1、- 1 -上海市七宝中学 2019 届高三数学上学期期中试题（含解析）一. 填空题1.集合 的真子集有_个【答案】【解析】【分析】直接写出集合 A 的真子集即得解.【详解】集合 A 的真子集有 ，0，1，2018，0,1，0,2018，1,2018，所以集合A 的真子集个数为 7,故答案为：7【点睛】本题主要考查集合的真子集及其个数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2.设全集 ， ， ，则图中阴影部分所表示的集合是_（用区间表示）【答案】【解析】【分析】先化简集合 M 和 N，再求 MN,再求 即得阴影部分所表示的集合 .【详解】由题得 M=x|x2 或 x-x+1,再分 1x
2、2 和 0x1 两种情况讨论恒成立问题，即得解.【详解】由题得|2x-a|-x+1,当 1x2 时，-x+12,因为 a0,综合得 a2.故答案为：a2【点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.10.已知常数 ，函数 的图像经过点 、 ，若 ，则_- 5 -【答案】【解析】【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的 a 值【详解】函数 f（x）= 的图象经过点 P（p， ） ，Q（q， ） 则： ，整理得： =1，解得：2 p+q=a2pq，由于：2 p+q=16pq，所以：a 2=16，由于 a0，故：a=4故答案为：4【点睛】本
3、题主要考查函数的性质和指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.11.已知函数 ，若 ，则 的最大值是_【答案】【解析】【分析】设 g(x)=f(x)-3,再判断函数 g(x)的奇偶性和单调性，再由 得，再利用三角换元求 的最大值.【详解】设 g(x)=f(x)-3,所以 g(x)= ,所以所以 g(-x)=-g(x),所以函数 g(x)是奇函数，- 6 -由题得 ，所以函数 g（x）是减函数，因为 ，所以 ，所以 g =0,所以 g =g(1- ,所以不妨设 ，所以 = ，所以 的最大值为 .故答案为：【点睛】 （1）本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查函数的图像和
4、性质，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题的解题关键有三点，其一是构造函数 g(x)得到函数 g(x)的奇偶性和单调性，其二是由得 ，其三是利用三角换元求 的最大值.12.已知函数 ，如果函数 恰有三个不同的零点，那么实数 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先求出函数的解析式，作出函数的图像，由题得 有三个不同的实根，数形结合分析得到实数 k 的取值范围.【详解】当 1x2 时，f(x)=-x+2,当 时，12x2，所以 f(x)= ,当 时， 2x1，所以 f(x)= ,- 7 -当 时， 2x ，所以 f(x)= ,当 时， 2x ，
5、所以 f(x)= ,所以函数的图像为：其图像为线段 PA,EB,GC,HD, ,(不包括上端点 A,B,C,D, )直线 y=k(x-1)表示过定点 P(1,0)的直线系，由题得 C( ),D( ),当直线在 PD(可以取到)和直线 PC（不能取到）之间时，直线和函数 f(x)的图像有三个不同的交点，由题得 .所以 k 的取值范围为 .故答案为：【点睛】 （1）本题主要考查函数的图像和性质，考查求函数的解析式，考查函数的零点问题，意在考查学生读这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.（2）解答本题的关键是求出函数 f(x)的解析式作出函数的图像.(3)函数的零点问题常用的方法有：方程法、图像
6、法、方- 8 -程+图像法.二. 选择题13.“函数 存在反函数”是“函数 在 上为增函数”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】函数 存在反函数，至少还有可能函数 在 上为减函数，充分条件不成立；而必有条件显然成立。视频14.若函数 的反函数为 ，则函数 与 的图像可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】f（x）和 f1 （x）关于 y=x 对称是反函数的重要性质；而将 f（x）的图象向右平移 a 个单位后，得到的图象的解析式为 f（xa）而原函数和反函数的图象同时平移时，他们的对称轴也相应
7、平移【详解】函数 f（x1）是由 f（x）向右平移一个单位得到，f1 （x1）由 f1 （x）向右平移一个单位得到，而 f（x）和 f1 （x）关于 y=x 对称，- 9 -从而 f（x1）与 f1 （x1）的对称轴也是由原对称轴向右平移一个单位得到即y=x1，排除 B，D；A，C 选项中各有一个函数图象过点（2，0） ，则平移前的点坐标为（1，0） ，则反函数必过点（0，1） ，平移后的反函数必过点（1，1） ，由此得 A 选项有可能，C 选项排除；故答案为：A【点睛】本题主要考查函数与其反函数的关系，考查函数的图像的变换，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 用整体平移的思想看
8、问题，是解决本题的关键15.在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，给出四个命题：（1）若 ，则 为等腰三角形；（2）若 ，则 为直角三角形；（3）若 ，则 为等腰直角三角形；（4）若 ，则 为正三角形；以上正确命题的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】对每一个命题逐一分析得解.【详解】(1)若 ，则 2A=2B 或 2A+2B=，所以 A=B 或 A+B= ,所以ABC 是等腰三角形或直角三角形，所以该命题是错误的.(2) 若 ，所以 sinA=sin( ,所以则 不一定为直角三角形,所以该命题是错误的.(3) 若 ，所以 A=C= ，则 为等腰
9、直角三角形，所以该命题是真命题.(4)若 ，所以 所以 A=B=C,- 10 -所以ABC 是正三角形.所以该命题是真命题.故答案为：B【点睛】本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.16. 是定义在 上的函数，且 ，若 的图像绕原点逆时针旋转 后与原图像重合，则在以下各项中， 的可能取值只能是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】直接利用定义函数的应用求出结果【详解】由题意得到：问题相当于圆上由 12 个点为一组，每次绕原点逆时针旋转 个单位后与下一个点会重合我们可以通过代入和赋值的方法当
10、f（ ）= ， ，3 时，此时得到的圆心角为 ， ， ，然而此时 x=0 或者 x= 时，都有 2 个 y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个 x 只能对应一个 y，因此只有当 = ，此时旋转 ，此时满足一个 x 只会对应一个 y，故答案为：C【点睛】本题考查函数的定义的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.三. 解答题17.已知锐角 和钝角 的终边分别与单位圆交于 、 两点，其中 点坐标 .（1）求 的值；- 11 -（2）若 ，求 点坐标.【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】(1)先求出 ，再求 的值.(2)由题得 ，解方程组即得点 B 的坐标.【详解】由
11、题得 ，所以 =-7.由题设 B(x,y),因为 是钝角，所以 ,所以点 B 的坐标为 .【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义，考查三角恒等变换求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18.如图，某公园有三个警卫室 、 、 有直道相连， 千米， 千米， 千米.（1）保安甲沿 从警卫室 出发行至点 处，此时 ，求 的直线距离；（2）保安甲沿 从警卫室 出发前往警卫室 ，同时保安乙沿 从警卫室 出发前往警卫室，甲的速度为 1 千米/小时，乙的速度为 2 千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过 3 千米，试问有多长时间两人不能通话？（精确到 0.01
12、小时）【答案】 （1） ；（2） .- 12 -【解析】【分析】(1)由解直角三角形可得C=30，在BPC 中由余弦定理可得 BP 的值；（2）设甲出发后的时间为 t 小时，则由题意可知 0t4，设甲在线段 CA 上的位置为点 M，则 AM=4t，讨论 0t1 时，当 1t4 时，分别在AMQ 和AMB 中，运用余弦定理和二次不等式的解法，即可得到所求结论【详解】 （1）在 RtABC 中，AB=2，BC=2 ，所以C=30，在PBC 中 PC=1，BC=2 ，由余弦定理可得BP2=BC2+PC22BCPCcos30=（2 ） 2+122 1 =7，即 BP= ；（2）在 RtABC 中，BA
13、=2，BC=2 ，AC=4，设甲出发后的时间为 t 小时，则由题意可知 0t4，设甲在线段 CA 上的位置为点 M，则 AM=4t，当 0t1 时，设乙在线段 AB 上的位置为点 Q，则 AQ=2t，如图所示，在AMQ 中，由余弦定理得 MQ2=（4t） 2+（2t） 222t（4t）cos60=7t 216t+169，解得 t 或 t ，所以 0t ；当 1t4 时，乙在警卫室 B 处，在ABM 中，由余弦定理得 MB2=（4t） 2+422t（4t）cos60=t 26t+129，解得 t3 或 t3+ ，又 1t4，不合题意舍去 综上所述 0t 时，甲乙间的距离大于 3 千米，所以两人不
14、能通话的时间为 小时- 13 -【点睛】本题考查解三角形的实际问题的解法，注意运用余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题19.问题：正数 、 满足 ，求 的最小值.其中一种解法是： ，当且仅当 且 时，即 且 时取等号.学习上述解法并解决下列问题：（1）若实数 、 、 、 满足 ，试比较 和 的大小，并指明等号成立的条件；（2）利用（1）的结论，求函数 的值域.【答案】 （1） ， 且 等号成立；（2） .【解析】【分析】（1）先化简 =( ，再利用基本不等式求最值即得解.(2) 令 再利用结论求函数的值域.【详解】 =( - 14 -当 时取等.令由（1）得 ,因为 f(t)0,所以
15、.所以函数 的值域为 .【点睛】(1)本题主要考查常量代换和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题的解题关键是对“1”的常量代换，再利用基本不等式求函数的最小值. 利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等” ，三个条件缺一不可.20.定义区间 、 、 、 的长度均为 ，已知不等式 的解集为 .（1）求 的长度；（2）函数 （ ， ）的定义域与值域都是 （ ） ，求区间 的最大长度；（3）关于 的不等式 的解集为 ，若 的长度为 6，求实数 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） ；（3） .【解析】【分析】解不等式得其解集即得区间长度.(2) 由题
16、意求出 f（x）的定义域并化简解析式，判断出区间的范围和 f（x）的单调性，由题意列出方程组，转化为 m，n 是方程 f（x）的同号的相异实数根，利用韦达定理表示出 mn 和 m+n，由判别式大于零求出 a 的范围，表示出 nm利用配方法化简后，由二次函数的性质求出最大值和 a 的值(3)先求出 AB（0，6） ，再- 15 -转化为不等式组 ，当 x（0，6）时恒成立. 分析两个恒成立问题即得 t的取值范围.【详解】解不等式 得其解为 -1x6，所以解集 A 区间长度为 6-(-1)=7.(2) 由题意得，函数 f（x）的定义域是x|x0，m，n是其定义域的子集，m，n（，0）或（0，+）
17、f（x）= 在m，n上是增函数，由条件得 ，则 m，n 是方程 f（x）=x 的同号相异的实数根，即 m，n 是方程（ax） 2（a 2+a）x+1=0 同号相异的实数根mn= ，m+n= = ，则=（a 2+a） 24a 20，解得 a1 或 a3nm= = = ，nm 的最大值为 ，此时 ，解得 a=3.即在区间m，n的最大长度为 (3) 因为 x0,A=-1,6） ， 的长度为 6，所以 AB（0，6）.不等式 log2x+log2（tx+3t）2 等价于又 AB（0，6） ，不等式组的解集的各区间长度和为 6，所以不等式组 ，当 x（0，6）时恒成立. 当 x（0，6）时，不等式 tx
18、+3t0 恒成立，得 t0当 x（0，6）时，不等式 tx2+3tx40 恒成立，即 恒成立 当 x（0，6）时， 的取值范围为 ，所以实数- 16 -综上所述，t 的取值范围为【点睛】本题考查一个新定义问题，即区间的长度，本题解题的关键是对于条件中所给的三种不同的题目进行整理变化，灵活解答函数的最值问题和恒成立问题.21.已知定义在 上的函数 满足： 对任意的实数 都成立，当且仅当 时取等号，则称函数 是 上的 函数，已知 函数 具有性质：（ , ）对任意的实数 （）都成立，当且仅当 时取等号.（1）试判断函数 （ 且 ）是否是 上的 函数，说明理由；（2）求证： 是 上的 函数，并求 的最
19、大值（其中 、 、 是三个内角） ；（3）若 定义域为 ， 是奇函数，证明： 不是 上的 函数； 最小正周期为 ，证明： 不是 上的 函数.【答案】 （1） ，是 S 函数； ，不是 S 函数；（2）见解析，最大值 ；（3）见解析.【解析】【分析】(1)利用 S 函数的定义证明当 0a1 时， 不是 上的 函数. 当 a 大于 1 时，不是 上的 函数.（2）利用 S 函数的定义证明 是 上的 函数，并利用 S 函数的性质求 的最大值.(3)利用举反例证明.【详解】任取 ,当- 17 -同理可证，当 0a1 时， 不是 上的 函数.(2) ,所以 是 上的 函数.由 S 函数的性质有所以（3）用举反例证明，令 f(x)=sinx,所以 f(x)=sinx 是 R 上的周期为 的奇函数，取所以而- 18 -即在 R 上，f(x)=sinx 不是 S 函数，故原命题得证.【点睛】本题主要考查新定义解题，考查学生对新定义的理解和掌握水平和利用新定义处理数学问题的能力.解题的关键是对新定义理解透彻.
