B12 12 12热点一
2、利用正(余)弦定理进行边角计算【例 1】(2018株洲质检)在 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ，已知 ， ，ABC A B C a b c cos2A=-13 c= 3sinA= 6sinC（）求 的值；a（）若角 为锐角，求 的值及 的面积A b ABC解（）由 得 ，cos2A=1-2sin2A sin2A=23因为 ， ，A (0，) sinA=63由 ， ，sinA= 6sinC sinC=13由正弦定理 得 asinA= csinC a=3 22（）角 为锐角，则 ，A cosA=33由余弦定理得 即 ，或 （舍去） ，b2-2b-15=0 b=5 b=-3所以 的面积 AB
3、C SABC=12bcsinA=522探究提高 1高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形2关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一” ，即“统一角、统一函数、统一结构” ，这是使问题获得解决的突破口【训练 1】(2017全国卷) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 sin(A C)8sin 2 B(1)求 cos B；(2)若 a c6， ABC 面积为 2，求 b解 (1)由题设及 A B C，得
4、sin B8sin 2 ，故 sin B4(1cos B)B上式两边平方，整理得 17cos2B32cos B150，解得 cos B1(舍去)，cos B 1517(2)由 cos B ，得 sin B ，1517 817故 S ABC acsin B ac12 417又 S ABC2，则 ac 172由余弦定理及 a c6 得b2 a2 c22 accos B( a c)22 ac(1cos B)362 4172 (1 1517)所以 b2热点二 应用正、余弦定理解决实际问题【例 2】(2017衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在 C 处(点
5、 C 在水平地面下方， O 为 CH 与水平地面 ABO 的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点 A， B 两地相距 100 米， BAC60，其中 A 到 C 的距离比 B 到 C 的距离远 40 米 A 地测得该仪器在 C 处的俯角为 OAC15， A 地测得最高点 H 的仰角为 HAO30，则该仪器的垂直弹射高度 CH 为（）A210( )米 B140 米6 2 6C210 米 D20( )米2 6 23解析 由题意，设 AC x 米，则 BC( x40)米，在 ABC 内，由余弦定理： BC2 BA2 CA22 BACAcos BAC，即( x40) 2 x210 0001
6、00 x，解得 x420 米在 ACH 中， AC420 米， CAH301545， CHA903060，由正弦定理： CHsin CAH ACsin AHC可得 CH AC 140 (米)sin CAHsin AHC 6答案 B探究提高 1实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解2实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解【训练 2】 (2018衡水中学)如图，一山顶有一信号塔 CD（
7、所在的直线与地平面垂直） ，在山脚 A处测得塔尖 C的仰角为 ，沿倾斜角为 的山坡向上前进 l米后到达 B处，测得 C的仰角为 （1）求 BC的长；（2）若 4l， 5， 7， 30，求信号塔 CD的高度解（1）在 A中， B， A， AB由正弦定理，sinBCl（2）由（1）及条件知， sin126BCl， 9015BCD，45CBD， 0D由正弦定理得 sin24831热点三 解三角形与三角函数的交汇问题【例 3】(2017长沙质检)已知函数 f(x)2 sin xcos x2cos 2x1， xR3(1)求函数 f(x)的最小正周期和最小值；(2)在 ABC 中， A， B， C 的对边
8、分别为 a， b， c，已知 c ， f(C)0，sin B2sin A，求 a， b 的值34解 (1) f(x) sin 2x2cos 2x13 sin 2x(cos 2 x1)1 sin 2xcos 2 x22sin 2，3 3 (2x 6)所以函数 f(x)的最小正周期 T ，最小值为422(2)因为 f(C)2sin 20，(2C 6)所以 sin 1，又 C(0，)，(2C 6)知 2C ，所以 2C ，得 C 6 6116 6 2 3因为 sin B2sin A，由正弦定理得 b2 a，由余弦定理得， c2 a2 b22 abcos C a24 a22 a23 a2，又 c ，所
9、以 a1， b23探究提高 1解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理2求解该类问题，易忽视 C 为三角形内角，未注明 C 的限制条件导致产生错解【训练 3】(2018聊城一中)已知 ，其中向量 ，(f(x)=ab-1 a=(sin2x，2cosx)，b=( 3， cosx)x R（1）求 的最小正周期和最小值；f(x)（2）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 、 、 ，若 34Af， 1a， 4b，求边长 的值a b c c解(1) f(x)=(sin2x，2cosx)( ，cosx)-1
10、= sin2x+cos2x=2sin（2x ） ，3 3 6f(x)的最小正周期为 ，最小值为-2(2) f( )=2sin（ ）= sin（ ） ，A4 A2 6 3 A2 6 32 A 或 （舍去） ，A2 6 3或 23 3 A=由余弦定理得 a2b 2c 22bccosA，即 1316c 2-4c，即 c2-4c+3=0，从而 c =1 或 c=351(2018全国 II 卷)在 中， ，BC=1，AC=5，则 AB=（）ABC cosC2= 55A B C D4 2 30 29 2 52(2017全国卷) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c已知 sin Bs
11、in A(sin Ccos C)0， a2， c ，则 C( )2A B C D12 6 4 33(2018全国 III 卷) 的内角 的对边分别为 ， ， ，若 的面积为 ， ABC A ， B ， C a b c ABCa2+b2-c24则 （）C=A B C D 2 3 4 64(2018全国 I 卷) 的内角 的对边分别为 ，已知 ，ABC A ， B ， C a ， b ， c bsinC+csinB=4asinBsinC，则 的面积为_b2+c2-a2=8 ABC5(2018全国 I 卷)在平面四边形 中， ， ， ， ABCD ADC=90 A=45 AB=2 BD=5（1）求
12、；cosADB（2）若 ，求 DC=2 2 BC61(2019郴州质检)在 中，三内角 的对边分别为 ，且 ，ABC A， B， C a， b， c b2+c2- 3bc=a2，则角 的大小是（）bc= 3a2 CA 或 B C D 6 23 3 23 62(2017山东卷)在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c若 ABC 为锐角三角形，且满足 sin B(12cos C)2sin Acos Ccos A sin C，则下列等式成立的是（）A a2 b B b2 a C A2 B D B2 A3(2017全国卷) ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b
13、， c，若 2bcos B acos C ccos A，则B_4(2019开封一模)在 中，内角 所对的边分别为 ，且 ABC A， B， C a， b， c acosB+bsinA=c（1）求角 ；A（2）若 ， 的周长为 6，求 的面积a=2 ABC ABC1(2019昆明诊断)在平面四边形 中， ， ， ， ， ，则ABCD D=90 BAD=120AD=1 AC=2 AB=3（）BC=A B C D5 6 7 2 272(2017郑州二模)在 ABC 中，三内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 ，则角c b2c a sin Asin B sin CB_3(2018重庆
14、一中)已知函数 f(x)= 3sin2x+2cos2x-1， x R(1)求函数 的最小正周期和单调递减区间；f(x)(2)在ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ，求ABC 面积 c= 3， f(C)=1，sinB=2sinA S4(2017衡水中学调研)在 ABC 中，角 A， B， C 所对应的边分别为 a， b， c，若( a c)sin A bsin B( a b c)sin C0(1)求角 A；(2)当 sin Bsin C 取得最大值时，判断 ABC 的形状8参考答案1 【解题思路】先根据二倍角余弦公式求 cosC，再根据余弦定理求 AB【答案】因为 cosC=
15、2cos2C2-1=2(55)2-1=-35，所以 ，选 Ac2=a2+b2-2abcosC=1+25-215(-35)=32， c=4 2点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的2 【解题思路】由 BA消去角 B，再化简即可得到 A，再利用正弦定理求 C【答案】 由题意得 sin(A C)sin A(sin Ccos C)0，sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，则 sin C(sin Acos A) sin Csin 0，2 (A 4)因为 sin C0，所以
16、 sin 0，(A 4)又因为 A(0，)，所以 A ，所以 A 4 34由正弦定理 ，得 ，asin A csin C 2sin 34 2sin C则 sin C ，得 C 故选 B12 63 【解题思路】利用面积公式 和余弦定理 进行计算可得S ABC=12absinC a2+b2-c2=2abcosC【答案】由题可知 ，所以 ，S ABC=12absinC=a2+b2-c24 a2+b2-c2=2absinC由余弦定理 ，所以 ，a2+b2-c2=2abcosCsinC=cosC， ，故选 C C (0，) C= 4点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理4 【解题思
17、路】首先利用正弦定理将题中的式子化为 ，化简求得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到 ，可以断定 A 为锐角，从而求得sinA=12 2bccosA=8，进一步求得 ，利用三角形面积公式求得结果cosA=32 bc=833【答案】因为 ，bsinC+csinB=4asinBsinC结合正弦定理可得 ，sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC可得 ，因为 ，sinA=12 b2+c2-a2=8结合余弦定理 ，可得 ，a2=b2+c2-2bccosA2bccosA=89所以 A 为锐角，且 ，从而求得 ，cos
18、A=32 bc=833所以 的面积为 ，故答案是 ABC S=12bcsinA=12 833 12=233 2335 【解题思路】(1)根据正弦定理可以得到 ，根据题设条件，求得 ，结合角的范BDsinA= ABsinADB sinADB= 25围，利用同角三角函数关系式，求得 ；cosADB= 1-225= 235(2)根据题设条件以及第一问的结论可以求得 ，之后在 中，用余弦定理得cosBDC=sinADB=25 BCD到 所满足的关系，从而求得结果BC【答案】 （1）在 中，由正弦定理得 ABDBDsinA= ABsinADB由题设知， ，所以 5sin45= 2sinADB sinAD
19、B= 25由题设知， ，所以 ADB90 cosADB= 1-225= 235（2）由题设及（1）知， cosBDC=sinADB=25在 中，由余弦定理得 BCD BC2=BD2+DC2-2BDDC cosBDC=25+8-252 225=25所以 BC=51 【解题思路】由 可得 cosA ，进而利用 可得 sinBsinC=b2+c2- 3bc=a2 =32 bc= 3a2结合内角和定理可得 C 值3sin2A= 34【答案】 ，b2+c2- 3bc=a2cosA ，=b2+c2-a22bc = 3bc2bc= 32由 0A，可得 A ，= 6 ，sinBsinC= ，bc= 3a2 3
20、sin2A= 34 ，即 ，sin(56-C)sinC= 34 12sinCcosC+ 34(1-cos2C)= 34解得 tan2C= ，又 ，3 0C562C= 或 ，即 C= 或 ，故选 A 3 43 6 232 【解题思路】注意等式两边的形式，利用和差角公式以及 +=ABC朝能约的方向进行化简【答案】 等式右边2sin Acos Ccos Asin Csin Acos Csin( A C)sin Acos Csin B10等式左边2sin Bcos Csin B，则 2sin Bcos Csin Bsin Acos Csin B，因为角 C 为锐角三角形的内角，所以 cos C 不为
21、0所以 2sin Bsin A，根据正弦定理，得 a2 b故选 A3 【解题思路】边化角再利用和差角公式即可【答案】由正弦定理得 2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos Asin( A C)sin B2sin Bcos Bsin B，又 sin B0，cos B ，故 B 故填 12 3 34 【解题思路】 （1）利用正弦定理将已知的边转化为角的形式，然后利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式化简，由此求得 的大小 （2）根据周长列出一个方程，利用余弦定理列出第二方程，解方程组求得A的值，并求得三角形的面积bc【答案】 （1）由已知及正弦定理得： ，sinAcosB+si
22、nBsinA=sinC ， ，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sinBsinA=cosAsinB ， sinB 0 sinA=cosA A (0， ) A= 4（2） ， 的周长 ， ，a=2 ABC l=6 b+c=4由余弦定理得 ， ， ，a2=(b+c)2-2bc-2bccosA 4=16-2bc- 2bcbc=6(2- 2) 的面积 ABC S=12bcsinA=126(2- 2)22=3(2-1)1 【解题思路】在 Rt 中，由 ， ，得 ， ，所以 ，ADC AD=1 AC=2 DAC=60 且BAD =120 CAB=60由余弦定理得 BC 的长度
23、【答案】在平面四边形 中，如图ABCD在 Rt 中， ， ， ，所以 ， ，所以 ，ADC D =90AD=1 AC=2 DAC=60 且BAD =120 CAB=60在 中， ，由余弦定理得 ，所以 BC= ABC AB=3 BC2=AC2+AB2-2ACABcosCAB=7 7故选 C2 【解题思路】角化边即可得11【答案】由 及正弦定理，c b2c a sin Asin B sin C得 ，则 a2 c2 b2 ac，c b2c a ab c 2cos B ，从而 B 故填 a2 c2 b22ac 22 4 43 【解题思路】(1)利用二倍角公式和辅助角公式将函数 f(x)进行化简，然后
24、利用正弦函数图像的性质可得周期和单调区间；（2）由 f(C)=1，得角 C，由正弦定理得 b=2a，然后利用余弦定理可得 a 和 b 的值，代入面积公式即可得到答案【答案】 =2sin(2x+ )f(x)= 3sin2x+cos2x 6(1)最小正周期为 ，T=因为 ， 2+2k 2x+ 6 32+2k ， k Z所以 ， 6+k x 23+k所以函数的单递减区间为 6+k ， 23+k ， k Z（2）因为 ，所以 ，f(C)=2sin(2C+ 6)=1 C= 3所以 ， ( 3)2=a2+b2-2abcos 3 a2+b2-ab=3又因为 sinB=2sinA，所以 b=2a由，可得 a=
25、1，b=2， S=12absinC= 324 【解题思路】(1)角化边(2)由 B C ，消元留一个未知量，再化 sinyAx形式，进而根据角23度范围确定其值域【答案】解 (1)由正弦定理 2 R，asin A bsin B csin C可得 sin A ，sin B ，sin C a2R b2R c2R代入( a c)sin A bsin B( a b c)sin C0 化简整理得： b2 c2 a2 bc，则 ，所以 cos A b2 c2 a22bc 12 12又因为 A 为三角形内角，所以 A 3(2)由(1)得 B C ，23所以 sin Bsin Csin Bsin sin Bsin cos Bcos sin B(23 B) 23 23 sin B cos B sin 32 32 3 (B 6)12因为 0B ，所以 B ，23 6 656所以当 B 时， B ，sin Bsin C 取得最大值 ， 3 6 2 3因此 C( A B) ，所以 ABC 为等边三角形 3
