1、- 1 -江苏省启东中学 2018-2019 学年度第一学期期中考试高一数学（普通）（考试用时：120 分钟 总分：150 分）第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下图中，能表示函数 的图象的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义，依次分析选项中的图象是否存在一对多的情况，即可得答案【详解】根据题意，对于 A、B 两图，可以找到一个 x 与两个 y 对应的情形；对于 C 图，当 x=0 时，有两个 y 值对应；对于 D 图，每个 x 都有唯一的 y
2、 值对应因此，D 图可以表示函数 y=f（x） ，故选：D【点睛】本题考查函数的定义，关键是理解函数的定义“每个 x 都有唯一的 y 值对应” 2.下列五个写法： ，其中错误写法的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C- 2 -【解析】【分析】根据“”用于元素与集合间， “”用于集合与集合间，判断出错；是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出的对错；据集合元素的三要素判断出对【详解】对于， “”是用于元素与集合的关系故错，对于，是任意集合的子集，故对，对于，集合中元素的三要素有确定性、互异性、无序性故对，对于，因为是不含任何元素的集合故错，对于，因为是用于集合与集合的
3、关系的，故错故选：C【点睛】此题是基础题，考查对元素与集合关系的判断，以及列举法表示集合，特别注意对空集的理解3.下列各组函数表示同一函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】定义域和对应法则完全相同的函数，才是同一函数，对选项逐一判断，即可得到结论【详解】对于 A，f（x）= =|x|，g（x）=（ ） 2=x（x0） ，定义域和对应法则不一样，故不为同一函数；对于 B， f（x）=1（xR） ，g（x）=x 0=1（x0） ，定义域不同，故不为同一函数；对于 C，f（x）=x，g（x）= =x，定义域和对应法则均为 R，故为同一函数；对于 D，f（x）=x+1， （x
4、R） ，g（x）= =x+1（x1） ，定义域不同，故不为同一函数故选：C【点睛】本题考查同一函数的判断，运用定义域和对应法则完全相同的函数，才是同一函数，- 3 -属于基础题4.已知 ，则 （ ）A. 5 B. -1 C. -7 D. 2【答案】D【解析】【分析】根据所给解析式先求 f（2） ，再求 ff（2）【详解】f（2）=22+3=1，ff（2）=f（1）=（1） 2+1=2故选：D【点睛】本题考查分段函数求值问题，属基础题，关键看清所给自变量的值所在范围5.已知集合 ，则适合 的非空集合 B 的个数为（ ）A. 31 B. 63 C. 64 D. 62【答案】B【解析】【分析】由 A
5、B=A 得 BA，根据集合关系进行求解【详解】AB=A，BA， ，满足 AB=A 的非空集合 B 的个数为 261=63故选：B【点睛】本题主要考查集合的基本关系，将 AB=A 转化为 BA 是解决本题的关键6.函数 的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】- 4 -【分析】根据函数 f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可【详解】函数 f（x）= +lg（3x+1） ， ；解得 x1，函数 f（x）的定义域是（ ，1） 故选：B【点睛】本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目7.若 a0,将 表示成分数指
6、数幂,其结果是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由根式与分数指数幂的互化规则所给的根式化简即可将其表示成分数指数幂，求得其结果选出正确选项【详解】由题意 =故选：C【点睛】本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算，解题的关键是掌握并能熟练运用根式与分数指数幂互化的规则8.函数 的零点所在区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】- 5 -【分析】根据连续函数 ，可得 f（3） ，f（4）的函数值的符号，由此得到函数的零点所在的区间【详解】连续减函数 ，f（3）=2log 230，f（4）= log 240，函数 的零点所在的区间是 （3，4） ，故选：C【点
7、睛】本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题9.直线 与函数 图象的交点个数为( )A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个【答案】A【解析】【分析】函数 y=|x26x|可讨论 x 去掉绝对值，得到分段函数，画出图象，然后画出 y=3，观察交点个数【详解】由函数的图象可得，显然有 4 个交点，故选：A【点睛】函数零点的求解与判断- 6 -(1)直接求零点：令 ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 上是连续不断的曲线，且 ，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3
8、)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点10.已知奇函数 在 时的图象如图所示，则不等式 的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由 f（x）是奇函数得函数图象关于原点对称，可画出 y 轴左侧的图象，利用两因式异号相乘得负，得出 f（x）的正负，由图象可求出 x 的范围得结果【详解】 （1）x0 时，f（x）0，1x2，（2）x0 时，f（x）0，2x1，不等式 xf（x）0 的解集为（2，1）（1，2） 故选：C【点睛】由函数的奇偶性得出整个图象，分类讨论的思想得出函数值的正负，数形结合得出自
9、变量的范围11.已知 是定义在 上的减函数,则实数 的取值范围是( ).A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解即可【详解】当 x1 时，函数 f（x）=x+1 为减函数，此时函数的最大值为 f（1）=0，- 7 -要使 f（x）在 R 上的减函数，则满足 ，即 ，解集 a ，故选：B【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键12.已知函数 ，若对任意的 ，总存在 ，使得，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 以上都不对【答案】A【解析】【分析】对任意的 x11，2，总存在 x
10、2 ，使得 g（x 1）f（x 2） ，可得 g（x 1）minf（x 2） min，根据基本不等式求出 f（x 2） min=1，再分类讨论，求出 g（x） min，即可求出k 的范围【详解】对任意的 x11，2，总存在 x2 ，使得 g（x 1）f（x 2） ，g（x 1） minf（x 2） min，f（x）=x 2+ 32 3=43=1，当且仅当 x= 时取等号，f（x 2） min=1，当 k0 时，g（x）=kx+2，在 x1，2为增函数，g（x） min=f（1）=2k，2k1，解得 0k1当 k0 时，g（x）=kx+2，在 x1，2为减函数，g（x） min=f（2）=2k+
11、2，- 8 -2k+21，解得 k0，当 k=0 时，g（x）=2，21 成立，综上所述 k 的取值范围为（ ，1）故选：A【点睛】本题考查了函数恒成立问题和存在性问题，以及基本不等式，属中档题第卷 （非选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。13.函数 恒过定点_【答案】 （3,4）.【解析】当 x3 时，f(3)a 33 34，f(x)必过定点(3，4)14.已知集合 ，若 ，实数 的取值范围是_ 【答案】 .【解析】【分析】根据集合 A，B，以及 AB=，分别判断集合成立的条件，分情况讨论得出 a 的范围即可【详解】A=x|a1x2a+1，B
12、=x|0x1，而 AB=，a12a+1 时，A=，a2解得：2a解得：a2综上，a 的范围为：a 或 a2- 9 -故答案为：【点睛】本题考查交集及其运算，子集与交集补集的混合运算，通过对集合关系的把握转化为参数的范围，属于基础题15.已知 ,若 ,则 _ 【答案】-14.【解析】【分析】根据 f（x）=ax 3+bx4，可得 f（x）+f（x）=8，从而根据 f（2）=6，可求 f（2）的值【详解】f（x）=ax 3+bx4f（x）+f（x）=ax 3+bx4+a（x） 3+b（x）4=8f（x）+f（x）=8f（2）=6f（2）=14故答案为：14【点睛】本题以函数为载体，考查函数的奇偶性
13、，解题的关键是判断 f（x）+f（x）=8，以此题解题方法解答此类题，比构造一个奇函数简捷，此法可以推广16.若函数 在 上有意义，则实数 的取值范围是_ 【答案】 .【解析】【分析】使用换元令 t=2x，将函数转化为一元二次函数 y=1+t+at2进行求解【详解】设 t=2x，因为 x（，2，所以 0t4则原函数有意义等价于 1+t+at20，所以 a 设 f（t）= ，则 f（t）= =（ + ） 2+ ，- 10 -因为 0t4，所以 ，+） ，所以 f（t）f（ ）= ，所以 a 故答案为： 【点睛】本题考查了与指数函数有关的复合函数的最值问题，通过换元，将函数转化为一元二次函数，是解
14、决本题的关键，对应不等式恒成立问题通常是转化为含参问题恒成立，即求函数的最值问题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，本大题共 6 小题，共 70 分。17.已知集合 ， ， ，全集为实数集 （ ）求 ， ；（ ）若 ，求实数 的范围【答案】 （1） ；（2） 。【解析】【分析】（1）求出集合 A=x|1x5，B=x|2x6，C=x|xa，由此能求出 AB 和（ RA）B；（2）由 AC=，A=x|1x5，C=x|xa，能求出实数 a【详解】(1)A= =1x5,B= =x|2x6, 。(2)C=x|y=ln(a-x)=x|xa,A=1x5, ， ，实数 的范围为 。【点睛】本题
15、考查集合的交、并、补集的运算，是基础题，解题时要注意不等式和对数函数- 11 -性质的合理运用18.计算：（1） （2） 【答案】 （1） ；（2）2.【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可得出；（2）利用对数的运算性质即可得出【详解】 （1）（2）【点睛】本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题19.已知函数 ，其中 且 （1）若 ，求满足 的 集合（2）若 ，求 的取值范围【答案】 （1） ；（2） 。【解析】【分析】（1）当 时，由对数函数的单调性可得 从而得到 集合；（2）由 可得对 a 分类讨论，解不等式可得 的取值范围【详解】 （ ）当 时，
16、，由 得 ，- 12 - ，即 ，解得 或 ，满足条件的 集合为 （ ）由题意得 ， 当 时， ， ，得 ，矛盾，舍去，当 ， ， ， ，符合题意。综上可得 实数 的取值范围为 。【点睛】本题考查与对数相关的复合函数问题，利用好对数函数的图像与性质是解题的关键，考查了分类讨论的思想方法，属于中档题.20.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 （单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数当 不超过 4 尾/立方米时， 的值为 2 千克/年；当时， 是 的一次函数，当 达到 20 尾/立方米时，因缺氧
17、等原因， 的值为 0 千克/年（1）当 时，求函数 关于 的函数表达式；（2）当养殖密度 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值【答案】 （1） ；（2）当养殖密度为 10 尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为 12.5 千克/立方米- 13 -【解析】【分析】（1）由题意：当 0x4 时，v（x）=2当 4x20 时，设 v（x）=ax+b，v（x）=ax+b在4，20是减函数，由已知得 ，能求出函数 v（x） ；（2）依题意并由（1） ，得 f（x）= ，当 0x4 时，f（x）为增函数，由此能求出 fmax（x）=f（4） ，由此能求出结果【详
18、解】 （1）由题意得当 时， ；当 时，设 ，由已知得 ，解得 ，所以 ，故函数 。（2）设鱼的年生长量为 千克/立方米，依题意并由（1）可得当 时， 为增函数，故 ； 当 时， ，所以当 时， 的最大值为 12.5. 即当养殖密度为 10 尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为 12.5 千克/立方米【点睛】解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型对涉及的相关公式，记忆错误在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情
19、况.- 14 -21.已知函数 (1)判断 的奇偶性；(2)判断并证明 的单调性，写出 的值域【答案】 （1） 为奇函数；（2） 在 R 上为增函数，证明见解析，值域为 。【解析】试题分析：（1）先求出函数的定义域，看是否关于原点对称，若对称，则判断 与的关系，经推理得 ，所以函数为奇函数；（2）按照单调性的定义，设 且 ，然后作差比较得 ，所以函数为增函数，然后按照反比例函数的模型求值域即可试题解析：（1）易知函数的定义域为 R，因为 ，所以 ，则 是奇函数（2） 在 R 上是增函数，证明如下：任意取 ，使得：则所以 ，则 在 R 上是增函数，则 的值域为考点：证明函数的奇偶性；判断函数的单
20、调性；求值域22.已知 .（1）若 ,求方程 的解；（2）若关于 x 的方程 在（0,2）上有两个解 ，求 k 的取值范围，并证- 15 -明 【答案】 （1） 或 ；（2）k 的取值范围为 ，证明见解析。【解析】【分析】（1）当 k=2 时，f（x）=|x 21|+x 2+2x=0，下面分两种情况讨论：当 x210，当x210，分别解出方程 f（x）=0 的解即可；（2）不妨设 0x 1x 22，因为 ，所以 f（x）在（0，1上是单调函数，故 f（x）=0 在（0，1上至多一个解，结合根的范围求出当 时，方程 f（x）=0 在（0，2）上有两个解，下面求 的取值范围，先得出则 关于 k 的
21、函数，再利用函数的单调性求其范围.【详解】 （1）当 k=2 时， ，当 ，即 x1 或 x-1 时，方程化为 ，解得 ，因为 ，舍去，所以 ；当 ，即-1x1 时，方程化为 2x+1=0，解得： ；由得，当 k=2 时，方程 f(x)=0 的解为 或 。（2）不妨设 ，因为 ，所以 f(x)在（0，1是单调函数，故 f(x)=0 在（0，1上至多一个解，若 ，则 0，故不符题意，- 16 -因此 ；由 ，得 ，所以 k-1；由 ，得 ，所以 ； 故当 时，方程 f(x)=0 在(0，2)上有两个解； 因为 ，所以 ， ，消去 k，得 ，即 ，因为 x22，所以 。【点睛】本小题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系、带绝对值的函数、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想属于中档题
