1、- 1 -江苏省徐州市 2019 届高三数学上学期期中质量抽测试题（含解析）一填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置1.已知集合 ， ，则 _【答案】 2，4【解析】【分析】由集合 A 与集合 B，根据交集的关系，即可求出两集合的交集【详解】 ， ，故填 .【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2.若复数 满足 ，其中 i 是虚数单位，则 的实部为_【答案】2【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.详解：因为 ，则 ，则 的实部为 .点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数 的实部为 、虚
2、部为 、模为、对应点为 、共轭复数为 .3.某水产养殖场利用 100 个网箱养殖水产品，收获时测量各箱水产品的产量（单位：kg） ，其频率分布直方图如图所示，则该养殖场有_个网箱产量不低于 50 kg【答案】82【解析】【分析】- 2 -根据频率分布直方图，可求出不低于 50kg 的频率，然后再根据频率即可求出结果.【详解】由频率分布直方图，可知不低于 50kg 的频率为：（0.040+0.070+0.042+0.012）50.82，所以网箱个数：0.08210082.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的，以及频率的基本概念，考生熟练掌握相关概念是解决本题的关键.4.如图是一个算法的流程图，
3、则输出的 的值是_.【答案】【解析】由程序框图，得运行过程如下： ；，结束循环，即输出的 的值是 7.5.已知双曲线 的离心率为 ，则实数 m 的值为 【答案】4【解析】试题分析：由题意 ， ， ，解得 考点：双曲线的离心率6.已知袋中装有大小相同、质地均匀的 2 个红球和 3 个白球，从中一次摸出 2 个，恰有 1 个- 3 -是红球的概率为_【答案】【解析】【分析】利用列举法能求出“从中一次摸出 2 个，恰有 1 个是红球的”的所有情况，然后再根据古典概型求出概率【详解】设 2 个红球编号为 ，3 个白球编号为 ，任取 个，所有可能为：基本事件共有 10 个，恰有 1 个是红球的有 6 个
4、，所以，所求概率为： .【点睛】本题主要考查古典概率等基础知识，是基础题，解题时要认真审题，列出所有的基本事件，求出满足要求的基本事件是解决本题的关键.7.已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 的值为_【答案】24【解析】【分析】首先根据等差数列的前 项和公式和等差中项，即可求出 的值，再根据等差数列的通项公式和 ，即可求出 ，进而求出 的值.【详解】因为 ，所以， 132，即 11 132，所以， 12又 ，所以， 18，因为 ，所以，可求得： 24【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的前 项的公式，熟练掌握通项公式和等差数列的前 项的公式是解决本题的关键.8.已知函数 ，若
5、，且 ，则 的最大值为_【答案】【解析】【分析】- 4 -首先根据题意，可得 ，可令 1， ，所以， ，进而 ， m， n， k 都是整数，再根据，进而求出结果.【详解】令 1， ，则， ， m， n， k 都是整数，因为 ，所以 ，所以， 的最大值为 .【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，根据 得到1， ，是对本题的重要突破，熟练掌握三角函数的公式是解决本题的关键.9.已知奇函数 是 R 上的单调函数，若函数 只有一个零点，则实数 的值为_【答案】【解析】【分析】由于函数 只有一个零点，所以方程 =0 只有一个 x 的值，进而可得 ，由于函数 是 R 上的单调的奇函数，所以方程 =0 有且
6、只有一个解，再根据判别式即可求出结果.【详解】函数 只有一个零点，只有一个 x 的值，使 =0，即 成立- 5 -函数 是奇函数，只有一个 x 的值，使 成立，又函数 是 R 上的单调函数，只有一个 x 的值，使 ，即方程 =0 有且只有一个解， ，解得 .【点睛】本题主要考查了函数的单调性、奇偶性和函数的零点；函数零点的基本问题之一是零点的个数，包括：直接求零点的个数；求在某区间内的零点个数；已知零点个数,求参数的值(或取值范围)解决该类问题常用到：函数 的零点转化为的解，或者函数 的图像与函数 的图像交点的横坐标10.如图，已知正方体 的棱长为 1，点 为棱 上任意一点，则四棱锥的体积为_
7、【答案】【解析】【分析】连结 AC 交 BD 于 O 点，由线面垂直的判定定理可证 平面 ，进而可得 AO 就是点 P到平面 的距离，求出 AO， 由锥体体积公式进而求出结果.【详解】连结 AC 交 BD 于 O 点，则有 平面 ，所以， AO 就是点 P 到平面 的距离，即高 ；又矩形 的面积为 ；所以，四棱锥 的体积为 V .【点睛】本题关键是先根据图证明出 平面 ，进而求出 AO 就是点 P 到平面- 6 -的距离，这是本题解答的关键点；此类问题基本解题方法就是先求出高，然后再根据体积公式求出体积.11.在平行四边形 中， ， ， ，若 ,则 的值为_【答案】【解析】【分析】用 表示出
8、，再代入平面向量的数量积计算公式，即可求出结果【详解】如下图，因为 ，所以， DE DC AB，所以， 12 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算的几何意义，选择适当基底、向量加（减）法运算的基本法则和熟练掌握数量积公式是解决此类问题的关键12.已知正实数 满足 ，则 的最小值为_【答案】18【解析】【分析】首先根据 ，然后再根据基本不等式可得 ，即可求出结果.【详解】因为 2+- 7 -又 1 ，所以， ，即 ，当且仅当 ，即 时，取等号.【点睛】基本不等式应用条件： 注意运用基本不等式求最值时的条件：一“正” 、二“定” 、三“等” ； 熟悉一个重要的不等式链：基本不
9、等式求最值的常见的方法和技巧：利用基本不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造；利用基本不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子） 、平方等方式进行构造；用基本不等式求最值等号不成立。求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法.13.过点 的直线 与圆 交于两点 ，若 是 的中点，则实数 的取值范围是_【答案】 或【解析】【分析】由切割线定理可知 ，又 为 中点，所以， ，即 ，进
10、而求出 ，即可求出结果.【详解】如图，依题意知，圆 与 轴相切于点 ，设圆心为 ,由切割线定理，得：，又 为 中点，所以， ，即 ，得 ，所以， 或 。【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，本题的关- 8 -键是根据切割线定理得到 是解决本题的关键.14.已知函数 ，若 有三个零点，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】对 进行分类讨论，分（1） 0， 0 和 0 三类情况，集合导数的性质和数形结合即可求出结果.【详解】 （1） 0 时， ，只有一个零点，不合题意；（2） 0 时， ， 0， 在 R 上单调递增，所以， 不可能有 3 个解，也不合题意。（3） 0 时， ，得画出函数：
11、 的图象，如图：当 时有三个零点，其中 有唯一的零点， 有两个零点，即 在有两个零点.， 0，得 x=x 在（0， ）递减，在（ ， ）递增，0，解得：【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，考查了转化、数形结合的数学思想. - 9 -函数零点的基本问题之一是零点的个数，包括：直接求零点的个数；求在某区间内的零点个数；已知零点个数,求参数的值(或取值范围)解决该类问题常用到：函数的零点、函数 的图像与函数 的图像交点的横坐标二解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤15.在 中，角 的对边分别为 ，已知 .（1）求角
12、的值；（2）若 ， ，求 的面积.【答案】 （1）0（2）【解析】【分析】（1）根据三角形内角和的可得 ，解方程可得 ，进而求出 的值；（2）根据同角的基本关系可得 ，再根据三角形内角和的关系可得，再根据正弦定理可得 ，最后根据面积公式即可求出结果.【详解】解：（1） 或 （舍）在 中， ；（2）在 中， ， - 10 - 由正弦定理：又 ，则 .【点睛】本题主要考查了三角形内角和的正余弦关系，同时考查了正弦定理、余弦定理的应用，熟练掌握公式是解决问题的关键.16.如图，在三棱锥 中， 分别为 ， 的中点，点 在 上，且 底面 .（1）求证： 平面 ； （2）若 ，求证：平面 平面 .【答案】
13、 （1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由中位线知： DE/AC，可证： DE/平面 SAC；（2）由 SD平面 ABC，知 SD AC，又 SF AC， SD 与 SF 交于点 S，所以， AC平面 SFD，然后再根据面面垂直的判定定理，即可证明出结果.- 11 -【详解】在三角形 ABC，由中位线定理知： DE/AC，又 DE 面 SAC， AC 面 SAC所以 DE/平面 SAC;（2）由 SD平面 ABC，知 SD AC，又 SF AC， SD 与 SF 交于点 S，所以， AC平面 SFD，所以，平面 SAC平面 SFD【点睛】本题主要考查了线面平行和面面垂直的判定定理，熟练
14、掌握判定定理的条件是解决本题的关键.17.已知椭圆 ，过右焦点 的直线 与椭圆 交于 两点，且当点 是椭圆 的上顶点时， ，线段 的中点为 （1）求椭圆 的方程；（2）延长线段 与椭圆 交于点 ，若 ，求此时 的方程【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）由题意可以知 ，可求出点 的坐标，又点 在椭圆 上，将点 的坐标代入椭圆- 12 -方程，即可求出 ，进而求出椭圆方程；（2）当直线 与垂直或与 轴重合时，不满足题意，故可设直线 方程为： ，由可知四边形 为平行四边形，可得点 为线段 的中点，再根据点差法即可求出结果.【详解】 （1）由题意可以知 ， 、 ，设则点 在椭圆 上 解得 椭
15、圆 的方程为：（2）当直线 与垂直或与 轴重合时，不满足题意可直线 方程为：设 、 、 、由 可知四边形 为平行四边形点 为线段 的中点由 为线段 的中点，点 、 在椭圆 上 则可得 又可解得 点 在椭圆 上- 13 - 整理得解得 或 舍去 可知 的方程为 即 .【点睛】本题主要考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，熟练掌握椭圆的方程及有关性质和点差法是解决本题的关键.18.某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域 I）设计成半径为 1km 的扇形，中心角 （ ）.为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域 II）和休闲区（区域 III） ，并将外围区域按如图所示的方案扩建
16、成正方形 ，其中点 ， 分别在边 和 上已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是 10万元、20 万元、20 万元.（1）要使观赏区的年收入不低于 5 万元，求 的最大值；（2）试问：当 为多少时，年总收入最大？【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）由 ， ， ，所以 与 全等.可得 ，根据面积公式，可求得观赏区的面积为 ，- 14 -要使得观赏区的年收入不低于 5 万元，则要求 ，解不等式即可求出结果.（2）由题意可得种植区的面积为 ，正方形面积为 ，设年总收入为 万元，则，利用导数在函数单调性中的应用，即可求出结果.【详解】 （1） ， ， ，所以 与 全等.所以 ，观赏
17、区的面积为，要使得观赏区的年收入不低于 5 万元，则要求 ，即 ，结合 可知 ，则 的最大值为 .（2）种植区的面积为 ，正方形面积为 ，设年总收入为 万元，则，其中 ，求导可得 .当 时， ， 递增；当 时， ， 递增.所以当 时， 取得最大值，此时年总收入最大.【点睛】题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想，以及导数在求最值的应用.19.设函数 ， （1）当 时，求函数 的在点 处的切线方程；（2）讨论函数 的单调性，并写出单调区间；（3）当 时，若函数 有唯一零点，求实数 的值【答案】 （1） （2）见解析（3）1【解析】【分析】- 15 -先
18、对 进行求导，可得 ，（1）当 时，利用导数的几何意义和点斜式方程，即可求出结果；（2）对 a 进行分类讨论，利用导数函数单调性中的应用，即可求出结果；（3）令极大值横坐标值为： ，可得 ，根据题意分析可得有唯一零点 ，再根据导数在函数单调性中的应用，即可证明出结果.【详解】解： 时， ， ，所以切线为：分类讨论， ，在定义域上单调递增， ； ， ； ； ， 令极大值横坐标值为： ，那么， ， ，故函数两端都无穷小有唯一零点这里要证明唯一解：令 ， 得证- 16 -综上所述：【点睛】本题主要考查了导数在函数单调性中的应用，利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论讨论点大体可以分成以下几类：1、
19、根据判别式讨论；2、根据二次函数的根的大小；3、定义域由限制时，根据定义域的隐含条件；4、求导形式复杂时取部分特别常常只需要转化为一个二次函数来讨论；5、多次求导求解等20.已知数列 各项均为正数， , ，且 对任意 恒成立（1）若 ，求 的值；（2）若 ， （i）求证：数列 是等差数列；（ii）在数列 中，对任意 ，总存在 ， （其中 ） ，使 构成等比数列，求出符合条件的一组 【答案】 （1）7（2）见解析【解析】【分析】（1）令数列 为 ，可得 ， ，进而求出结果；（2） ，假设一奇数 使得：，可得 ，进而可构造一组解为， ， .【详解】 （1）令数列 为， ，所以（2） ，假设一奇数
20、使得： ，综合得：可构造一组解为 ， ， .【点睛】本题考查了递推关系、数列的通项公式、等比数列的通项公式、分类讨论方法，考- 17 -查了推理能力与计算能力，属于难题数学 II（附加题）21.如图，O 的半径 OB 垂直于直径 AC，D 为 AO 上一点，BD 的延长线交O 于点 E，过 E 点的圆的切线交 CA 的延长线于点 P.求证：PD 2PAPC【答案】见解析【解析】【分析】利用切线的性质、圆的性质、切割线定理即可得出【详解】连结 OE，因为 PE 切 O 于点 E，所以 OEP=900，所以 OEB+ BEP=900，因为 OB=OE，所以 OBE= OEB，因为 OB AC 于点
21、 O，所以 OBE+ BDO=900故 BEP= BDO= PDE，所以 PD=PE，又因为 PE 切 O 于点 E，所以 PE2=PAPC，故 PD2=PAPC【点睛】熟练掌握切线的性质、圆的性质、切割线定理是解题的关键22.已知矩阵 M ，且属于特征值 2 的一个特征向量为 ，在平面直角坐标系 xoy中，眯 A（0,0） ，B（1,0） ，C（2,3）在矩阵 M 对应的变换作用下得到的点分别为 ，求 的面积.【答案】6【解析】【分析】因 ，所以 ，所以 ， ， ， ，即 根据 ，即可求出结果.- 18 -【详解】因 ，所以 ，所以 ， ， ，即 故 【点睛】主要是考查矩阵的变换以及对应的三
22、角形的面积计算，考查了基本的运算能力，属于基础题。23.在极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 +10.以极点 O 为坐标原点，极轴正方向为 x 轴正方向建立平面直角坐标系 xoy，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数，r0） ，若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且 AB ，求 r 的值.【答案】1【解析】【分析】运用同角的平方关系和 ，参数方程和极坐标方程为普通方程，再由直线和圆相交的弦长公式，计算即可得到 r【详解】由 ，得 ，即直线 l 的方程为 由 ，得曲线 的普通方程为 ，故曲线 C 是圆心坐标为 ，半径为 的圆 ， 所以，圆心到直线 的距离 ，由 ，则 【点睛】本题考查参数
23、方程、极坐标方程和普通方程的互化，主要考查直线和圆相交的弦长公式的运用，熟练掌握公式是解题关键24.对于实数 x，y，若满足x11，y21，求x2y+1的最大值【答案】5【解析】【分析】先将 配凑成 的和（差）的形式，再利用绝对值不等式，求出 的最大值，即可求出结果.【详解】由 - 19 -， 当且仅当 时，取“ ”.可知， 的最大值为 5.【点睛】形如使 恒成立型不等式.具体解法：利用和差关系式：，结合极端性原理即可解得，即： ；.25.在某次投篮测试中，有两种投篮方案：方案甲：先在 A 点投篮一次，以后都在 B 点投篮；方案乙：始终在 B 点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在 A 点命中
24、的概率为 ，命中一次记3 分，没有命中得 0 分；在 B 点命中的概率为 ，命中一次记 2 分，没有命中得 0 分，用随机变量 表示该选手一次投篮测试的累计得分，如果 的值不低于 3 分，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但一次测试最多投篮 3 次.（1）若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分 的分布列和数学期望.（2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由.【答案】 （1）数学期望为 3.05，分布列见解析（2）选择方案甲【解析】【分析】（1）在 A 点投篮命中记作 ,不中记作 ；在 B 点投篮命中记作 ,不中记作 ，其中， 的所有可能取值为 ，即可求出， ， ， ，
25、进而求出 的数学期望 （2）分别求出选手选择方案甲通过测试的概率为 ，和选手选择方案乙通过测试的概率为 ，比较大小，即可求出结果【详解】 （1）在 A 点投篮命中记作 ,不中记作 ；在 B 点投篮命中记作 ,不中记作 ，其中 ， 的所有可能取值为 ，则， - 20 -， ， 的分布列为： ， ， ， 所以 ， 所以， 的数学期望为 （2）选手选择方案甲通过测试的概率为 ，选手选择方案乙通过测试的概率为， 因为 ，所以该选手应选择方案甲通过测试的概率更大【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化26.（1）证明：
26、为偶数（ nN *） ；（2）证明：大于 的最小整数能被 整除（ nN *）.【答案】 （1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由二项式定理可得， ， 可得 为偶数（ n N*） （2）注意到 ，则大于 的最小正整数必为，记为 2k N，又因为，又由（ 1）同理可得 必为偶数，记为 ，所以， ，即 能被 整除，从而命题得证- 21 -【详解】 （1）因为 ， 所以 为偶数（ n N*） （2）注意到 ，则大于 的最小正整数必为，记为 2k N，又因为而由（1）同理可得 必为偶数，记为 ，所以， ，即 能被 整除，从而命题得证【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,同时考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力.
