1、- 1 -四川省眉山一中办学共同体 2019 届高三数学 10 月月考试卷 理（含解析）一、选择题（每小题 5 分，12 小题，共 60 分）1.已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，所以 ，故选 A.2.已知复数 满足 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，故选 C.3.若 ，则正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】运用不等式对四个选项逐一分析【详解】对于 ， ， ， ，则 ，故错误对于 ，若 ，则 ，即 ，这与 矛盾，故错误对于 ， ， ， ，则 ，故错误对于 ， ， ，故正确故选【点睛】本题考查了不等式的性质，由
2、未知数的范围确定结果，属于基础题。4.函数 的零点所在的一个区间是（ ） A. （2，1） B. （1,0） C. （0,1） D. （1,2）- 2 -【答案】B【解析】试题分析： 为增函数，且 ，所以零点所在区间是 考点：零点与二分法5.将函数 的图象向左平移 个单位后，得到 的图象，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】将函数 的图象向左平移 个单位后，得到故选 B6.在区间0，2上随机取一个数 x，使 的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求解出 的结果，运用几何概型求出概率【详解】在区间 上随机取一个数 ，使则解得所求概率故选【点睛】本题主要考查了几
3、何概型，先根据题意求出不等式的解集，然后运用几何概型求出概率，较为基础。7.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）- 3 -A. 36 B. 72 C. 144 D. 288【答案】B【解析】因为 是等差数列，又 ， ，故选 B.8.如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】还原几何体，然后计算出几何体外接球表面积【详解】如图，先还原几何体得到三棱锥 ，其边长如图，可以将其补成一个长方体，其体对角线为外接球的直径，即 ， ，故其外接球表面积为 ，- 4 -故选【点睛】本题考查了还原
4、三视图，然后求几何体外接球的表面积，先还原几何体，在计算外接球的直径时可以将几何体补成一个长方体，然后计算，需要掌握解题方法。9. 执行如图中的程序框图，若输出的结果为 21,则判断框中应填（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：模拟程序框图执行过程，如下；开始， ，不输出，进入循环，1 是奇数？是， ，不输出，进入循环，2 是奇数？否， ，不输出，进入循环，3 是奇数？是， ，不输出，进入循环，4 是奇数？否 ，不输出，进入循环，5 是奇数？是， ，不输出，进入循环，6 是奇数？否， ，退出循环，输出 21，判断框中的条件是：故选 C考点：程序框图.10.下列四个图中，函数
5、 的图象可能是（ ）- 5 -A. B. C. D. 【答案】C【解析】 是奇函数，向左平移一个单位得 ， 图象关于 中心对称，故排除 A、D，当 时， 恒成立，排除 B故选：C11.已知点 F1、F 2分别是椭圆 的左、右焦点，A、B 是以 O（O为坐标原点）为圆心、|OF 1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且F 2AB 是正三角形，则此椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：因为 是正三角形，可知点 的坐标为 ，代入椭圆方程化简即可求出该椭圆的离心率为 .考点：椭圆的离心率的求法.12.已知函数 是定义在区间 上的可导函数， 为其导函数，当 且 时，
6、若曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则 的值为（ ）A. 4 B. 6 C. 8 D. 10【答案】A【解析】【分析】- 6 -由已知条件构造新函数，然后运用导数求导后得极值，代入求解【详解】若 ，则若 ，令在 时取得极值故选【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，并求出原函数的值，在求解过程中需要构造新函数，然后结合题中条件进行转化运用，需要掌握此类题目的解题方法。二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.设变量 、 满足约束条件 则 的最大值为_.【答案】5【解析】【分析】先画出可行域，然后求出最大值【详解】如图，先画出可行域，由 ，得 ，当 即 时， ，- 7 -所以 的
7、最大值为【点睛】本题考查了线性规划求最值，在解题中一般步骤：画出可行域、改写目标函数、取出最值情况、代入求值。14.已知命题 是假命题，则实数 a 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先求出命题的否定，得到真命题，然后求解【详解】 命题 是假命题，其否定“ ”为真命题当 时，显然成立当 时， 恒成立可化为：解得综上所述，实数 的取值范围是故答案为【点睛】本题主要考查了命题的真假判断和应用，在解题过程中先求出命题的否定得到真命题，然后再求解，较为基础。15.将标号为 1，2，10 的 10 个球放入标号为 1，2，10 的 10 个盒子里，每个盒内放一个球，恰好 3 个球的标号与其在盒子的标号
8、不一致的放入方法种数为_.【答案】240【解析】【分析】先确定标号与其在盒子的标号不一致的 3 个球，是组合问题，结合题意，可得其排法数，进而分析可得三个标号与其在盒子的标号不一致的排法数，用分步计数原理计算可得答案【详解】根据题意，先确定标号与其在盒子的标号不一致的 3 个球，即从 10 个球中取出 3 个球，有 种而这 3 个球的排法有 种- 8 -则共有 种故答案为【点睛】本题主要考查了排列，组合的运用以及分步计数原理，注意排列，组合意义的不同，以免混用。16.已知 f（x）=3xlnx，g（x）=x 2+ax4，对一切 x（0，+） ，f（x）g（x）恒成立，则实数 a 的取值范围是_
9、【答案】【解析】【分析】先把已知等式转化为 ，设 ，对函数求导，利用导函数的单调性求解即可【详解】 即整理可得：令则当 时 ， 单调递减当 时 ， 单调递增所以故 ，实数 的取值范围是【点睛】本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，分离参数法和等价转化是解决本题的关键，考查了学生对函数基础知识的理解和灵活应用，属于中档题。三、解答题（共 6 小题，其中选做题 10 分，其余各题均为 12 分，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在锐角三角形 中，角 的对边分别为 ，且（1）求角（2）若 ，求 的最大值。- 9 -【答案】 （1） ；（2）4【解析】【分析】由条件利用
10、余弦定理求得 ，再由 是锐角三角形可求得答案把 代入利用正弦定理转化为角的问题【详解】 （1）由余弦定理得：即是锐角三角形（2）由可得： 当 时，由正弦定理可得：，故当 时，【点睛】本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用，熟练运用公式来求解是本题关键，在第二问中将边的问题转化为角的问题，然后运用辅助角公式进行化简求出结果。18.已知数列a n的前 n 项和为 Sn,a1=2,且满足 an+1=Sn+2n+1(nN *).(1)证明：数列 为等差数列;(2)求 Tn=S1+S2+Sn.【答案】 （1）见解析；（2）- 10 -【解析】【分析】由条件可知 ，即 ，整理可得 ，即可证明数列 为等差数
11、列由可知 ，即 ，利用错位相减法与等比数列的前 项和公式即可得出【详解】(1)证明:由 Sn+1-Sn=an+1得 Sn+1-Sn=Sn+2n+1,即 Sn+1-2Sn=2n+1,整理得因为 n=1 时,所以数列 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列.(2)解:由(1)可知,即 Sn=n2n,令 Tn=S1+S2+Sn,Tn=12+222+n2n,2Tn=122+(n-1)2n+n2n+1,-,得-T n=2+22+2n-n2n+1,整理得 Tn=2+(n-1)2n+1.【点睛】本题主要考查了等差数列的确定以及数列的求和，由已知条件进行化简即可证明结论，在遇到形如 的数列时，由等差数列和等比
12、数列构成的新数列求和采用错位相减法。19.随着支付宝、微信等支付方式的上线，越来越多的商业场景可以实现手机支付为了解各年龄层的人使用手机支付的情况，随机调查 50 次商业行为，并把调查结果制成下表：年龄（岁） 15，25） 25，35） 35，45） 45，55） 55，65） 65，75）- 11 -频数 5 10 15 10 5 5手机支付 4 6 10 6 2 0(1)若从年龄在 55，65）的被调查者中随机选取 2 人进行调查，记选中的 2 人中使用手机支付的人数为 ，求 的分布列及数学期望；(2)把年龄在15，45）称为中青年，年龄在45，75）称为中老年，请根据上表完 22 列联表
13、，是否有 以上的把握判断使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关联？手机支付 未使用手机支付 总计中青年中老年总计可能用到的公式：独立性检验临界值表：【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）超几何分布列（2）根据上表填 22 列联表，根据公式算出卡方与数据进行比较。试题解析：（1）年龄在 55，65）的被调查者共 5 人，其中使用手机支付的有 2 人，则抽取的 2 人中使用手机支付的人数 X 可能取值为 0,1,2； ；所以 X 的分布列为- 12 -X 0 1 2P（2）22 列联表如图所示手机支付 未使用手机支付 总计中青年 20 10 30中老年 8 12 20总计
14、28 22 50没有 以上的把握判断使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关联20.如图，在四棱锥 中， 底面 ， ，点 为棱 的中点.（1）证明： ；（2）求二面角 的余弦值【答案】 （1）见解析；（2） 【解析】试题分析：(1)利用题意首先证明 面 然后利用线面垂直的结论可得 .- 13 -(2)建立空间直角坐标系，由平面的法向量可求得二面角 的余弦值为 试题解析：证明：取 中点 ，连接分别是 的中点 四边形 是平行四边形面 , 面 以点 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系 ，则设面 的法向量为由 ，令 ，即面 的一个法向量设二面角 的大小为 ，则 21.设函数 , 已知曲线 y=f(x
15、)在 处的切线与直线 垂直。(1) 求 的值；(2) 若对任意 x1，都有 ，求 的取值范围【答案】(1) b1(2) ( ，- 1)( 1，1)【解析】- 14 -试题分析：（1）求出函数导数，由两直线垂直斜率之积为-1，解方程可得 （2）求出导数，对 讨论，若 ，则 ；若 ，则 ；若 三种情况分别求出单调区间，可得最小值，解不等式即可得到所求范围试题解析：(1)曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为 2，所以 f(1)2，又 f(x)ln x 1，即 ln 1b12，所以 b1. (2) g(x)的定义域为(0，)，g(x) (1a)x1 (x1). 若 a ，则 1，故当 x(
16、1，)时，g(x)0，g(x)在(1，)上单调递增. 所以，对任意 x1，都有 g(x) 的充要条件为 g(1) ，即 1 ，解得 a 1 或 1 a若 a1，则 1，故当 x 时，g(x)0；当 x 时，g(x)0.f(x)在 上单调递减，在 上单调递增.所以，对任意 x1，都有 g(x) 的充要条件为 g .而 g aln 在 a1 上恒成立，所以 a1 若 a1，g(x)在1，)上递减，不合题意。 综上，a 的取值范围是( ， 1)( 1，1)【点睛】本题考查导数的运用：求切线斜率和单调区间，考查不等式恒成立问题解法，考查化简整理运算能力.解题时注意分类讨论思想的应用22.在直角坐标系
17、中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为极点，以 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .（1）求曲线 与直线 的普通方程；（2）若点 在曲线 上， 在直线 上，求 的最小值.【答案】 （1） ， ；（2）2- 15 -【解析】【分析】曲线 的参数方程消去参数，由直角坐标与极坐标的转化公式即可求得曲线 的普通方程，直线 的普通方程为由可知圆心为 ，半径为 ， 的最小值即为圆心 到直线 的距离减去圆的半径， 利用点到直线的距离公式即可求得答案【详解】 （1）由 消去 得 ， 因为 ，由直角坐标与极坐标的转化公式可得 .所以曲线 的普通方程为 ，直线 的普通方程为 .
18、（2）由（1）知 ，得圆心为 ，半径为 ， ，的最小值即为圆心 到直线 的距离减去圆的半径， 因为 到直线 的距离 ， 所以 的最小值为 .【点睛】本题主要考查了曲线的参数方程化为普通方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题。23.已知函数 ， .(1)若函数 值不大于 1，求 的取值范围；(2)若不等式 的解集为 R，求 的取值范围【答案】(1) (2)【解析】【分析】不等式先化为 ，再去掉绝对值化为 ，即可求得结果由题意可得不等式 恒成立，故左边的最小值大于或等于 ，问题转化为求左边的最小值，利用绝对值不等式的性质可以求得左边的最小值。【详解】由题意可知： ，即，解得的取值范围为- 16 -由题意可得不等式 恒成立即 恒成立的取值范围是【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，还考查了绝对值不等式的性质的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题。
