1、- 1 -上石桥高中高二 12月份数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1 （5 分）命题“ x0，使 2x3 x”的否定是（ ）A x0，使 2x3 x B x0，使 2x3 xC x0，使 2x3 x D x0，使 2x3 x2 （5 分）双曲线 1 的渐近线方程为（ ）A y B y x C y x D y x3 （5 分）在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F分别为棱 AB， BB1的中点，则直线 BC1与 EF所成角的余弦值是（ ）A B C D4 （5 分）已知直线 l1： ax+
2、（ a+2） y+10， l2： x+ay+20，则“ l1 l2”是“ a1”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5 （5 分）已知 a、 b、 c为三条不重合的直线，下面有三个结论：若 a b， a c则b c；若 a b， a c则 b c；若 a b， b c则 a c其中正确的个数为（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个6 （5 分）设点 P为椭圆 上一点， F1， F2分别为 C的左、右焦点，且 F1PF260，则 PF1F2的面积为（ ）A B C D7 （5 分）已知点 F为抛物线 y 28 x的焦点， O为原点，点 P是抛物线准线
3、上一动点，点A在抛物线上，且| AF|4，则| PA|+|PO|的最小值为（ ）A6 B C D4+28 （5 分）已知圆 O为 Rt ABC的外接圆， AB AC， BC4，过圆心 O的直线 l交圆 O于P， Q两点，则 的取值范围是（ ）- 2 -A8，1 B8，0 C16，1 D16，09 （5 分）过双曲线 1（ a0， b0）的右焦点 F作直线 y x的垂线，垂足为 A，交双曲线左支于 B 点，若 2 ，则该双曲线的离心率为（ ）A B2 C D10 （5 分）在四面体 S ABC中， ，二面角 S AC B的余弦值为 ，则该四面体外接球的表面积是（ ）A B C24 D611 （5
4、 分）在等腰梯形 ABCD中， AB CD，且| AB|2，| AD|1，| CD|2 x其中 x（0，1） ，以 A， B为焦点且过点 D的双曲线的离心率为 e1，以 C， D为焦点且过点 A的椭圆的离心率为 e2，若对任意 x（0，1）不等式 t e1+e2恒成立，则 t的最大值为（ ）A B C2 D12 （5 分）已知底面为边长为 2的正方形，侧棱长为 1的直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， P是面 A1B1C1D1上的动点给出以下四个结论中，正确的个数是（ ）与点 D距离为 的点 P形成一条曲线，则该曲线的长度是 ；若 DP面 ACB1，则 DP与面 ACC1A1所成角的正切值
5、取值范围是 ；若 ，则 DP在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为 A0 B1 C2 D3二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分.13 （5 分）直线 的倾斜角为 14 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为 - 3 -15 （5 分）已知直线 l： x+y60 和圆 M： x2+y22 x2 y20，点 A在直线 l上，若直线 AC与圆 M至少有一个公共点 C，且 MAC30，则点 A的横坐标的取值范围为 16 （5 分）已知 m， n， s， tR +， m+n2， ，其中 m、 n是常数，当 s+t取最小值时， m、
6、 n对应的点（ m， n）是双曲线 一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17 （10 分）已知 p：“直线 x+y m0 与圆（ x1） 2+y21 相交” ； q：“方程mx22 x+10 有实数解” 若“ p q”为真， “ q”为假，则实数 m的取值范围18 （12 分）已知线段 AB的端点 B在圆 C1： x2+（ y4） 216 上运动，端点 A的坐标为（4，0） ，线段 AB中点为 M，（）试求 M点的轨 C2方程；（）若圆 C1与曲线 C2交于 C， D两点，试求线段 CD的长19 （12 分）
7、如图 1所示，在 Rt ABC中， AC6， BC3， ABC90， CD为 ACB的平分线，点 E在线段 AC上， CE4如图 2所示，将 BCD沿 CD折起，使得平面 BCD平面ACD，连接 AB，设点 F是 AB的中点（1）求证： DE平面 BCD；（2）若 EF平面 BDG，其中 G为直线 AC与平面 BDG的交点，求三棱锥 B DEG的体积20 （12 分）已知点 F为抛物线 C： y24 x的焦点，点 P是准线 l上的动点，直线 PF交抛物线 C于 A， B两点，若点 P的纵坐标为 m（ m0） ，点 D为准线 l与 x轴的交点（）求直线 PF的方程；（）求 DAB的面积 S范围；
8、（）设 ， ，证 + 为定值- 4 -21 （12 分）如图，已知矩形 ABCD所在平面垂直于直角梯形 ABPE所在平面，平面 ABCD平面 ABPE AB，且 AB BP2， AD AE1， AE AB，且 AE BP（）设点 M为棱 PD中点，求证： EM平面 ABCD；（）线段 PD上是否存在一点 N，使得直线 BN与平面 PCD所成角的正弦值等于 ？若存在，试确定点 N的位置；若不存在，请说明理由22 （12 分）在平面直角坐标系 xOy内，动点 P到定点 F（1，0）的距离与 P到定直线x4 的距离之比为 （1）求动点 P的轨迹 C的方程；（2）设点 A、 B是轨迹 C上两个动点，直
9、线 OA、 OB与轨迹 C的另一交点分别为 A1、 B1，且直线 OA、 OB的斜率之积等于 ，问四边形 ABA1B1的面积 S是否为定值？请说明理由- 5 -上石桥高中高二 12月份参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1 （5 分）命题“ x0，使 2x3 x”的否定是（ ）A x0，使 2x3 x B x0，使 2x3 xC x0，使 2x3 x D x0，使 2x3 x【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即 x0，使 2x3 x，故
10、选： A【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键比较基础2 （5 分）双曲线 1 的渐近线方程为（ ）A y B y x C y x D y x【分析】由题意， a4， b3，即可求出双曲线的渐近线方程【解答】解：由题意， a4， b3，渐近线方程为 y x，故选： C【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础3 （5 分）在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F分别为棱 AB， BB1的中点，则直线 BC1与 EF所成角的余弦值是（ ）A B C D【分析】以 D为原点， DA为 x轴， DC为 y轴， DD1为
11、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 BC1与 EF所成角的余弦值【解答】解：以 D为原点， DA为 x轴， DC为 y轴， DD1为 z轴，建立空间直角坐标系，设正方体 ABCD A1B1C1D1中棱长为 2，则 E（2，1，0） ， F（2，2，1） ， B（2，2，0） ， C1（0，2，2） ，- 6 -（2，0，2） ， （0，1，1） ，设直线 BC1与 EF所成角为 ，则 cos|cos ， | 直线 BC1与 EF所成角的余弦值是 故选： B【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用4 （5 分）已知直线 l1： ax+（
12、a+2） y+10， l2： x+ay+20，则“ l1 l2”是“ a1”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据直线的平行关系求出 a的值，结合充分必要条件的定义判断即可【解答】解：直线 l1： ax+（ a+2） y+10， l2： x+ay+20，且 l1 l2， a2 a20，解得： a2 或 a1，故 a2 或 a1 是 a1 的必要不充分条件，故选： B【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线的平行关系，是一道基础题5 （5 分）已知 a、 b、 c为三条不重合的直线，下面有三个结论：若 a b， a c则b c；若 a b， a
13、c则 b c；若 a b， b c则 a c其中正确的个数为（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【分析】两条直线都与第三条直线垂直，只两条直线之间的位置关系不能确定，若a b， b c则 a c，这里符合两条直线的关系，是我们求两条直线的夹角的方法- 7 -【解答】解：两条直线都与第三条直线垂直，只两条直线之间的位置关系不能确定，故不正确，若 a b， b c则 a c，这里符合两条直线的关系，是我们求两条直线的夹角的方法，故正确，综上可知有一个正确的说法，故选： B【点评】本题考查平面的基本性质及推论，本题主要考查三条直线的位置关系，是立体几何中的一个基础题6 （5 分）设点 P为椭
14、圆 上一点， F1， F2分别为 C的左、右焦点，且 F1PF260，则 PF1F2的面积为（ ）A B C D【分析】依题意，在 F1PF2中， F1PF260，| F1P|+|PF2|2 a，求出| F1F2|2，利用余弦定理可求得| F1P|PF2|的值，从而可求得 PF1F2的面积【解答】解：椭圆 ， b2， c 又 P为椭圆上一点， F1PF260， F1、 F2为左右焦点，| F1P|+|PF2|2 a，| F1F2|2 ，| F1F2|2（| PF1|+|PF2|） 22| F1P|PF2|2| F1P|PF2|cos604 a23| F1P|PF2|4 a216，| F1P|P
15、F2| |F1P|PF2|sin60 故选： C【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查余弦定理的应用与三角形的面积公式，属于中档题- 8 -7 （5 分）已知点 F为抛物线 y 28 x的焦点， O为原点，点 P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且| AF|4，则| PA|+|PO|的最小值为（ ）A6 B C D4+2【分析】利用抛物线的定义由| AF|4 得到 A到准线的距离为 4，即可求出点 A的坐标，根据：“| PA|+|PO|”相当于在准线上找一点，使得它到两个定点的距离之和最小，最后利用平面几何的方法即可求出距离之和的最小值【解答】解：| AF|4，由抛物线的定义得， A到准线的
16、距离为 4，即 A点的横坐标为2，又点 A在抛物线上，从而点 A的坐标 A（2，4） ；坐标原点关于准线的对称点的坐标为 B（4，0）则| PA|+|PO|的最小值为：|AB| 故选： C【点评】此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决最小值问题，灵活运用点到点的距离、对称性化简求值，是一道中档题8 （5 分）已知圆 O为 Rt ABC的外接圆， AB AC， BC4，过圆心 O的直线 l交圆 O于P， Q两点，则 的取值范围是（ ）A8，1 B8，0 C16，1 D16，0【分析】以 O为坐标原点， BC所在的直线为 x轴， BC的中垂线为 y轴建立直角坐标系，则 ABC外接圆的圆心是 BC
17、 的中点，半径 r BC，写出圆 O的方程以及 、 的坐标表示，求出 的取值范围即可【解答】解：【解法一】以 O为坐标原点， BC所在的直线为 x轴， BC的中垂线为 y轴，建立直角坐标系，如图所示；在 Rt ABC中， AB AC， BC4，所以 ABC的外接圆圆心是 BC的中点，半径为 r BC2，所以 A（0，2） ， B（2，0） ， C（2，0） ，圆 O的方程为： x2+y24；当直线 PQ的斜率不存在时，有 P（0，2） ， Q（0，2） ，（2，2） ， （2，2） ，则 448；- 9 -当直线 PQ的斜率存在时，设直线 l为： y kx，代入圆的方程可得 P（ ， ） ，
18、Q（ ， ） ，则 （2 ， ） ， （ 2， ） ，所以 （2 ） （ 2）+（ ）8+ ，由 1+k21 可得 0 8，所以88+ 0；又题目中没有要求 P、 Q的具体位置，所以 P、 Q坐标互换时，比如，当 k0 时，若 P（2，0） ， Q（2，0） ，则向量 （4，0） ，向量 （4，0） ，所以 16【解法二】以 O为坐标原点， BC所在的直线为 x轴， BC的中垂线为 y轴，建立直角坐标系，如图所示在 Rt ABC中， AB AC， BC4，所以 ABC的外接圆圆心是 BC的中点，半径为 r BC2，所以 A（0，2） ， B（2，0） ， C（2，0） ，圆 O的方程为： x2
19、+y24；设 P（2sin，2cos） ， Q（2sin，2cos） ，把 转化为三角函数计算更简单故选： D- 10 -【点评】本题考查了平面向量的数量积与坐标运算问题，以及直线与圆的位置关系和不等式的性质问题，是综合题9 （5 分）过双曲线 1（ a0， b0）的右焦点 F作直线 y x的垂线，垂足为 A，交双曲线左支于 B 点，若 2 ，则该双曲线的离心率为（ ）A B2 C D【分析】根据题意直线 AB的方程为 y （ x c）代入双曲线渐近线方程，求出 A的坐标，进而求得 B的表达式，代入双曲线方程整理求得 a和 c的关系式，进而求得离心率【解答】解：设 F（ c，0） ，则直线 A
20、B的方程为 y （ x c）代入双曲线渐近线方程 yx得 A（ ， ） ，由 2 ，可得 B（ ， ） ，把 B点坐标代入双曲线方程 1，即 1，整理可得 c a，即离心率 e 故选： C【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质解题的关键是通过分析题设中的信息，找到双曲线方程中 a和 c的关系10 （5 分）在四面体 S ABC中， ，二面角 S AC B的余弦值为 ，则该四面体外接球的表面积是（ ）A B C24 D6- 11 -【分析】取 AC中点 D，连接 SD， BD，由题意可得 SDB为二面角 S AC B，取等边 SAC的中心 E，找出 O点为四面体的外接球球心【解答】解：取 AC中
21、点 D，连接 SD， BD，因为 AB BC ，所以 BD AC，因为 SA SC2，所以 SD AC， AC平面 SDB所以 SDB为二面角 S AC B在 ABC中， AB BC， AB BC ，所以 AC2取等边 SAC的中心 E，作 EO平面 SAC，过 D作 DO平面 ABC， O为外接球球心，所以 ED ，二面角 S AC B的余弦值是 ，所以 cos EDO ， OD ，所以 BO OA OS OC所以 O点为四面体的外接球球心，其半径为 ，表面积为 6故选： D【点评】解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，利用已知条件求出线段长度，进而确定圆心的位置即可求出圆的半径11 （
22、5 分）在等腰梯形 ABCD中， AB CD，且| AB|2，| AD|1，| CD|2 x其中 x（0，1） ，以 A， B为焦点且过点 D的双曲线的离心率为 e1，以 C， D为焦点且过点 A的椭圆的离心率为 e2，若对任意 x（0，1）不等式 t e1+e2恒成立，则 t的最大值为（ ）A B C2 D【分析】根据余弦定理表示出 BD，进而根据双曲线的定义可得到 a1的值，再由AB2 c1， e 可表示出 e1，同样的在椭圆中用 c2和 a2表示出 e2，然后利用换元法即可求出 e1+e2的取值范围，即得结论- 12 -【解答】解：在等腰梯形 ABCD中， BD2 AD2+AB22 AD
23、ABcos DAB1+4212（1 x）1+4 x，由双曲线的定义可得 a1 ， c11， e1 ，由椭圆的定义可得 a2 ， c2 x， e2 ，则 e1+e2 + + ，令 t （0， 1） ，则 e1+e2 （ t+ ）在（0， 1）上单调递减，所以 e1+e2 （ 1+ ） ，故选： B【点评】本题主要考查椭圆的定义和简单性质、双曲线的定义和简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题12 （5 分）已知底面为边长为 2的正方形，侧棱长为 1的直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， P是面 A1B1C1D1上的动点给出以下四个结论中，正确的个数是
24、（ ）与点 D距离为 的点 P形成一条曲线，则该曲线的长度是 ；若 DP面 ACB1，则 DP与面 ACC1A1所成角的正切值取值范围是 ；若 ，则 DP在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为 A0 B1 C2 D3【分析】与点 D距离为 的点 P形成以 D1为圆心，半径为 的 圆弧 MN，利用弧长公式，可得结论；当 P在 A1（或 C1）时， DP与面 ACC1A1所成角 DA1O（或 DC1O）的正切值为 最小，当P在 O1时， DP与面 ACC1A1所成角 DO1O的正切值为 最大，可得正切值取值范围是；设 P（ x， y，1） ，则 x2+y2+13，即 x2+y22，可得 DP
25、在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和- 13 -【解答】解：如图，错误，与点 D距离为 的点 P形成以 D1为圆心，半径为 的 圆弧MN，长度为 ；错误，因为面 A1DC1面 ACB1，所以点 P必须在面对角线 A1C1上运动，当 P在 A1（或 C1）时， DP与面 ACC1A1所成角 DA1O（或 DC1O）的正切值为 最小，当 P在 O1时， DP与面 ACC1A1所成角 DO1O的正切值为 最大，所以正切值取值范围是 ；正确，设 P（ x， y，1） ，则 x2+y2+13，即 x2+y22， DP在前后、左右、上下面上的正投影长分别为 ，所以六个面上的正
26、投影长度之和为，当且仅当 P在 O1时取等号故选： B【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，难度较大二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分.13 （5 分）直线 的倾斜角为 150 【分析】由方程易得直线的斜率，进而由正切函数和倾斜角的范围可得答案【解答】解：由题意化直线的方程为斜截式 y x ，可得直线的斜率为 ，设直线的倾斜角为 ，则 tan ，可得 150故答案为：150【点评】本题考查直线的倾斜角，找出直线的斜率是解决问题的关键，属基础题14 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它
27、的- 14 -体积为 16 【分析】根据三视图画出此几何体：镶嵌在正方体中的四棱锥，由正方体的位置关系判断底面是矩形，做出四棱锥的高后，利用线面垂直的判定定理进行证明，由等面积法求出四棱锥的高，利用锥体的体积公式求出答案【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥 O ABCD，正方体的棱长为 4， O、 A、 D分别为棱的中点， OD2 ， AB DC OC2 ，做 OE CD，垂足是 E， BC平面 ODC， BC OE、 BC CD，则四边形 ABCD是矩形， CD BC C， OE平面 ABCD， ODC的面积 S 6，6 ，得 OE ，此四棱锥 O ABCD的体积 V
28、 16，故答案为 16【点评】本题考查三视图求不规则几何体的体积，以及等面积法的应用，由三视图正确复原几何体、并放在对应的正方体中是解题的关键，考查空间想象能力和数形结合思想15 （5 分）已知直线 l： x+y60 和圆 M： x2+y22 x2 y20，点 A在直线 l上，若直- 15 -线 AC与圆 M至少有一个公共点 C，且 MAC30，则点 A的横坐标的取值范围为 1，5 【分析】设点 A的坐标为（ x0，6 x0） ，圆心 M到直线 AC的距离为 d，则 d| AM|sin30，由直线 AC与 M有交点，知 d| AM|sin302，由此能求出点 A的横坐标的取值范围【解答】解：如
29、图，设点 A的坐标为（ x0，6 x0） ，圆心 M到直线 AC的距离为 d，则 d| AM|sin30，直线 AC与 M有交点， d| AM|sin302，（ x01） 2+（5 x0） 216，1 x05，故答案为1，5【点评】本题考查直线和圆的方程的综合运用，是基础题解题时要认真审题，注意数形结合思想的灵活运用16 （5 分）已知 m， n， s， tR +， m+n2， ，其中 m、 n是常数，当 s+t取最小值时， m、 n对应的点（ m， n）是双曲线 一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为 x2 y+10 【分析】由题设中所给的条件 m+n2， ，其中 m、 n是常数，当 s+t取
30、最小值 时，求出点（ m， n）的坐标，由于此点是其所在弦的中点，故可以用点差法求出此弦所在直线的斜率，再由点斜式写出直线的方程，整理成一般式即可【解答】解：由已知得 ，由于 s+t的最小值是 ，因此 ，又- 16 -m+n2，所以 m n1设以点（ m， n）为中点的弦的两个端点的坐标分别是（ x1， y1） ，（ x2， y2） ，则有 又该两点在双曲线上，则有 ， ，两式相减得，把代入得 ，即所求直线的斜率是 ，所求直线的方程是 ，即 x2 y+10故答案为 x2 y+10【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，求解本题的关键有二，一是利用基本不等式与最值的关系求出参数的值，一是利用点差法
31、与中点的性质求出弦所在直线的斜率，点差法是知道中点的情况下常用的表示直线斜率的方法，其特征是有中点出现，做题时要善于运用三、解答题：本大题共 6小题，共 70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17 （10 分）已知 p：“直线 x+y m0 与圆（ x1） 2+y21 相交” ； q：“方程mx22 x+10 有实数解” 若“ p q”为真， “ q”为假，则实数 m的取值范围【分析】分别求出 p， q为真时的 m的范围，根据 p q”为真， “ q”为假，得到 q真即可求出 m的范围【解答】解：直线 x+y m0 与圆（ x1） 2+y21 相交，（1，0）到 x+y m0 的距
32、离小于 1，即 1，解得：1 1+ ，故 p： m（1 ，1+ ） ；m0 时，方程 mx22 x+10 有实数解，m0 时，若方程 mx22 x+10 有实数解，则44 m0，解得： m1，故 q： m（，1，若“ p q”为真， “ q”为假，则 p真 q真或 p假 q真，故 m（，1- 17 -【点评】本题考查了直线和圆的关系，考查方程根的问题以及复合命题的判断，是一道中档题18 （12 分）已知线段 AB的端点 B在圆 C1： x2+（ y4） 216 上运动，端点 A的坐标为（4，0） ，线段 AB中点为 M，（）试求 M点的轨 C2方程；（）若圆 C1与曲线 C2交于 C， D两点
33、，试求线段 CD的长【分析】 （）设出 M和 B的坐标，由中点坐标公式把 B的坐标用 m的坐标表示，代入圆 C1的方程得答案；（）求出圆 C1的圆心坐标和半径，求出圆心到直线 CD的距离利用勾股定理得答案【解答】解：（）设 M（ x， y） ， B（ x， y） ，则由题意可得： ，解得： ，点 B在圆 C1： x2+（ y4） 216 上，（ x） 2+（ y4） 216，（2 x4） 2+（2 y4） 216，即（ x2） 2+（ y2） 24轨迹 C2方程为（ x2） 2+（ y2） 24；（）由方程组 ，解得直线 CD的方程为 x y10，圆 C1 的圆心 C1（0，4）到直线 CD的
34、距离为 ，圆 C1 的半径为 4，线段 CD的长为 【点评】本题考查了代入法求圆的方程，考查了直线和圆的关系，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题19 （12 分）如图 1所示，在 Rt ABC中， AC6， BC3， ABC90， CD为 ACB的平分线，点 E在线段 AC上， CE4如图 2所示，将 BCD沿 CD折起，使得平面 BCD平面ACD，连接 AB，设点 F是 AB的中点（1）求证： DE平面 BCD；（2）若 EF平面 BDG，其中 G为直线 AC与平面 BDG的交点，求三棱锥 B DEG的体积- 18 -【分析】 （1）取 AC的中点 P，连接 DP，证明 DP AC， E
35、DC90， ED DC；利用平面与平面垂直的性质证明 DE平面 BCD；（2）说明 G为 EC的中点，求出 B到 DC的距离 h，说明到 DC的距离 h就是三棱锥 B DEG的高利用 ，即可求三棱锥 B DEG的体积【解答】解：（1）取 AC的中点 P，连接 DP，因为在 Rt ABC中，AC6， BC3， ABC90， CD为 ACB的平分线，所以 A30， ADC是等腰三角形，所以 DP AC， DP ， DCP30， PDC60，又点 E在线段 AC上， CE4所以 AE2， EP1，所以 EDP30， EDC90， ED DC；将 BCD沿 CD折起，使得平面 BCD平面 ACD，平面
36、 BDC平面 EDC DC DE平面 BCD；（2）若 EF平面 BDG，其中 G为直线 AC与平面 BDG的交点， G为 EC的中点，此时AE EG GC2，因为在 Rt ABC中， AC6， BC3， ABC90， CD为 ACB的平分线，所以 BD ， DC ，所以 B到 DC的距离 h ，因为平面 BCD平面 ACD，平面 BDC平面 EDC DC，- 19 -所以 B到 DC的距离 h就是三棱锥 B DEG的高三棱锥 B DEG的体积： V 或V 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，棱锥的体积的求法，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，计算能力20 （12 分）已知点 F为抛物
37、线 C： y24 x的焦点，点 P是准线 l上的动点，直线 PF交抛物线 C于 A， B两点，若点 P的纵坐标为 m（ m0） ，点 D为准线 l与 x轴的交点（）求直线 PF的方程；（）求 DAB的面积 S范围；（）设 ， ，证 + 为定值【分析】 （）由题知点 P， F的坐标分别为（1， m） ， （1，0） ，求出斜率用点斜式写出直线方程（）设 A， B两点的坐标分别为（ x1， y1） ， （ x2， y2） ，用弦长公式求出线段 AB的长，再由点到直线的距离公式求点 D到直线 AB的距离，用三角形面积公式表示出面积关于参数 m的表达式，再根据 m的取值范围求出面积的范围（） ， ，变
38、化为坐标表示式，从中求出参数 ， 用两点 A， B的坐标表示的表达式，即可证明出两者之和为定值【解答】解：（）由题知点 P， F的坐标分别为（1， m） ， （1，0） ，于是直线 PF的斜率为 ，- 20 -所以直线 PF的方程为 ，即为 mx+2y m0 （3 分）（）设 A， B两点的坐标分别为（ x1， y1） ， （ x2， y2） ，由 得 m2x2（2 m2+16） x+m20，所以 ， x1x21于是 点 D到直线 mx+2y m0 的距离 ，所以 因为 mR 且 m0，于是 S4，所以 DAB的面积 S范围是（4，+） （9 分）（）由（）及 ， ，得（1 x1， y1）（
39、x21， y2） ，（1 x1， m y1）（ x2+1， y2 m） ，于是 ， （ x21） 所以 所以 + 为定值 0 （14 分）【点评】考查求直线方程、抛物线的焦点弦弦长公式、点到直线的距离公式及向量中数乘向量的意义，涉及知识较多，综合性较强21 （12 分）如图，已知矩形 ABCD所在平面垂直于直角梯形 ABPE所在平面，平面 ABCD平面 ABPE AB，且 AB BP2， AD AE1， AE AB，且 AE BP（）设点 M为棱 PD中点，求证： EM平面 ABCD；- 21 -（）线段 PD上是否存在一点 N，使得直线 BN与平面 PCD所成角的正弦值等于 ？若存在，试确定
40、点 N的位置；若不存在，请说明理由【分析】 （ I）证明 BP平面 ABCD，以 B为原点建立坐标系，则 为平面 ABCD的法向量，求出 10+02+ 0，从而有 EM平面 ABCD；（ II）假设存在点 N符合条件，设 ，求出 ，平面 PCD的法向量 的坐标，令|cos ， | 解出 ，根据 的值得出结论【解答】 （）证明：平面 ABCD平面 ABEP，平面 ABCD平面 ABEP AB， BP AB BP平面 ABCD，又 AB BC，直线 BA， BP， BC两两垂直，以 B为原点，分别以 BA， BP， BC为 x轴， y轴， z轴建立如图所示的空间直角坐标系则 P（0，2，0） ，
41、B（0，0，0） ， D（2，0，1） ， E（2，1，0） ， C（0，0，1） ， M（1，1， ） ， （1，0， ） ， （0，2，0） BP平面 ABCD， 为平面 ABCD的一个法向量， 10+02+ 0， 又 EM平面 ABCD， EM平面 ABCD（）解：当点 N与点 D重合时，直线 BN与平面 PCD所成角的正弦值为 理由如下： （2，2，1） ， （2，0，0） ，设平面 PCD的法向量为 （ x， y， z） ，则 - 22 -令 y1，得 （0，1，2） 假设线段 PD上存在一点 N，使得直线 BN与平面 PCD所成角 的正弦值等于 设 （2，2，） （01） ， +
42、（2，22，） |cos ， | 9 2810，解得 1 或 （舍去） 当 N点与 D点重合时，直线 BN与平面 PCD所成角的正弦值等于 【点评】本题考查了线面平行的判断，空间向量的应用与线面角的计算，属于中档题22 （12 分）在平面直角坐标系 xOy内，动点 P到定点 F（1，0）的距离与 P到定直线x4 的距离之比为 （1）求动点 P的轨迹 C的方程；（2）设点 A、 B是轨迹 C上两个动点，直线 OA、 OB与轨迹 C的另一交点分别为 A1、 B1，且直线 OA、 OB的斜率之积等于 ，问四边形 ABA1B1的面积 S是否为定值？请说明理由【分析】 （1）设 P（ x， y） ，由点
43、到直线的距离公式和两点的距离公式，可得，化简即可得到所求轨迹方程；（2）设 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ，运用两点的距离公式和斜率公式，结合点 A、 B在椭圆 C上，可得 x12+x224，讨论当 x1 x2时，则四边形 ABA1B1为矩形；当 x1 x2时，通过三角形的面积公式和椭圆的对称性，即可得到所求面积为定值- 23 -【解答】解：（1）设 P（ x， y） ，由题意可得， ，化简得 3x2+4y212，所以，动点 P的轨迹 C的方程为 （2）设 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ，由 ，得 ，因为点 A、 B在椭圆 C上，所以 ， ，所以， ，化简得
44、 当 x1 x2时，则四边形 ABA1B1为矩形， y2 y1，则 ，由 ，得 ，解得 ， ， S| AB|A1B|4| x1|y1| ；当 x1 x2时，直线 AB的方向向量为 ，直线 AB的方程为（ y2 y1） x（ x2 x1） y+x2y1 x1y20，原点 O到直线 AB的距离为 ，所以 AOB的面积 ，根据椭圆的对称性，四边形 ABA1B1的面积 S4 S AOB2| x1y2 x2y1|，所以，- 24 - ，所以 所以，四边形 ABA1B1的面积为定值 【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用点到直线的距离公式，考查直线的斜率公式和两点的距离公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题
