1、- 1 -江苏省启东中学 2018-2019 学年度第一学期期中考试高二数学（文科）（考试用时：120 分钟 总分：160 分）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.命题： 的否定是_【答案】 xR ，sin x2.【解析】【分析】将特称命题否定为全称命题即可.【详解】特称命题的否定为全称命题，则命题 的否定是 x R， sin x2.【点睛】对含有存在(全称)量词的命题进行否定需两步操作：(1)将存在(全称)量词改写成全称(存在)量词；(2)将结论加以否定这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没给予否定有些命题中的量词不
2、明显，应注意挖掘其隐含的量词2.抛物线 的准线方程是 ，则 _.【答案】 .【解析】抛物线 即 的准线方程为 ，所以 ，解得3.若直线 与圆 有两个不同交点，则点 与圆 的位置关系是_【答案】在圆外【解析】【分析】由题意考查圆心到直线的距离与半径的关系确定点与圆的位置关系即可.【详解】直线与圆有两个不同的交点，则圆心到直线的距离小于半径，即：，即 ，- 2 -据此可得：点 与圆 的位置关系是点在圆外.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.若双曲线 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为_【答案】 .【解析】【分
3、析】由题意确定 a,b,c 的关系，然后确定其离心率即可.【详解】由题意可知，双曲线的一个焦点坐标为 ，双曲线的一条渐近线方程为： ，即 ，据此可得： ，则 ，椭圆的离心率 .【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 a， c，代入公式 ；只需要根据一个条件得到关于 a， b， c 的齐次式，结合 b2 c2 a2转化为 a， c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围)5.已知以 为圆心的圆与圆 相内切，则圆 C 的方程是_【答案】(
4、 x4) 2( y3) 236.【解析】【分析】由圆与圆的位置关系确定圆的半径，然后确定圆的方程即可.【详解】两圆的圆心距为： ，设所求圆的半径为 ，由两圆内切的充分必要条件可得： ，- 3 -据此可得： ，圆 C 的方程是( x4) 2( y3) 236.【点睛】判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法6.在平面直角坐标系 中，直线 与直线 互相垂直的充要条件是 _.【答案】 .【解析】试题分析：由两直线 ax+by+c=0 与 mx+ny+d=0 垂直am+bn=0 解得即可解：直线x+（m+1）y=2-m 与直线 mx+2y=-8 互相垂直
5、m+2（m+1） =0m=- 故答案是 考点：两直线垂直点评：本题主要考查两直线垂直的条件，同时考查充要条件的含义7.已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的方程为_【答案】 .【解析】【分析】由题意利用待定系数法确定双曲线方程即可.【详解】双曲线 的渐近线方程是 ，抛物线 的焦点坐标为 ，据此可得：，解得： ，双曲线的方程为 .【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据 a， b， c， e 及渐近线之间的关系，求出 a， b 的- 4 -值如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方
6、程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为 ，再由条件求出 的值即可.8.若命题 有 是假命题，则实数 的取值范围是_【答案】 .【解析】【分析】利用原命题的否定为真命题确定实数 的取值范围即可.【详解】由题意可得命题： ， 是真命题，据此可得： ，解得： ，即实数 的取值范围是 .【点睛】本题主要考查全称命题与特称命题的关系，由命题的真假求参数的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.已知 为椭圆 的两个焦点，点 在椭圆上，如果线段 的中点在 轴上，且，则 的值为_【答案】7.【解析】【分析】由题意可得 PF2平行 y 轴，然后结合椭圆方程和椭圆的定义整理计算即可求得最终结果.【详解
7、】原点 O 是 F1F2的中点， PF2平行 y 轴，即 PF2垂直于 x 轴 c=3，| F1F2|=6，设| PF1|=x，根据椭圆定义可知 ，解得 ，| PF2|= ，- 5 -| PF1|=t|PF2|， t=7.【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，方程的思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.若直线 始终平分圆 的周长，则 的最小值为_【答案】5.【解析】【详解】由题意可得直线 过圆心 ，即： ，据此可得： ，则点 在直线 上，表示直线上的点与点 之间距离的平方，点 到直线 的距离为： ，据此可得： 的最小值为 .【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，两点之间距离公
8、式及其应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.设 分别是椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上任一点，点 的坐标为 ，则 的最大值为_【答案】15.【解析】【分析】利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题，然后求解最值即可.【详解】由椭圆方程可得： a=5,b=4,c=3. F1(3,0),F2(3,0)，如图所示，由椭圆的定义可得：| PF1|+|PF2|=2a=10，| PM|+|PF1|=|PM|+2a|PF2|=10+(|PM|PF2|)10+|MF2|= =15，则| PM|+|PF1|的最大值为 15.故答案为：15.- 6 -【点睛】本题主要考查椭圆
9、的定义与几何性质，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.点 是椭圆 上的点，以 为圆心的圆与 轴相切于椭圆的焦点 ，圆与 轴相交于 ，若 是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是_【答案】 .【解析】【分析】由题意利用几何关系得到关于离心率的不等式，求解不等式即可确定椭圆的离心率的取值范围.【详解】圆 M 与 轴相切于焦点 F，不妨设 M(c,y),则(因为相切,则圆心与 F 的连线必垂直于 x 轴) M 在椭圆上,则 或 (a2=b2+c2)，圆的半径为 ，过 M 作 MN y 轴与 N,则 PN=NQ,MN=c，PN,NQ 均为半径,则 P
10、QM 为等腰三角形， PN=NQ= ， PMQ 为钝角,则 PMN= QMN45，即 PN=NQMN=c- 7 -所以得 ,即 ，得 ，a22c2+c2e22c2，e44e2+10(e22)230e22 .又由已知“ p 或 q”为真， “p 且 q”为假，所以应有 p 真 q 假，或者 p 假 q 真 若 p 真 q 假，则 ，此时 a 无解若 p 假 q 真，则 ，解得 0)，根据题意得- 12 -解得 a b1， r2，故所求圆 M 的方程为( x1) 2( y1) 24.(2)由题意知，四边形 PAMB 的面积为 S S PAM S PBM AMPA BMPB.又 AM BM2， PA
11、 PB，所以 S2 PA，而 PA ，即 S2 .因此要求 S 的最小值，只需求 PM 的最小值即可，即在直线 3x4 y80 上找一点 P，使得 PM 的值最小，所以 PMmin 3，所以四边形 PAMB 面积的最小值为 Smin2 2 .【点睛】求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理如：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任意弦的中垂线上；两圆相切时，切点与两圆心三点共线(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式不论是哪种形式，都要确定三个独立参
12、数，所以应该有三个独立等式19.已知椭圆的中心为坐标原点 ，椭圆短轴长为 ，动点 , 在椭圆的准线上(1)求椭圆的标准方程(2)求以 为直径且被直线 截得的弦长为 的圆的方程；(3)设点 是椭圆的右焦点，过点 作 的垂线 ，且与以 为直径的圆交于点 ，求证：线段 的长为定值，并求出这个定值【答案】 （1） ；（2） ；（3）证明见解析，定值为 。【解析】【分析】(1)由题意求得 a,b 的值即可确定椭圆方程；(2)由题意分别求得圆心和半径即可求得圆的方程；- 13 -(3)法一：利用平面几何的性质确定 H 的横坐标，然后整理计算即可证得最终结果；法二：利用平面向量的知识结合数量积大于零整理计算
13、即可证得最终结果.【详解】(1)由 2b2，得 b1.又由点 M 在准线上，得 2.故 2.所以 c1.从而 a .所以椭圆的方程为 .(2)以 OM 为直径的圆的方程为 x(x2) y(y t)0，即( x1) 2 2 1，其圆心为 ，半径 r .因为以 OM 为直径的圆被直线 3x4 y50 截得的弦长为 2，所以圆心到直线 3x4 y50 的距离 d .所以 ，解得 t4.故所求圆的方程为 .(3)法一 由平面几何知 ON2 OHOM.直线 OM： y x，直线 FN： y (x1)由 得 xH .所以 ON2 |xH| |xM| 22.所以线段 ON 的长为定值 .法二 设 N(x0，
14、 y0)，则 ( x01， y0)， (2， t)，( x02， y0 t)， ( x0， y0)因为 ，所以 2(x01) ty00.所以 2x0 ty02.又 ，所以 x0(x02) y0(y0 t)0.所以 x y 2 x0 ty02.所以| | 为定值 .【点睛】求定值问题常见的方法有两种：- 14 -(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值20.已知椭圆 的离心率为 ，其右焦点到直线 的距离为 .(1) 求椭圆 的方程；(2) 过点 的直线 交椭圆 于 两点求证：以 为直径的圆过定点【答案】 （1） ；（2）圆
15、恒过定点(0，1)，证明见解析。【解析】【分析】(1) 由题意求得 a,b 的值即可确定椭圆方程；(2) 首先求得 AB x 轴和 AB y 轴时以 AB 为直径的圆的方程，求得两圆的交点为Q(0，1)然后分类讨论斜率存在和斜率不存在两种情况证明题中的结论即可.【详解】(1) 由题意， e ， e2 ，所以 a b， c b.又 ， ab1，所以 b1， a22，故椭圆 C 的方程为 .(2) 当 AB x 轴时，以 AB 为直径的圆的方程为 x2 y21.当 AB y 轴时，以 AB 为直径的圆的方程为 x2( y )2 .由 可得由此可知，若以 AB 为直径的圆恒过定点，则该定点必为 Q(
16、0，1)下证 Q(0，1)符合题意设直线 l 的斜率存在，且不为 0，则方程为 y kx ，代入 y21 并整理得(12 k2)x2kx 0，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，- 15 -则 x1 x2 ， x1x2 ，所以 ( x1， y11)( x2， y21) x1x2( y11)( y21) x1x2( kx1 )(kx2 )(1 k2)x1x2 k(x1 x2)(1 k2) k 0，故 ，即 Q(0，1)在以 AB 为直径的圆上综上，以 AB 为直径的圆恒过定点(0，1)【点睛】求定点问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定点，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点
