1、- 1 -江苏省海安高级中学 2018-2019 学年高二数学上学期 10 月月考试卷（含解析）一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 ）1.函数 的值域是_【答案】【解析】【分析】根据函数 y=lnx 的单调性，判定 y=1-lnx 在 xe 时的单调递减，从而求出函数 y 的值域【详解】对数函数 y=lnx 在定义域上是增函数，y=1-lnx 在e，+）上是减函数，且 xe 时，lnx1，1-lnx 0 函数 y 的值域是（- ，0故答案为：（- ，0【点睛】本题考查了求函数的值域问题，解题时应根据基本初等函数的单调性，判定所求函数的单调性，从而求出值域2.若直线
2、 的倾斜角为钝角，则实数 的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：因为直线 的倾斜角为钝角，所以考点：直线斜率3.若变量 满足条件 ，则 的最大值为_【答案】【解析】【分析】先画出约束条件 的可行域，利用目标函数 z=x+y 几何意义，通过平移即可求z=x+y 的最大值【详解】作出不等式对应的平面区域如图，由 z=x+y，得 y=-x+z，平移直线 y=-x+z，由图象可知当直线 y=-x+z，经过点 A 时，直线 y=-x+z 的截距最大，此时 z 最大- 2 -由 得 A（1，3） Z=x+y 最大值是 1+3=4故答案为：4【点睛】平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时
3、，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出4.在直角坐标系 中，已知点 为椭圆 上的一点，且点 与椭圆 的两个焦点 、的距离之和为 6，则椭圆 的标准方程为_【答案】【解析】【分析】P 到椭圆 C 的两个焦点的距离之和为 6，根据椭圆定义得出 2a，2c，由此能求出椭圆 C 的方程【详解】P 到椭圆 C 的两个焦点的距离之和为 6，根据椭圆定义得出 2a=6， a=3c=1， b= 椭圆方程： 故答案为：【点睛】本题考查根据椭圆的定义求椭圆方程的方法，属于基础题.5.设数列 是公差不为 0 的等差数列，S 为数列 前 n
4、 项和，若 ， ，则- 3 -的值为_【答案】9【解析】【分析】设出等差数列的公差，由题意列关于首项和公差的二元一次方程组，求出首项和公差，则 a7的值可求【详解】设等差数列a n的公差为 d（d0） ，得 整理可得 ，得 所以 a7=a1+6d=-3+62=9故答案为：9【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前 n 项和公式，考查了学生的计算能力，是基础题6.已知正数 满足 ，则 的最小值为 【答案】9【解析】试题分析： ， 的最小值是 9考点：基本不等式求最值【易错点晴】本题主要考查基本不等式的应用，属中档题利用基本不等式求最值时一定要牢牢把握住“一正、二定、三相等”这一基本原则，才能减少
5、出错本题最易用以下错误方法解答： （出错原因是 同时成立时原式没有意义） 7.在OAC 中， B 为 AC 的中点，若 ，则 x- y =_- 4 -【答案】【解析】【分析】利用三角形的中线对应的向量等于两邻边对应向量和的一半，将等式变形表示出 ，与已知等式结合，利用平面向量的基本定理，列出方程，求出 x，y，求出 xy【详解】B 为 AC 的中点，OB 为三角形的中线x=1，y=2 故 xy=3故答案为：3【点睛】本题考查三角形中中线对应的向量等于两邻边对应向量和的一半和平面向量基本定理的应用8.已知光线通过点 ，被直线 ： 反射，反射光线通过点 ， 则反射光线所在直线的方程是 【答案】【解
6、析】试题分析：先求出点 关于直线 的对称点坐标,然后再利用两点式直线方程求出反射光线所在直线的方程.试题解析：光线通过点 M（3，4） ，直线 l：xy+3=0 的对称点（x，y） ， 即 ，K（1，0） ，N（2，6） ，- 5 -MK 的斜率为 6，反射光线所在直线的方程是 y=6x6.点睛：光的反射问题与角平分线问题都可以转化为轴对称问题.9.函数 的定义域为 .【答案】【解析】试题分析：由题意得 ，即定义域为考点：函数定义域，解简单分式不等式10.过点 C(3,4)且与 轴， 轴都相切的两个圆的半径分别为 ，则 =_【答案】25【解析】【分析】满足与 x 轴，y 轴都相切的圆的圆心在第
7、一象限，设出圆心（a，a） ，根据切线的性质得到半径 r=a，表示出圆的标准方程，由 C 在此圆上，将 C 的坐标代入圆的方程中，得到关于 a 的一元二次方程，根据 r1，r 2为此一元二次方程的两个解，利用根与系数的关系即可得出 r1r2的值【详解】由题意得：满足与 x 轴，y 轴都相切的圆的圆心在第一象限，设圆心坐标为（a，a） ，则半径 r=a，圆的方程为（xa） 2+（ya） 2=a2，又 C（3，4）在此圆上，将 C 的坐标代入得：（3a） 2+（4a） 2=a2，整理得：a 214a+25=0，r 1，r 2分别为 a214a+25=0 的两个解，r 1r2=25故答案为：25【点
8、睛】此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：切线的性质，以及韦达定理，根据题意满足与 x 轴，y 轴都相切的圆的圆心在第一象限，进而设出相应圆的标准方程是解本题的关键11.在平面直角坐标系 中，点 ，若在圆 上存在点 P 使得，则实数 的取值范围是_【答案】- 6 -【解析】【分析】根据 求出 p 的轨迹方程，令 P 的轨迹圆与圆 C 有公共点列不等式组解出 a【详解】设 P（x，y） ，则|PA|= ，|PB|= ， ，(x-1) 2+y2= （x-4） 2+y 整理得：x 2+y2=4，P 的轨迹是以 O（0，0）为圆心，以 2 为半径的圆 O，又P 在圆 C 上，圆 C 与圆 O 有公共点
9、，1|CO|5，即 1 5，解得 a 故答案为:【点睛】本题利用线段之间等式关系化简为圆的轨迹方程，再利用圆与圆的位置关系求参数的范围，属于中档题12.已知变量 ，则 的最小值为 .【答案】9【解析】表示点 两点间距离的平方；点 P 轨迹是直线。点 Q 轨迹是圆 ；圆心到直线的距离是 ；所以直线和圆的最近距离是 5-2=3。故 的最小值 是13.已知圆 ： ， 为坐标原点，若正方形 的一边 为圆 的一条弦，则线段长度的最大值是 .【答案】【解析】试题分析：设 则- 7 -，当且仅当 取等号，因此 长度的最大值是考点：直线与圆位置关系14.若 的三边长 满足 ，则 的取值范围为_【答案】【解析】
10、【分析】设出 x= ，y= ，根据 b+2c3a，c+2a3b 变形得到两个不等式，分别记作和，然后根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边分别列出不等式，变形得到三个不等式，分别记作，画出图形，如图所示，得到由四点组成的四边形区域，根据简单的线性规划，得到 x 的范围，即得到 的取值范围【详解】令 x= ，y= ，由 b+2c3a，c+2a3b 得：x+2y3，3xy2，又cabc 及 a+bc 得：xy1，xy1，x+y1，由可作出图形，得到以点 D（ ， ） ，C（1，0） ，B（ ， ） ，A（1，1）为顶点的四边形区域，由线性规划可得： x ，0y1，则 =x 的取值范围为
11、（ ， ） - 8 - = = =-1+ =-1+ 在（ ， ）上递减.x= 时，原式= ，x= 时，原式= 原式 故答案为：【点睛】此题考查三角形三边之间的关系，利用简单的线性规划画出图形，求出 的范围，同时也考查了转化思想，原式化简为函数再利用单调性求值域问题.二本大题共 6 小题，共计 90，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15.如图，在正三棱柱 中，侧棱与底面垂直， ，点分别为 和 的中点.（1）求证：平面 平面 ；（2）求证： 平面 【答案】 （1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）分别在 ， ， 中求出 的长度，可得为等边三角形，
12、 ，易证明 ，由线面垂直的判定定理可得 平面 ，再根据面面垂直的判定定理得证；（2）容易证明 是三角形 的中位线,所以，根据线面平行的判定定理即可证得 平面 .试题解析：（1） 中， ，在 中，- 9 -在 中， ， ，即 为等边三角形又点 为 的中点， ，又 四边形 为正方形， 为 的中点， 平面 ， 平面 ， 平面 .平面 平面 平面 .（2）连接 ，由题意知，点 分别为 和 的中点，又 平面 平面平面 .考点：空间中直线与平面平行与垂直关系的证明.16.已知数列 的首项 .（）求证：数列 为等比数列；（）记 ，若 ，求 的最大值.【答案】 （）见解析; （）【解析】（）根据题目所给条件，
13、结合所证数列通项表达式，将条件 进行变化整理成等比数列定义表达式，再验证首项，问题即可得证；（）由（）可根据等比数列前 项和公式求出 ，再由数列极限求出 的最大值.试题解析：（） ，又 ，- 10 -数列 是首项为 公比为 的等比数列. （）由（）可求得 .若 ，则 .17.一般地，对于直线 及直线 外一点 ，我们有点 到直线 的距离公式为： ”（1）证明上述点 到直线 的距离公式 （2）设直线 ，试用上述公式求坐标原点 到直线 距离的最大值及取最大值时 的值.【答案】 （1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）设 A0，B0，这时 l 与 x 轴、y 轴都相交，过点 P 作 x 轴的平行线，
14、交 l 于点R（x 1，y 0） ；作 y 轴的平行线，交 l 于点 S（x 0，y 2） ，分别求出 . 、 由三角形面积公式可知：d = 即可得出（2）利用（1）中点到直线的距离公式，将题意转化为函数的单调性求最值.【详解】解：(1)证明：设 A0，B0，这时 l 与 x 轴、y 轴都相交，过点 P 作 x 轴的平行线，交 l 于点 R（x 1，y 0） ；作 y 轴的平行线，交 l 于点 S（x 0，y 2） ， 由 得 =|x0x 1|= ，- 11 -=|y0y 2|= ， = |Ax0+By0+C|由三角形面积公式可知：d = 可证明，当 A=0 时仍适用(2)由直线 ，由（1）中
15、点到直线距离公式可得原点到直线 距离为：，令 ，则 ，所以 ，当 时，当 时，若 ，则 若 ，综上可知： ，且当 ，即 时，可取最大值。【点睛】本题考查了利用三角形面积公式得出点到直线的距离公式的证明方法，和利用点到直线的距离公式转化为函数的单调性求最值的问题.18.如图所示，某街道居委会拟在 EF 地段的居民楼正南方向的空白地段 AE 上建一个活动中心，其中 AE 长为 30 米活动中心东西走向，与居民楼平行从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形 ABCD，上部分是以 DC 为直径的半圆为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长 GE 不超过 2
16、.5 米，其中该太阳光线与水平线的夹角 满足 tan .- 12 -（1）若设计 AB18 米， AD6 米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计 AB 与 AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？ (注：计算中 取 3)【答案】 （1）能 （2）当 AB20 米且 AD5 米时，可使得活动中心的截面面积最大【解析】【分析】（1）以点 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系设太阳光线所在直线方程为 y= x+b，利用直线与圆相切，求出直线方程，令 x=30，得 EG=1.5 米2.5 米，即可得出结论；（2）欲使活动中心内部空间尽可能大，
17、则影长 EG 恰为 2.5 米，即可求出截面面积最大.【详解】解：如图，以 A 为坐标原点， AB 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系（1）因为 AB18 米， AD6 米，所以半圆的圆心为 H(9,6)，半径 r9.设太阳光线所在直线方程为 y x b，即 3x4 y4 b0，则由 9，解得 b24 或 b (舍)故太阳光线所在直线方程为 y x24, 令 x30，得 EG1.52.5.所以此时能保证上述采光要求（2）设 AD h 米， AB2 r 米，- 13 -则半圆的圆心为 H(r， h)，半径为 r.方法一 设太阳光线所在直线方程为 y x b， 即 3x4 y4 b0，由 r，
18、解得 b h2 r 或 b h (舍)故太阳光线所在直线方程为 y x h2 r，令 x30，得 EG2 r h ，由 EG ，得 h252 r.所以 S2 rh r22 rh r22 r(252 r) r2 r250 r (r10) 2250250.当且仅当 r10 时取等号所以当 AB20 米且 AD5 米时，可使得活动中心的截面面积最大方法二 欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长 EG 恰为 2.5 米，则此时点 G 为(30,2.5)，设过点 G 的上述太阳光线为 l1，则 l1所在直线方程为 y (x30)， 即 3x4 y1000.由直线 l1与半圆 H 相切，得 r .而点 H(
19、r， h)在直线 l1的下方，则 3r4 h1000，即 r ，从而 h252 r.又 S2 rh r22 r(252 r) r2 r250 r (r10) 2250250.当且仅当r10 时取等号所以当 AB20 米且 AD5 米时，可使得活动中心的截面面积最大【点睛】本题考查利用数学知识直线与圆的相切位置关系解决实际问题，考查二次函数配方- 14 -法的运用和分析解决实际问题的能力，属于中档题19.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x y10 截以原点 O 为圆心的圆 O 所得的弦长为 .（1）求圆 O 的方程，（2）若直线 l 与圆 O 相切于第一象限，且与坐标轴交于点 D， E，当
20、DE 长最小时，求直线 l的方程，（3）设 M， P 是圆 O 上任意两点，点 M 关于 x 轴的对称点为 N，若直线 MP， NP 分别交 x 轴于点( m,0)和( n,0)，问 mn 是否为定值？若是，求出该定值.若不是，请说明理由【答案】 （1） x2 y22.（2） x y20.（3）见解析【解析】【分析】（1）求出 O 点到直线 xy+1=0 的距离，进而可求圆 O 的半径，即可得到圆 O 的方程；（2）设直线 l 的方程，利用直线 l 与圆 O 相切，及基本不等式，可求 DE 长最小时，直线 l的方程；（3）设 M（x 1，y 1） ，P（x 2，y 2） ，则 N（x 1，y
21、1） ， ， ，求出直线 MP、NP 分别与 x 轴的交点，进而可求 mn 的值【详解】 （1）因为 O 到直线 x y10 的距离为 ， 所以圆 O 的半径 r ，故圆 O 的方程为 x2 y22.（2）设直线 l 的方程为 1( a0， b0)，即 bx ay ab0， 由直线 l 与圆 O 相切，得 ，即 ，所以 DE2 a2 b22( a2 b2)（ ） 2 28(当且仅当 a b2 时等号成立)，此时直线 l 的方程为 x y20.（3）设 M(x1， y1)， P(x2， y2)，则 N(x1， y1)， x y 2， x y 2，- 15 -直线 MP 与 x 轴的交点为 ，即
22、m .直线 NP 与 x 轴的交点为 ，即 n .所以 mn 2，故 mn2 为定值【点睛】此题考查了求圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系，涉及的知识有：韦达定理，垂径定理，勾股定理，直线的截距式方程，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及法则是解本题的关键20.已知函数 ， ，其中 .（1）当 时，求函数 的值域 （2）当 时，设 ，若给定 ，对于两个大于 1 的正数，存在 满足： ，使 恒成立，求实数 的取值范围.（3）当 时，设 ，若 的最小值为 ，求实数 的值.【答案】 （1） ;(2) ;(3) .【解析】【分析】（1）当 a=0 时，g（x）=（2 x2） 24，即可求函数 g（x
23、）的值域；（2）按 m 分类讨论，利用不等式得出 的范围，再利用 f（x）的单调性得出大小关系. （3）分类讨论，利用二次函数的配方法，结合 h（x）的最小值为 ，求实数 a 的值【详解】解：（1）当 时， ，因为 ，所以 ， 所以 的值域为（2）由 可得 在区间 上单调递增 - 16 -当 时，有 ，得 ，同理 ， 由 f（x）的单调性知： 、从而有 ，符合题设. 当 时， ，由 f（x）的单调性知 ， ，与题设不符 当 时，同理可得 ，得 ，与题设不符. 综合、得（3）因为 当 时， ，令 ， ，则 ，当 时，即 ， 当 时， ，即 ，因为 ，所以 ， .若 ， ，此时 ，若 ，即 ，此时 ，所以实数 .【点睛】本题考查转化为二次函数的值域，考查按 m 的取值范围进行分类讨论和不等式比较- 17 -大小的数学思想，再利用函数的单调性求含参数的最值问题，属于中档题
