1、- 1 -四川省眉山一中办学共同体 2019 届高三数学 9 月月考试卷 理（含解析）一、选择题（共 60 分，每小题 5 分，每个小题有且仅有一个正确的答案）1.已知集合 ，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先分别求出集合 A 和 B，由此能求出 AB【详解】集合 A=x|0x2，B=x|x 210=x|1x1，AB=x|1x2=（1，2） 故选：B【点睛】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用2.已知 是虚数单位，复数 满足 ，则复平面内表示 的共轭复数的点在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解
2、析】因为 ，所以 ，应选答案 A。3.“ ”是“直线 与圆 相切”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线与圆相切，则 或 所以“ ”是“直线 与圆 相切 ”的充分不必要条件故选 A4.若 为正实数，且 ，则 的最小值为- 2 -A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式即可求得答案【详解】由题意得，因为 为正实数，所以，当且仅当 ，即 时，等号成立，即 的最小值为 ，故选：C.【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的
3、各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值.5.为了配合创建全国文明城市的活动,我校现从 4 名男教师和 5 名女教师中,选取 3 人,组成创文明志愿者小组,若男、女至少各有一人,则不同的选法共有A. 140 种 B. 70 种C. 35 种 D. 84 种【答案】B【解析】分两类：（1）2 男 1 女，有 种；（2）1 男 2 女，有 种，所以共有 + 种，故选 B点睛：分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间的方法
4、“相互独立，分步完成” 6.等比数列 的前 项和为 ，则 （ ）- 3 -A. B. C. 1 D. 3【答案】A【解析】， 时, ,因为数列是等比数列,即 ,故选 A.点睛:本题考查等比数列的通项公式与求和公式,属于中档题目. 等比数列的判断方法有：(1)定义法：若 (q 为非零常数)或 (q 为非零常数且 n2 且 n )，则 是等比数列(2)中项公式法：在数列 中， 且 (n )，则数列 是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成 (c，q 均是不为 0 的常数，n )，则 是等比数列7.如图给出的是计算 的值的一个程序框图，则判断框内可以填入的条件是（ ）A. B. C. D.
5、【答案】B【解析】第一次循环: ；第二次循环: ；第三次循环: ；依此类推，第 1009 次循环: ,满足题意，退出循环.故其中判断框内应填入的条件是: (或 ).选 B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关- 4 -概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8.已知在直四棱柱 中， ，则异面直线 与所成角的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图所示：在直四棱柱 中， ， .所以 .且易知 ,所以 （或其补角）即为所求 .在 中
6、， ， ，所以 .故选 B.点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 ，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角9.函数 的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将函数 的图象- 5 -A. 向左平移 个单位长度 B. 向左平移 个单位长度C. 向右平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度【答案】B【解析】【分析】由五点作图法求出
7、函数的表达式，再由平移变换知识得到结果.【详解】 , ， , , ,解得： ，所以 ， ，根据平移原则，可知函数向左平移 个单位，故选：B.【点睛】本题主要考查由函数 y=Asin（x+）的部分图象求解析式，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题10.如图为某个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. 32 B. 36 C. 48 D. 【答案】B- 6 -【解析】【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是正四棱锥，结合图中数据，即可求出它的外接球表面积【详解】根据几何体的三视图，得该几何体是底面边长为 4，高为 2 的正四棱锥，其外接球半径 R=3，故外接球表面积为
8、 36故选：B【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 11.已知点 分别是双曲线 的上，下焦点，点 关于渐近线的对称点恰好落在以 为圆心， 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据题意 ，一条渐近线方程为 ，则 到渐近线的距离为 ，设关于渐近线对称的点为 M， M 与渐近线的交点为 A，所以 M=2b，A 为 M
9、的中点，又 O 是的中点，所以 ,所以 =90， 为直角三角形，由勾股定理得，所以离心率为点睛：首先求出 到渐近线的距离，利用 关于渐近线对称点恰好落在以 为圆心， 为半径的圆上，可得直角三角形，从而借助勾股定理求解12.已知方程 恰有四个不同的实数根，当函数 时，实数 的取值范围是- 7 -A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用导数的性质判断 f（x）的单调性和极值，得出方程 f（x）=t 的根的分布情况，从而得出关于 t 的方程 t2kt+1=0 的根的分布情况，利用二次函数函数的性质列不等式求出 k 的范围【详解】f（x）=2xe x+x2ex=x（x+2）e x，令 f
10、（x）=0，解得 x=0 或 x=2，当 x2 或 x0 时，f（x）0，当2x0 时，f（x）0，f（x）在（，2）上单调递增，在（2，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，当 x=2 时，函数 f（x）取得极大值 f（2）= ，当 x=0 时，f（x）取得极小值 f（0）=0作出 f（x）的大致函数图象如图所示：令 f（x）=t，则当 t=0 或 t 时，关于 x 的方程 f（x）=t 只有 1 解；当 t= 时，关于 x 的方程 f（x）=t 有 2 解；当 0t 时，关于 x 的方程 f（x）=t 有 3 解g（x）=f 2（x）kf（x）+1 恰有四个零点，- 8 -关于 t 的方
11、程 t2kt+1=0 在（0， ）上有 1 解，在（ ，+）0上有 1 解，显然 t=0 不是方程 t2kt+1=0 的解，关于 t 的方程 t2kt+1=0 在（0， ）和（ ，+）上各有 1 解， ，解得 k 故选：B【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解二、填空题（共 20 分，每小题 5 分）13.孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题:
12、“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问:五人各得几何?”其意思为“有 5 个人分 60 个橘子，他们分得的橘子数成公差为 3 的等差数列，问 5 人各得多少橘子.”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是_【答案】6【解析】设等差数列 ,首项 ,公差为 ,则 ,解得 ,即得到橘子最少的人所得的橘子个数是 6,故填 6.14.已知点 ，点 满足线性约束条件 ，O 为坐标原点，那么 的的最小值为_【答案】-1【解析】【分析】根据向量数量积的定义化简目标函数，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何- 9 -意义进行求解即可【详解】 =2xy，作出约束条件 可行区域如图，作直线 l
13、0：y= x，当 l0移到过 A（2，3）时，Z min=22+3=1，故 的最小值为1，故选：C【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.设 为坐标原点，抛物线 ： 的准线为 ，焦点为 ，过 且斜率为 的直线与抛物线 交于 两点，且 ，若直线 与 相交与 ，则 .【答案】【解析】试题分析：过 且斜率为 的直线方程为 ，
14、与抛物线 ： 联立解得- 10 -，则直线 方程为 与 的交点 ，因此考点：直线与抛物线位置关系16.已知函数 ，对函数 ，定义 关于 的“对称函数”为， 满足：对任意 ，两个点 ， 关于点 对称，若是 关于 的“对称函数” ，且 在 上是减函数，则实数 的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据对称函数的定义，可得 ，由 在 上是减函数，将问题转化为不等式恒成立即可.【详解】根据对称函数的定义可知 ，即 ，故 ， cosx0， 在 恒成立，即 在 恒成立， 又因 y=4sinx 在 的最小值接近 2，故故答案为：【点睛】本题主要考查对称函数的定义的理解，以及不等式恒成立的证明，利用好导函数
15、是解决本题的关键，属中档题三、解答题（共 70 分）17.已知等差数列 an中，2 a2 a3 a520，且前 10 项和 S10100.(1)求数列 an的通项公式；(2)若 bn ，求数列 bn的前 n 项和【答案】(1)a n2n1(2)T n- 11 -【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出（2） = = ，利用“ 裂项求和”方法即可得出【详解】(1)设等差数列a n的首项为 a1，公差为 d由已知得 解得所以数列a n的通项公式为 an12(n1)2n1.(2)bn ，所以 .【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、 “裂项求和”方
16、法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.已知函数（1）求 的单调递增区间；（2）在 中，内角 A,B,C 的对边分别为 ，已知 ， 成等差数列，且，求边 的值.【答案】 （1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由和角公式与倍角公式及辅助角公式可得 ，再求得单调递增区间。 （2）由 ，可得 ，再由等差数列即 ，再由 及余弦定理，可求得 a 边。【详解】 （1）由题意可知 ，所以 ，要求单调递增区间，只需- 12 -所以单调递增区间为：因为 成等差，所以 。由 ，得 ，由余弦定理：【点睛】本题考查三角函数的和角公式与倍角公式及辅助角，也考查三角函数的单调性及用余弦定理解三角形，需要公式熟练掌
17、握。19.随着我国经济的不断深入发展，百姓的生活也不断的改善，尤其是近几年汽车进入了千家万户，这也给城市交通造成了很大的压力，为此交警部门通过对交通拥堵的研究提出了交通拥堵指数这一全新概念，交通拥堵指数简称交通指数，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念记交通指数为 ，其范围为 ，分别有 5 个级别： 畅通； 基本畅通；轻度拥堵； 中度拥堵； 严重拥堵早高峰时段（T3） ，从北京市交通指挥中心随机选取了五环以内 50 个交通路段，依据交通指数数据绘制的部份频率分布直方图如图所示：（1）据此直方图估算交通指数 T4，8）时的中位数和平均数；（2）据此直方图求出早高峰二环以内的 3 个路段至少有两个严重
18、拥堵的概率是多少？（3）某人上班路上所用时间若畅通时为 20 分钟，基本畅通为 30 分钟，轻度拥堵为 35 分钟，中度拥堵为 45 分钟，严重拥堵为 60 分钟，求此人所用时间的数学期望【答案】(1) ,4.72(2) (3)40.6【解析】【分析】- 13 -（1）根据中位数左、右两边小矩形的面积相等求中位数，根据平均数为各个小矩形底边中点的横坐标乘以对应小矩形的面积之和求数据的平均数；（2）根据直方图求出“一条路段严重拥堵”的概率，利用相互独立事件乘法公式可求三个路段至少有两条是严重拥堵的概率；（3）此人所用时间的随机变量 X 取值为 30，35，45，60，根据题意可求相应的概率，进而
19、可求 X 的数学期望【详解】 （1）由直方图知， 时交通指数的中位数为 5+1(0.2/0.24)=35/6时交通指数的平均数为 （2）设事件 为“一条路段严重拥堵” ，则 ，则 条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为： ，所以 条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为（3）由题意，所用时间 的分布列如下表：则 ，所以此人经过该路段所用时间的数学期望是 分钟【点睛】本题以实际问题为素材，考查由直方图求出中位数、平均数的估计值，以及离散型随机变量的概率及期望，关键是正确运用公式属于中档题20.如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 ， 为 的中点.（1）证明： 平面 ；（2）设 ，若点 到平面 的
20、距离为 ,- 14 -求二面角 的大小.【答案】(1)见解析（2）【解析】【分析】（1）设 BD 与 AC 的交点为 O，连结 EO，推导出 EOPB，由此能证明 PB平面 AEC（2）由 求出 AB 的长，以 为坐标原点， 的方向为 轴的正方向， 为单位长，建立空间坐标系，利用向量法求出二面角 的大小.【详解】 （1）证明：连结 交 于点 ，连结 ,因为 为矩形，所以 为 的中点，又 为 的中点，所以 ，平面 平面 ，所以 平面 （2）因为 为矩形，所以 两两垂直设 ，则 ，由 有即： ，解得：以 为坐标原点， 的方向为 轴的正方向， 为单位长，建立空间直角坐标系 ，则， ，则设 为平面 的
21、法向量，则 即 可取 又 为平面 的法向量由 ，故二面角 的大小为【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；- 15 -（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21.已知函数 在 处的切线方程为 .（1）求实数 的值；（2）设 ，若 ，且 对任意的 恒成立，求 的最大值.【答案】 （1） ， （2）4【解析】【分析】（1）求出函数 f（x）的导数，得到关于 a，b 的方程组，解出即可；（2）问题
22、转化为 k = 对任意 x2 恒成立，设 h（x）= （x2） ，根据函数的单调性求出 k 的最大值即可【详解】 （1） ，所以 且 ， 解得 ， （2）由（1）与题意知 对任意的 恒成立， 设 ，则 ，令 ，则，所以函数 为 上的增函数. 因为 ，所以函数 在 上有唯一零点 ，即有 成立，所以 故当 时， ，即 ；当 时， ，即 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增所以 所以 ，因为 ，所以 ，又因 所以 最大值为- 16 -【点睛】本题考查了函数恒成立求参数取值范围，也是常考题型，本题以“任性函数”的形式考查函数恒成立求参数取值范围，一种方法，可以采用参变分离的方法，将恒成立转化为求函
23、数的最大值和最小值，二种方法，将不等式整理为 的形式，即求 ，或是 的形式，即求 ，求参数取值.22.在极坐标系下，知圆 和直线 （1）求圆 与直线 的直角坐标方程；（2）当 时，求圆 和直线 的公共点的极坐标【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：(1)利用 化简所给的极坐标方程为直角坐标方程即可；(2)由(1)的结论求得直线与圆在直角坐标系下的公共点为 ，转化为极坐标为 试题解析：（1）圆 ，即 ，故圆 的直角坐标方程为：，直线 ，即 ，则直线的直角坐标方程为：（2）由（1）知圆 与直线 的直角坐标方程，将两方程联立得 解得 即圆 与直线 的在直角坐标系下的公共点为 ，转化为极坐标为 2
24、3.已知函数 （1）求不等式 的解集；（2）若关于 的不等式 的解集非空，求实数 的取值范围【答案】 （1） （2） 或【解析】【分析】（1）通过讨论 x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出 f（x）的最小值，得到关于 m 的不等式，解出即可- 17 -【详解】 （1）原不等式为： ，当 时，原不等式可转化为 ，即 ；当 时，原不等式可转化为 恒成立，所以 ；当 时，原不等式可转化为 ，即 所以原不等式的解集为 （2）由已知函数 ，可得函数 的最小值为 4，所以 ，解得 或 【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
