1、- 1 -江苏省公道中学 2018-2019 学年高二数学上学期期中试题本试卷共 160 分， 考试时间 120 分钟。一、填空题：（本 大 题 共 14 小 题 ,每 小 题 5 分 ,计 70 分 .不 需 写 出 解 答 过 程 ,请 把 答 案 写 在 答 题纸 的 指 定 位 置 上 ）1.命题“ xR， 20”的否定是 . 2.直线 的倾斜角 .3tany3.抛物线 24x的焦点坐标是 .4.直线 被圆 截得的弦长为 .0y25)1()3(2yx5.下列说法中正确的为 .(填序号)“ ”是“函数 是奇函数”的充要条件；(f )(f若 ，则 ；01:2xRxp， 012xRxp，：若
2、 为假命题，则 ， 均为假命题；qq命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ”.62sin62sin6.双曲线 的离心率为 .)(1422Zmyx7.已知 ， ，如果 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是 kp:3:qpqk .8.两直线 和 分别过定点 ， ，则 .023yax015)(axAB9.若两条直线 ， 互相平行，则这两条直线之间的距离2y为 .10.两圆 与 公共弦长的最01222ayxy 022byx大值为 .11.已知双曲线 ，过其左焦点 作 轴的垂线，交双曲线于 ，),(2baFA两点，若双曲线的右顶点在以 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是 .BAB12.已知
3、抛物线 ： ，点 ，点 在抛物线上，当点 到抛物线准线 的距离Cxy82)4,0(PAl与点 到点 的距离之和最小时， 是抛物线的焦点，延长 交抛物线于点 ，则APFB的面积为 .O- 2 -13.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为 ， ，且两条曲线在1F2第一象限的交点为 ， 是以 为底边的等腰三角形，若 ，椭圆与双曲线P21F1P0P的离心率分别为 ， ，则 .1e221e14.设直线 ： ，圆 ： ，若在圆 上存在两点 ，l043yxC)0()(22ryxCP，在直线 上存在一点 ，使得 ，则 的取值范围是 .QM09PQ二、解答题：（本大题共 6 小题，计 90
4、分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15 （本小题 14 分）已知命题 :p“方程219xyk表示焦点在 x轴上的椭圆”,命题 :q“方程21xyk表示双曲线”.(1)若 p是真命题,求实数 的取值范围; (2)若 是真命题,求实数 的取值范围.16 （本小题 14 分）矩形 的两条对角线相交于点 M(2，0), 边所在直线的方程为ABCDAB点 在 边所在直线上.063yx)1,(T(1)求 边所在的直线方程及 A 的坐标. (2)求矩形 外接圆方程.ADCD17 （本小题 15 分）已知圆 ： .M022axy(1)若 ，过点 作圆 的切线，求
5、该切线方程；8a)5,4(P(2)若 为圆 的任意一条直径，且 (其中 为坐标原点)，求圆 的半径.AB6OBAM- 3 -18 （本小题 15 分）如图，某城市有一块半径为 1(单位：百米)的圆形景观，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处(图中阴影部分)建设一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆 相切的小道 .问： ， 两点应选在何处可使得小道CAB最短？AB19 （本小题 16 分）已知圆 24Oxy： ，若焦点在 x轴上的椭圆21xyab过点(01)P，且其长轴长等于圆 的直径(1
6、)求椭圆的方程；(2)过点 作两条互相垂直的直线 1l与 2， 1l与圆 O交于 A、 B两点， 2l交椭圆于另一点 C，- 4 -(I)设直线 1l的斜率为 k，求弦 AB长；(II)求 ABC面积的最大值20 （本小题 16 分）已知椭圆 ： 上顶点为 ，右焦点为 ，C)0(124bayxDF过右顶点 作直线 ，且与 轴交于点 ，又在直线 和椭圆 上分别取点ADFl/ tP,tyC和点 ，满足 （ 为坐标原点） ，连接 .QEOEEQ(1)求 的值，并证明直线 与圆 相切；tP22yx(2)判断直线 与圆 是否相切？若相切，请证明；若不相切，请说明2yx理由。- 5 -2018-2019
7、学年度第一学期高二数学期中测试卷答案（2018.10）一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1. 0,2xR使 2. 3. （0，1） 4. 4 5. 6. 2 7. 23 5(2，)8. 9. 10. 2 11. (2，) 12. 4 13. 2 14. ，)135 5 2二、解答题：（本大题共 6 小题，计 90 分）15.（本小题满分 14 分）(1) 7 分1k5(2) 1420或分21 （本小题满分 14 分）解：（）因为 AB 边所在直线的方程为 x-3y-6=0，且 AD 与 AB 垂直，所以直线 AD 的斜率为-3， 2 分又因为点 T（-1，1）在直
8、线 AD 上，所以 AD 边所在的直线的方程为 ，即 5 分)1(3xy02y（）由 ，解得点 A 的坐标为（0，-2） ， 7 分236yx因为矩形 ABCD 两条对角线的交点为 M（2，0） ，所以 M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心， 10 分又 ， 12)0()2(2A分从而矩形 ABCD 外接圆的方程为 . 148)(2yx分22 （本小题满分 15）解 (1)若 a8，则圆 M：( x1) 2 y29，圆心 M(1,0)，半径为 3. 1 分若切线斜率不存在，圆心 M 到直线 x4 的距离为 3，- 6 -所以直线 x4 为圆 M 的一条切线； 3 分若切线斜率存在，设切线方程为
9、y5 k(x4)，化简为 kx y4 k50，则圆心到直线的距离 d 3，|k 4k 5|k2 1解得 k .此时切线方程为 8x15 y430. 6815分综上，所求切线方程为 x4 或 8x15 y430. 7分(2)圆 M 的方程可化为( x1) 2 y21 a， 8分圆心 M(1,0)，则 OM1.设圆的半径 r (a1)1 a因为 AB 为圆 M 的任意一条直径，所以 ，且| | | r， 11MA MB MA MB 分则 ( )( )OA OB OM MA OM MB ( )( ) 2 21 r2. OM MB OM MB OM MB 14 分又因为 6，解得 r ，所以圆 M 的
10、半径为 15OA OB 7 7分23 （本小题满分 15 分）解 如图，分别以两条道路所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系 xOy， 1 分设 A(a，0)， B(0， b)(0a1,0b1)，- 7 -则直线 AB 的方程为 1， 3xa yb分即 bx ay ab0.因为直线 AB 与圆 C 相切，所以 1，|b a ab|b2 a2化简得 ab2( a b)20，即 ab2( a b)2. 6 分因为 AB a2 b2 a b 2 2ab ， 8 分 a b 2 4 a b 4 a b 2 2因为 0a1,0b1，所以 0a b2，所以 AB2( a b)又 ab2( a b)2 2，(
11、a b2 )解得 0a b42 或 a b42 . 11 分2 2因为 0a b2，所以 0a b42 ，2所以 AB2( a b)2(42 )2 2，2 2当且仅当 a b2 时取等号，2所以 AB 的最小值为 2 2，此时 a b2 . 14 分2 2答 当 A， B 两点离道路的交点都为(2 )百米时，小道 AB 最短 215 分24 （本小题满分 16 分）解：（1）由题意得， ，所以椭圆 C 的方程为 12ba214xy4 分（2）设 ，由题意知直线 的斜率存在，不妨设其为 ，则直120(,)(,)(,)AxyBxy1l k线 的方程为 ，1lk又圆 O： ，故点 O 到直线 的距离
12、 ， 6 分24xy1l21dk所以 8 分22431kABd（3）因为 ，故直线 的方程为 ，21l2l 0xky- 8 -由 消去 ，整理得 ，204xkyy2(4)80kx故 ，所以 ， 11 分028xk281PCk设 的面积为 S，则 ， 13 分AB2432kAB所以 ，2 22 233163144Skk当且仅当 时取等号. 16 分020.（本小题满分 16 分）解：（1）由题设 D（0, ） ， F（ ,0） ， A（2,0）2 2又 AP/DF，所以 kAP=kDF，可得 t=2， 3 分所以 AP： + =1，即 x+y=2x2y2所以 d= = =圆 x2+y22 的半径，2所以直线 AP 与圆 x2+y22 相切 7 分（2）设 Q(x0,2)， E（ x1， y1）由 OQ OE，则 ，可得 x0x1+2y1=0 9 分 OQ OE而 EQ：( y1-2)x- (x1-x0)y-(y1-2)x0+2(x1-x0)=0d= = 11 分由 x0x1+2y1=0 得 x0=- 代入上式得 d= = = 13 分又 +2 =4， =4-2 ，代入上式得 d=x21 y21 x21 y21 2所以直线 EQ 与圆 x2+y22 相切。 16 分 - 9 -
