1、- 1 -四川省双流中学 2018 届高三数学考前第一次模拟考试试卷 理（含解析）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1.已知集合 ，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】：先解 A、B 集合，再取并集。【详解】：先解 ，故选 B【点睛】：一般地，把不等式组放在数轴中得出解集。2.2.已知 为虚数单位，现有下面四个命题若复数 满足 ，则 ；若复数 满足 ，则 为纯虚数；若复数 满足 ，则 ；复数 与 ， ，在复平面内对应的点关于实轴对称.其中的真命题为（ ）A.
2、B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由虚数单位 的性质及复数的基本概念逐一核对四个选项得答案【详解】对于 ：由 ，得 ，则 ，故 是假命题；- 2 -对于 ：若复数 满足 ，则 ，故 为纯虚数，则 为真命题；对于 ，若复数 满足 ，则 ，是假命题，如 ， ；对于 ：复数 与 ， 的实部相等，虚部互为相反数，则在复平面内对应的点关于实轴对称，故 是真命题.故选 D.【点睛】本题考查了复数的运算法则，复数的实部与虚部的定义，命题的真假判定，注意概念的掌握以及计算的准确性.3.3.林管部门在每年 3 月 12 日植树节前，为保证树苗的质量，都会在植树节前对树苗进行检测，现从甲乙两种树苗中抽测
3、了 10 株树苗的高度，其茎叶图如图.根据茎叶图，下列描述正确的是（ ）A. 甲树苗的平均高度大于乙树苗的平均高度，且甲种树苗比乙种树长的整齐.B. 甲树苗的平均高度大于乙树苗的平均高度，但乙种树苗比甲种树长的整齐.C. 乙树苗的平均高度大于甲树苗的平均高度，且乙种树苗比甲种树长的整齐.D. 乙树苗的平均高度大于甲树苗的平均高度，但甲种树苗比乙种树长的整齐.【答案】D【解析】解：由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙两种树苗抽取的样本高度分别为：甲：19，20，21，23，25，29，31，32，33，37乙：10，10，14，26，27，30，44，46，46，47由已知易得：甲的均值为 =“(1
4、9+20+21+23+25+29+31+32+33+37)“ 10 =27- 3 -乙的均值为 =“(10+10+14+26+27+30+44+46+46+47)“ 10 =30S 甲 2S 乙 2故：乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐故选 D4.4.若 是满足约束条件 ，且 ，则 的最大值为（ ）A. 1 B. 4 C. 7 D. 10【答案】C【解析】【分析】把约束条件化为 ，画出约束条件表示的平面区域，由 得目标函数 ，即可求得 的最大值.【详解】点 是满足约束条件 ，画出不等式组表示的平面区域，如图所示：由 得目标函数 .由图形可知，目标函数过点 时，
5、 取得最大值，由 ，解得 . 的最大值为故选 C.【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或- 4 -最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.5.已知双曲线 的离心率为 ，其中一条渐近线的倾斜角 的取值范围是，其斜率为 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】双曲线 =1（a0，b0）的渐近线方程为 y= x，由一条渐近线的倾斜角的取值
6、范围 ， ，则 tan tan ，即为 ，即，记易知： 在 上单调递减， 上单调递增， 的取值范围是故选:D6.6.我国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩一，五五数之剩三，七七数之剩六，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”.若正整数 除以正整数 后的余数为 ，则记为 ，例如 .现将该问题以程序框图（6 题图）给出，执行该程序框图，则输出的 等于（ ）- 5 -A. 13 B. 11 C. 15 D. 8【答案】A【解析】【分析】：按照程序框图的流程逐一写出前面有限项，最后得出输出的结果。【详解】：第一步：第二步：第三步：第四步：最后： ，输出 的值，
7、故选 A。【点睛】：程序框图的题学生只需按照程序框图的意思列举前面有限步出来，观察规律，得出所求量与步数之间的关系式。7.7. 是函数“ 与函数 在区间 ，上的单调性相同”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】函数 在区间 上单调递减，当 时，函数 ， ，可得，由此可得 在区间 上的单调性，而当 时，函数在区间 上具有相同的单调性，即可判断出结论.- 6 -【详解】由题意可得函数 在区间 上单调递减.当 时，函数 ， ，可得 .函数 在区间 上单调递减.当 时，函数 在区间 上单调递减 是函数“ 与函数 在区间
8、，上的单调性相同”的充分而不必要条件.故选 A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键.判断 是 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件 能否推得条件 ；二是由条件 能否推得条件 .8.8.一个几何体三视图如下，则其体积为（ ）A. 12 B. 8 C. 6 D. 4【答案】D【解析】【分析】：在长方体中还原立体图为三棱锥。【详解】：在长方体中还原立体图为三棱锥如下图所示，由此解得体积为 4，故选 D- 7 -【点睛】：由三视图还原几何体，当三角形比较多的时候，一般以长方体为模型，还原三视图。长方体的长、宽、高中的某个量可以对应几何体的高，求
9、解很方便。9.9.某单位现需要将“先进个人” ， “业务精英” 、 “道德模范” 、 “新长征突击手” 、 “年度优秀员工”5 种荣誉分配给 3 个人，且每个人至少获得一种荣誉，五种荣誉中“道德模范”与“新长征突击手”不能分给同一个人，则不同的分配方法共有（ ）A. 120 种 B. 150 种 C. 114 种 D. 118 种【答案】C【解析】【分析】把荣誉分成 3 组，然后分配到人即可【详解】将“先进个人” 、 “业务精英” 、 “道德模范” 、 “新长征突击手” 、 “年度优秀员工”5种荣誉分配给 3 个人，且每个人至少获得一种荣誉，五种荣誉中“道德模范”与“新长征突击手”不能分给同一
10、个人，五种荣誉分 3 组：2，2，1 类型；3，1，1 类型；2，2，1 类型，共有 ，则不同的分配方法有： 种方法；3，1，1 类型，共有： 种方法；每个人至少获得一种荣誉，五种荣誉中“道德模范”与“新长征突击手”不能分给同一个人，则不同的分配方法共有： 种方法.故选 C.【点睛】解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析” 、 “分辨” 、 “分类”、 “分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素” ，哪些是- 8 -“位置” ；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排
11、斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决10.10.已知 中， ， ， ， 为线段 上任意一点，则 的范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，由余弦定理可得 的长，进而可得 为直角三角形，据此建立坐标系，求出、 的坐标以及线段 的方程，设 ，由数量积的坐标计算公式可得 的表达式，结合二次函数的性质分析可得答案.【详解】根据题意， 中， ， ， ，则根据余弦定理可得，即 . 为直角三角形以 为原点， 为 轴， 为 轴建立坐标系，则 ， ，则线段 的方程为.设 ，则 .故选 C.【点睛】平
12、面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量- 9 -积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决.列出方程组求解未知数，求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单.11.11.已知抛物线 的焦点为 ，双曲线 的右焦点为 ，过点的直线与抛物线在第一象限的交点为 ，且抛物线在点 处的切线与直线 垂直，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】先求出过点 ， 的直线方程，再根据导数的几何意义和
13、抛物线在点 处的切线与直线垂直，求出 的值，再根据基本不等式即可求出【详解】抛物线 的焦点 为 ，双曲线 的右焦点为过点 ， 的直线方程为抛物线在点 处的切线与直线 垂直抛物线在点 处的切线的斜率为抛物线方程为设点 的坐标为 ，则 ，即 . ，则 .- 10 - ，当且仅当 时取等号. 的最大值为故选 B.【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，以及导数的几何意义和基本不等式解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均
14、值不等式法.12.12.已知函数 为定义域 上的奇函数，且在 上是单调递增函数，函数，数列 为等差数列，且公差不为 0，若 ，则（ ）A. 45 B. 15 C. 10 D. 0【答案】A【解析】【分析】：由函数的对称性，和等差数列的增减性，得出 ，由，可得 的值。【详解】：函数 为定义域 上的奇函数，则 ，关于点 中心对称，那么关于点 中心对称，由等差中项的性质和对称性可知： ，故，由此 ，由题意：，若，则。故选 A【点睛】：已知函数的奇偶性，再进行平移变换，如果是奇函数，平移后有对称中心。如果是偶函数，平移后有对称轴。第卷（共 90 分）- 11 -二、填空题（每题 5 分，满分 20 分
15、，将答案填在答题纸上）13.13. 的展开式中含 项的系数为 2，则 的值为 _【答案】1 或 . 【解析】【分析】把 按照二项式定理展开，可得展开式中含 项的系数，再根据展开式中含 项的系数为 2，求得 的值【详解】 的展开式中含 项的系数为，即 . 或故答案为 或 .【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求出 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 项，由特定项得出 值，最后求出其参数.14.14.已知平面向量 ，且 ，则 在 方向上的投影是_【答案】 .【解析】【分析】由
16、平面向量 ，且 ，求出 ，由此能求出 在 方向上的投影.【详解】平面向量 ，且 在 方向上的投影是：- 12 -故答案为 .【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是 ，二是 ，主要应用以下几个方面：（1）求向量夹角， （此时 往往用坐标形式求解） ；（2）求投影， 在 上的投影是 ；（3） ， 向量垂直，则 ；（4）求向量 的模（平方后需求 ）.15.15.已知直线 的斜率为 ，则 _【答案】 .【解析】【分析】由已知条件求出 的值，再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得的值.【详解】直线 的斜率为 ，即 .故答案为 .【点睛】应用
17、三角公式解决问题的三个变换角度：（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑” ；（2）变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦” 、 “升幂与降幂”等；（3）变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换” 、 “逆用变用公式” 、 “通分约分” 、 “分解与组合” 、 “配方与平方”等.16.16.在三棱锥 中， ，则三棱锥 外接球的体积的最小值为_- 13 -【答案】 .【解析】【分析】：先将三棱锥还原到长方体中，根据题意建立长方体的体对角线与 的函数关系式，求解体对角线的最小值，由此得出外
18、接球的体积的最小值。【详解】：如图所示，三棱锥 的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线 ，设 ，那么 , ,所以 。由题意，体积的最小值即为 最小， ，所以当 时， 的最小值为 ，所以半径为 ，故体积的最小值为 。【点睛】：根据题意把三棱锥还原到长方体是解决三棱锥外接球问题的常见解法，不同题目背景，还原方法不一样，但三棱锥的四个顶点一定是长方体的顶点。三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.17.已知数列 的前 项和为 ，向量 满足条件（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） .(
19、2) .【解析】【分析】（1）根据向量的数量积和可得 ，再根据数列的递推公式即可求出；（2）根据错- 14 -位相减法即可求出数列 的前 项和 .【详解】 （1）当 时，当 时， ，而 满足上式（2） 两边同乘 ，得 ，两式相减得：， .【点睛】用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解.18.18.市场份额又称市场占有率，它在很大程度上反映了企业的竞争地
20、位和盈利能力，是企业非常重视的一个指标.近年来，服务机器人与工业机器人以迅猛的增速占领了中国机器人领域庞大的市场份额，随着“一带一路”的积极推动，包括机器人产业在内的众多行业得到了更广阔的的发展空间，某市场研究人员为了了解某机器人制造企业的经营状况，对该机器人制造企业 2017 年 1 月至 6 月的市场份额进行了调查，得到如下资料：月份 1 2 3 4 5 6市场份额 11 163 16 15 20 21请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程，并预测该企业 2017 年 7- 15 -月份的市场份额.如图是该机器人制造企业记录的 2017 年 6 月 1 日至 6 月
21、30 日之间的产品销售频数（单位：天）统计图.设销售产品数量为 ，经统计，当 时，企业每天亏损约为 200 万元；当 时，企业平均每天收入约为 400 万元；当 时，企业平均每天收入约为 700 万元.设该企业在六月份每天收入为 ，求 的数学期望；如果将频率视为概率，求该企业在未来连续三天总收入不低于 1200 万元的概率.附：回归直线的方程是 ，其中， ，【答案】 （1） ;预测该企业 2017 年 7 月份的市场份额为 23%.(2) ; .【解析】试题分析：（1）根据题中数据得到 ， ， ， ，代入样本中心值得到 ，进而得到方程，将 x=7 代入方程即可；（2）由题干知设该企业每天亏损约
22、为200 万元为事件 ，平均每天收入约达到 400 万元为事件 ，平均每天收入约达到 700 万元为事件 ，则 ， ， ，进而得到分布列和均值；由第一小问得到未来连续三天该企业收入不低于 1200 万元包含五种情况，求概率之和即可.解析： - 16 -（1）由题意， ，故 ， ，由 得 ，则 .当 时， ，所以预测该企业 2017 年 7 月的市场份额为 23%.（2）设该企业每天亏损约为 200 万元为事件 ，平均每天收入约达到 400 万元为事件 ，平均每天收入约达到 700 万元为事件 ，则 ， ， .故 的分布列为-200 400 7000.1 0.2 0.3所以 （万元）.由知，未来
23、连续三天该企业收入不低于 1200 万元包含五种情况.则 .所以该企业在未来三天总收入不低于 1200 万元的概率为 0.876.19.19.如图，在 口 中， ，沿 将 翻折到 的位置，使平面 平面 .（1）求证： 平面 ；（2）若在线段 上有一点 满足 ，且二面角 的大小为 ，求 的值.- 17 -【答案】 （1）证明见解析.(2) .【解析】试题分析：(1) 中由余弦定理可知 ，作 于点 ，由面面垂直性质定理得 平面 .所以 . 又 从而得证；（2）以 为原点，以 方向为 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系 ，由二面角的大小为 60布列关于 的方程解之即可.试题解析：（1） 中，由余弦定
24、理，可得 . ， ， .作 于点 ，平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 . 平面 ， .又 ， ， 平面 .又 平面 ， .又 ， ， 平面 .（2）由（1）知 两两垂直，以 为原点，以 方向为 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系 ，- 18 -则 ， ， .设 ，则由.设平面 的一个法向量为 ，则由,取 .平面 的一个法向量可取 ，. ， .20.20.已知点 为圆 上一动点， 轴于点 ，若动点 满足 .（1）求动点 的轨迹 的方程；（2）过点 的直线 与曲线 交于 两点，线段 的垂直平分线交 轴于点 ，求 的值.【答案】(1) .(2) .【解析】- 19 -【分析】：（1）设 ，则 ，根
25、据向量表达式，表示出 的坐标关系式，得出动点 的轨迹。（2） ，将直线 被代入椭圆方程消去 得 ，根据韦达定理表示出 。所以线段 的中点坐标为 ，表示出线段的垂直平分线的方程，求出点 的坐标，再表示出 的长度，最后求解。【详解】：（1）设 ，则 ，所以 ，由化简得 ，因为 ，代入得 ，即为 的轨迹为椭圆方程.（2）由（1）知，点 为椭圆 的左偏点，将直线 被代入椭圆方程消去得 ，设 ，则有，则，所以线段 的中点坐标为所以线段 的垂直平分线所在的直线方程为令 得 ，即 ，所以所以【点睛】：联立直线与椭圆方程根据韦达定理列出 ， 的关系式，利用弦长公式。求解圆锥曲线有关的值，最终落脚点在于计算直线
26、与曲线的交点坐标的关系式。根据题目的条件，转化为 ， 关系的式子是解题的关键。- 20 -21.21.已知函数 ；（1）讨论 的极值点的个数；（2）若 ，求证： .【答案】(1) 当 时，无极值点；当 时，函数 有一个极大值点，无极小值点.(2)证明见解析.【解析】【分析】：（1）先求一阶导函数 的根，求解 或 的解集，写出单调区间，最后判断极值点。（2）根据第（1）问的结论，若 ，转化为证明 .【详解】：（1）根据题意可得， ，当 时， ，函数 是减函数，无极值点；当 时，令 ，得 ，即 ，又 在 上存在一解，不妨设为 ，所以函数 在 上是单调递增的，在 上是单调递减的.所以函数 有一个极大
27、值点，无极小值点；总之：当 时，无极值点；当 时，函数 有一个极大值点，无极小值点.（2） ， ，由（1）可知 有极大值 ，且 满足 ，又 在 上是增函数，且 ，所以 ，又知： ，由可得 ，代入得 ，- 21 -令 ，则 恒成立，所以 在 上是增函数，所以 ，即 ，所以 .【点睛】：函数极值与最值的性质：有唯一的极小值，极小值为最小值。对于任意性和存在性问题的处理，遵循以下规则：1、 恒成立，等价于2、 使得 成立，等价于请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线 的方程是 ，曲线 的参数方程为 （
28、 为参数） ，以为极点， 的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线 和曲线 的极坐标方程；（2）射线 （其中 ）与曲线 交于 ， 两点，与直线 交于点 ，求 的取值范围.【答案】 （1） ; .(2) .【解析】试题分析：（I）直线 的方程是 ，利用 可得极坐标方程圆 的参数方程为（ 为参数） ，利用 可得普通方程，进而化为极坐标方程（II）将 分别带入 ， 得 ，试题解析：（） ，直线 的极坐标方程是由 消参数得曲线 的极坐标方程是- 22 -（）将 分别带入 ， 得 ， ，讨论 ， 的范围，可得 的取值范围 ， 的取值范围是23.23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 的最大值为 .（1
29、）求 的值以及此时的 的取值范围；（2）若实数 满足 ，证明： .【答案】 （1） ; .(2)证明见解析.【解析】分析：（1）去掉绝对值符号，利用函数的图象求解最小值；（2）由（1）可知 ，利用 ，把问题转化为二次函数最值问题.详解：（1）解：依题意得，当 时， ；当 时， ，此时 ；当 时， ， 所以 的最大值为 ，即 ，此时 . （2）证明：由 ，得， ，所以 ，所以 ， 所以 .点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想- 23 -
