1、1山东省潍坊市青州市 2018 届高三数学第三次模拟考试试卷 理（含解析）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合， 若全集 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据对数函数的性质，求解 ，即 ，再根据集合补集的运算，即可求解.详解：由集合 ，即 ，又因为 ，所以 ，故选 B.点睛：本题主要考查了集合的运算，其中正确求解集合 ，得到集合 ，再根据集合的补集运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2.设是虚数单位，若复数 （ ）是纯虚数，则 （ ）A. B. C. D. 1 1
2、 2 2【答案】D【解析】解： ，由纯虚数的定义可得： .a+5i12i=a2+i a=2=0,a=2本题选择 D 选项.3.若 ， ，则 的值为（ ）(0,) sin()+cos=23 sincosA. B. C. D. 23 23 43 43【答案】C【解析】分析：根据三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，得 ，进而求2sincos=790 sincos=43点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值，其中解答中涉及到三角的诱导公式和三角函数的基本关系的灵活应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4.设平面向量 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）a=( 3,1) b=(x,3) abA
3、. 是 的充分不必要条件 B. 与的夹角为x= 3 ab ab3C. D. 与 的夹角为|b|=12 ab b6【答案】D【解析】分析：由平面向量 ，且 ，解得 ，此时 ，a=( 3,1),b=(x,3) ab x= 3 a=( 3,1),b=( 3,3)进而可判断选项，得到答案.详解：由题意，平面向量 ，且 ，a=( 3,1),b=(x,3) ab所以 ，解得 ，此时ab= 3x3=0 x= 3 a=( 3,1),b=( 3,3)所以 是 垂直的充要条件，所以选项 A 不正确；x= 3 ab，所以 C 不正确；|b|= ( 3)2+(3)2= 12由 ，则 ，a=( 3,1),b=( 3,3
4、) ab=(0,4)所以向量 与的夹角为，则 ，所以 ，故选 D.abcos=(ab)a|ab|a|=32 =6点睛：本题主要考查了向量的坐标运算、向量垂直的条件，以及向量的模和向量的夹角公式等知识点，其中熟记向量的基本概念和基本的运算公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.5.已知双曲线 的离心率为 ，且经过点 ，则双曲线的实轴长为（ C:y2a2-x2b2=1(a0,b0) 3 (2,2)）3A. B. C. D. 12 1 22 2【答案】C【解析】分析：由题意双曲线 的离心率为 ，得 ，把点 ，代入双曲C:y2a2x2b2=1(a0,b0) 3 b2=2a2 (2,2)线
5、的方程，解得 ，即可得到答案.a= 2详解：由题意双曲线 的离心率为 ，C:y2a2x2b2=1(a0,b0) 3即 ，又由 ，即 ，ca= 3c2=3a2 c2=a2+b2 b2=2a2所以双曲线的方程为 ，y2a2x22a2=1又因为双曲线过点 ，代入双曲线的方程，得 ，解得 ，(2,2)4a242a2=1 a= 2所以双曲线的实轴长为 ，故选 C.2a=22点睛：本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，其中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6.若 ，则二项式 的展开式中的常数项为（ ）n=230xdx+1 (x212x)nA. B. C. D. 452
6、56 45256 45128 45128【答案】A【解析】分析：由题意 ，得到二项式的展开式的通项，即可求解展n=230xdx+1=212x2|30+1=10开式的常数项.详解：由题意 ，即二项式为 ，n=230xdx+1=212x2|30+1=10 (x212x)10则展开式的通项为 ，Tr+1=Cr10(x2)10r(12x)r=(12)rCr10x2052r当 时，得到常数项为 ，故选 A.r=8 (12)8C810=45256点睛：本题主要考查了二项式定理的应用，其中数据二项展开式的通项公式是解答此类试题的关键，着重考查了推理与运算能力.7.如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名
7、著九章算术中的“更相减损术” ，执行该程序框图，若输入 的分别为 ，则输出的 （ ）a,b 10,4 a=4A. B. C. D. 0 14 4 2【答案】D【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.详解：由程序框图可知：输入 ，a=10,b=4第一次循环 ， ；ab a=6第二次循环 ， ；ab a=2第三次循环 ， ； a0 a1 f(x)=x2ax x(1,1) f(x)x212 (1,1) g(x)=ax,m(x)=x212式组，即可求解实数的取值范围.详解：由题意，若当 时，都有 ，即 在 上恒成立，x(1,1) f(
8、x)x212 (1,1)令 ，g(x)=ax,m(x)=x212由图象可知，若 时， ，即 ，此时 ；01 g(1)m(1) a1112=12 a2 10,|0,|0 k=sinx+lnxx 0对于 D 选项，至少存在两个点 使得 ，即 至少存在两解，P k=1sinx+lnxx =1即 至少有两解，又因为 恒成立，所以sinx+lnx+x=0 (sinx+lnx+x)=cosx+1x+10至多有一个解，排除 D，sinx+lnx+x=0综上所述，选项 B 是正确的，故选 B.点睛：本题主要考查了函数性质的综合应用，以及直线的斜率公式，导数在函数中的应用，其中解答中根据题意构造函数 ，利用函数
9、的单调性和最值求解是解答的关键，着k=sinx+lnxx重考查了转化思想和推理、论证能力.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知平面向量 ， 则事件“ ”的概率为_a=(x1,y) |a|1 yx【答案】1412【解析】分析：由题意得到点 表示以 为圆心，半径为 的圆，其面积为 ，(x,y) (1,0) 1 S=12=其中弓形 的面积为 ，即可利用几何概型求解其概率 .OAS1=S扇 形 OO1ASO1OA详解：由题意，平面向量 ，且 ，即 ，a=(x1,y) |a|1 (x1)2+y219表示以 为圆心，半径为 的圆，其面积为 ，(1,0) 1 S=12=其
10、中弓形 的面积为 ，OAS1=S扇 形 OO1ASO1OA=14121211=412所以所求概率为 .P=S1S=412=1412点睛：本题主要考查了几何概型及其概率的求解，其中根据题意得到相应的图形的面积是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.14.已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴的交点为 ， 为抛物线上任意一点，且满足x2=4y F y MN，则 _|NF|=32|MN| NMF【答案】6【解析】分析：由抛物线的定义可得 ，由 ，求得 的值，即可求|NF|=y+1 sin(2)=NHMN=NFMN=32 2出锐角的大小.详解：由抛物线的方程 ，可得准线方程为 ，x2=4y y=1设 ，过
11、点 作 垂直于抛物线的准线， 为垂足，NMF= N NH H则由抛物线的定义可得 ，NH=NF在 中， ，RtMNH NMH=2由直角三角形的边角关系可得 ，则 ，sin(2)=NHMN=NFMN=32 2=3所以 .=610点睛：本题主要考查了抛物线的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，其中有直角三角形的边角关系可得 是解答的关键和难点，着重考查了分析问题和解答问题sin(2)=NFMN的能力，以及推理与运算能力.15.如图所示，在平面四边形 中， ， ， ， ，ABCD AB= 2 BC= 3 ABAD ACCD，则 _AD=3AC AC=【答案】3【解析】分析：详解：设 ，AC=x,
12、AD=3x在直角 中，得 ，所以 ，ACD CD= AD2AC2=22x sinCAD=CDAD=223在 中，由余弦定理 ，ABC cosBAC=AB2+AC2BC22ABAC =x2122x由于 ，所以 ，BAC+CAD=2 cosBAC=sinCAD即 ，整理得 ，解得 .x2122x=223 3x28x3=0 x=3点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能
13、用到16.在三棱锥 中，底面为 ，且 ，斜边 上的高为 ，三棱锥 的外ABCD Rt BCCD BD 1 ABCD接球的直径是 ，若该外接球的表面积为 ，则三棱锥 的体积的最大值为AB 16 ABCD_【答案】4311【解析】分析：由题意,画出图形,设 ,把棱锥的体积用含有 的代数式表示,然后利用二次函数AD=x x求解,即可得到答案.详解：如图所示，由外接球的表面积为 ，可得外接球的半径为 ，则 ，16 2 AB=4设 ，则 ，AD=x BD= 16x2又 变式上的高 ，BD CH=1当 平面 时，棱锥 的体积最大，CH ABD ABCD此时 ，V=1312x 16x2=16x4+16x2当
14、 时，体积 最大，此时最大值为 .x2=8 V43点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，把球的体积表示关于 的函数表达式是解答的关键，着重考查x了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知等比数列 的前 项和为 ，满足 ， .an n Sn S4=2a41 S3=2a31(1)求 的通项公式；an(2)记 ，数列 的前 项和为 ，求证： .bn=log2(anan+1) bn n Tn1T1+1T2+1Tnb0) F1 22
15、F1 x椭圆截得的线段长为 .2（1）求椭圆 的方程;C（2）若 上存在两点 ，椭圆 上存在两个 点满足： 三点共线， 三y2=4a M,N C P,Q M,N,F1 P,Q,F1点共线，且 ，求四边形 的面积的最小值.PQMN PMQN【答案】 （1） ；（2）x22+y2=1 42【解析】【详解】分析：（1）由题意可知 及 ，即可求得和 的值，求得椭a= 2b,a= 2c a2=b2+c2 b圆的标准方程；（2）讨论直线 的斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线 的斜率存在MN MN时，设直线的方程为 ，联立方程组，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面y=(x-1)积公式，计算即
16、可求得最小值.详解：（1）过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为 ， ，22b2a= 2离心率为 ， ，又 ，解得 ， ， ，22 ca=22 a2=b2+c2 a= 2 c=1 b=1椭圆 的方程为Cx22+y2=1（2） （i）当直线 的斜率不存在时，直线 的斜率为 ，MN PQ 0此时 ， ，|MN|=4 |PQ|=22 S四 边 形 PMQN=42（ii）当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，联立 ，MN MN y=k(x-1)(k0) y=4x2得 ，k2x2-(2k2+4)x+k2=0(0)设 的横坐标分别为 ，M,N xM,xN17则 ， ，xM+xN=4k2+2 |M
17、N|=xM+xN+p=4k2+4由 可得直线 的方程为 ，联立椭圆 的方程，消去 ，PQMN PQ y=-1k(x-1)(k0) C y得 (k2+2)x2-4x+2-2k2=0(0)设 的横坐标为 ，则 P,Q xP,xQ xP+xQ=42+k2, xPxQ=2-2k22+k2 |PQ|= 1+1k2( 42+k2)2-42-2k22+k2 =22(1+k2)2+k2，令 ，S四 边 形 PMQN=12|MN|PQ|=42(1+k2)k2(2+k2) (1+k2)=t(t1)则 ，S四 边 形 PMQN=42t2(t-1)(t+1) =42t2t2-1=42(1+ 1t2-1)42综上 (S
18、四 边 形 PMQN)min=42点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直a,b,c,e线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.已知 f(x)=ln(x+m)mx(mR)(1)求 的单调区间 ;f(x)(2)设 ， 为函数 的两个零点，求证：.m1 x1,x2 f(x)
19、 x1+x20即 的单调递增区间为 ，无减区间；f(x) (-m,+)当 时， ，m0 f(x)=1x+m-m=-m(x+m-1m)x+m由 ，得 ，f(x)=0 x=-m+1m(-m,+)时， ，x(-m,-m+1m) f(x)0时， ，x(-m+1m,+) f(x)0 f(x) (-m,-m+1m)单调递减区间为 ，(-m+1m,+)（2）由（1）知 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，f(x) (-m,-m+1m) (-m+1m,+)不妨设 ，由条件知 ，即-mlnm(m1)-lnmm(-m,+)知 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，g(x)=emx-x (-m,-lnmm) (
20、-lnmm,+)可知 -mb0, O极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 是圆心在极轴上，且经过极点的圆 .已知x C2曲线 上的点 对应的参数 ，射线 与曲线 交于点C1 M(1,32) =3 =3 C2 D(1,3)（1）求曲线 、 的直角坐标方程；C1 C2（2）若点 在曲线 上的两个点且 ，求 的值.A,B C1 OAOB1|OA|2+ 1|OB|2【答案】 （1） ， ；（2）x24+y2=1 (x1)2+y2=1 54【解析】分析：（1）将 及对应的参数 ，代入 ，解得 ，即可得出曲线 的直M(1,32) =3 x=acosy=bsin a,b C1角坐标方程，由于曲线 是圆
21、心在极轴上，且过极点的圆，将点 代入 ，即C2 D(1,3) =2Rcos可求解曲线 的方程； C2（2）设 在曲线 上，求得 和 ，即可求解 的值.A(1,),B(2,+2) C1 12 22 1|OA|2+ 1|OB|2详解：（1）将 及对应的参数 ，代入 ，M(1,32) =3 x=acosy=bsin 得 ，即 ，1=acos332=bsin3 a=2b=1 所以曲线 的方程为 为参数，即 .C1 x=2cosy=sin x24+y2=1设圆 的半径为 ，由题意，圆 的极坐标方程为 .（或 ）C2 R C2 =2Rcos (x-R)2+y2=R2将点 代入 ，得 ，即D(1,3) =2
22、Rcos 1=2Rcos3 R=120所以曲线 的极坐标方程为 ，即C2 =2cos (x-1)2+y2=1（2）设 在曲线 上，A(1,),B(2,+2) C1所以 ， ，12cos24 +21sin2=1 22sin24 +22cos2=1所以 1|OA|2+ 1|OB|2=112+122=(cos24 +sin2) +(sin24 +cos2)=54点睛：本题主要考查了椭圆的参数方程，极坐标方程与直角坐标方程，以及圆的极坐标与直角坐标方程的互化，以及直线极坐标方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.23.已知函数 .f(x)=|x3|+|x+4|（1）求 的解集；f(x)f(4
23、)（2）设函数 ，若 对 成立，求实数 的取值范围g(x)=k(x3)(kR) f(x)g(x) xR k【答案】 （1） 或 ；（2）x|x5 x4 1g(x) f(x)=|x-3|+|x+4| g(x)=k(x-3) kR方，作出函数图像，根据直线恒过定点 ，结合函数图象即可的结果.P(3,0)详解：（1） f(x)=|x-3|+|x+4| ，即f(x)f(4) |x-3|+|x+4|9 或 或 x-43-x-x-49 -4g(x) f(x)=|x-3|+|x+4| g(x)=k(x-3) kR可以作出 的图象，f(x)=|x-3|+|x+4|=-2x-1,x-47,-4x32x+1,x3 而 ， 图象为恒过定点 ，且斜率 变化的一条直线，g(x)=k(x-3) kR P(3,0) k作出函数 ， 图象如图，y=f(x) y=g(x)其中 ，可求：kPB=2 A(-4,7) ，由图可知，要使得 的图象恒在 图象的上方，实数 的取值范围为kPA=-1 f(x) g(x) k21.-1k2点睛：绝对值不等式的常见解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想
