1、- 1 -南阳市 20182019 学年秋期高一期中质量评估数学试题一.选择题：本大题共 60分，每小题 5分。1.已知：如图，集合 为全集，则图中阴影部分表示的集合是A. U B. U C. U D. U【答案】C【解析】因为 ，所以图中阴影部分表示的集合是 U ，选 C.2.已知集合 ， ，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解不等式求得集合 A，求定义域得出集合 B，再求 AB【详解】集合 A=x|x22x30=x|1x3，B=y|y=lgx=y|y ，则 AB=x|0x3=-1，3故选：A【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题与集合元素有关问题的思路：（1）确
2、定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集（2）看这些元素满足什么限制条件（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性3.已知函数 ，则 的定义域为（ ）- 2 -A. B. C. D. 【答案】D【解析】要使函数 有意义，则 ，解得 的定义域为 ，由，解得 ， 的定义域为 ，故选 D.【方法点晴】本题主要考查函数的定义域、不等式的解法，属于中档题. 定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数 的定义域为，则函
3、数 的定义域由不等式 求出.4.函数 的零点所在的区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由于函数 的是单调递增函数，且 根据零点存在定理可知，函数的零点所在的区间为 ，故选 B.5.已知 是定义在 上的偶函数，那么 的最大值是（ ）A. 0 B. C. D. 1【答案】C【解析】 f(x) ax2 bx是定义在 a1,2 a上的偶函数， a12 a0， a .又 f( x) f(x)， b0， ，所以 .故选 C.6.不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A- 3 -【解析】【分析】根据题意，分析可得方程（x+b）（a1）x+（1b）=0
4、的两根为（1）和 3，则有，解可得 a、b 的值，进而可得不等式 x2+bx2a0 即x23x100，解可得不等式的解集，即可得答案【详解】根据题意，不等式（x+b）（a1）x+（1b）0 的解集为（，1）（3，+） ，则方程（x+b）（a1）x+（1b）=0 的两根为（1）和 3，则有 ，解可得：a=5，b=3，则不等式 x2+bx2a0 即 x23x100，解可得：2x5，即不等式 x2+bx2a0 的解集为（2，5） ；故选：A【点睛】这个题目考查的是分式不等式的解法，一般分式不等式的解法步骤为：先将不等号的一边化为 0，再分式化整式，转化为二次，结合二次函数的图像得到解集.7.已知函数
5、 是定义在 上的增函数，则实数 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式组 ，求解即可【详解】由题意函数 是定义在 R上的增函数，可得： 解之得：0a1故选：A- 4 -【点睛】本题考查分段函数的应用，是基本知识的考查分段函数单调性，首先满足每一段上的单调性，其次满足整体的单调性.8.已知 ， ， ，则 的大小关系是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别根据指对函数的性质和运算性质得到各自的范围，进而得到结果.【详解】显然， ，又因为 ， ，故故答案为：D.【点睛】这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，
6、两个式子比较大小的常用方法有：做差和 0比，作商和 1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.9.已知： ，则A. ， 无最小值 B. ， 无最大值C. ， D. ，【答案】C【解析】【分析】求出函数的定义域，判断函数的单调性，然后求解最值即可【详解】 的定义域为：0，1，因为 f（x）在0，1上单调递增，所以 f（x） max=1，f（x） min=1故选：C【点睛】本题考查函数的最值的求法，函数的单调性的应用，注意函数的定义域10.设函数 若 ，则 的取值范围是A. B. C. D. - 5 -【答案】D【解析】试题分析：由已知得
7、或 ，解得 或 ，故选 D。考点：本题主要考查分段函数的概念，指数函数、幂函数的性质。点评：简单题，解不等式，需明确具体内容是什么，通过分段讨论，分别解指数不等式、无理不等式即得。也可以利用图象法。11.若 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据二次函数和对数函数的图象和性质，由已知中当 x（1，2）时，不等式（x1）2logax 恒成立，则 y=logax必为增函数，且当 x=2时的函数值不小于 1，由此构造关于 a的不等式，解不等式即可得到答案【详解】函数 y= 在区间（1，2）上单调递增，当 x（1，2）时，y= （0，1） ，若不等式
8、 恒成立，则 a1 且 1loga2即 a（1，2，故选：C【点睛】本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中根据二次函数和对数函数的图象和性质，结合已知条件构造关于 a的不等式，是解答本题的关键12.已知函数 ，则关于 的方程 的根的个数是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】- 6 -利用函数 可得到函数的图像，方程 f2（x）2f（x）=0 的根，f（x）=0或 f（x）=2，分别求得 f（x）=0 和 f（x）=2 时对应的 x值的个数即可.【详解】根据题干得到函数的图像：函数利用函数 ，及 f2（x）-2f（x）=0 解方程求出方程根的个数即可方程 f2（x）2f（
9、x）=0 的根，f（x）=0 或 f（x）=2，当 f（x）=0 时，解得：x=1，或 x=0，或 x=2，当 f（x）=2 时，|lg|x1|=2，可得 x=101或 x=99或 x=1.01或 x=0.99，故方程有 7个解，故选：C【点睛】本题考查函数的零点的求法，分段函数的应用，考查分析问题解决问题的能力函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以 e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题在解题过程中要
10、注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用二.填空题：本大题共 20分，每小题 5分。13.函数 的单调增加区间是_.【答案】【解析】【分析】求得函数的定义域，设 t=x 2+3x+4，由 t0，可得1x4，则函数 y= ，运用复合函数- 7 -的单调性：同增异减，以及二次函数和幂函数的单调性，即可得到所求单调区间【详解】函数 ，设 t=x2+3x4，由 t0，可得（，41，+） ，则函数 y= ，由 t=x2+3x4 在1，+）递增，故答案为:（1，+） （或写成1，+） ）【点睛】本题考查函数的单调区间的求法，注意运用复合函数的单调性：同增异减，以及二次函数和幂函数的单调性，考查运算能
11、力，属于中档题14.定义在 上的函数 ，满足 ，则 _.【答案】 -2【解析】试题分析：考点： 本小题主要考查分段函数的应用。点评：求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止。15.若幂函数 在 上是减函数，则 k=_.【答案】【解析】【分析】幂函数 y=（k 22k2）x k在（0，+）上是减函数，得到 k22k2=1，且 k0，由此能求出 k【详解】幂函数 y=（k 22k2）x k在（0，+）上是减函数，k 22k2=1，得 k=3，或 k=1，由题意 k=1故答案为：1【点睛】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，
12、考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题16.若函数 有最小值，则 的取值范围是_- 8 -【答案】【解析】【分析】当 0a1 时，没有最小值，当 a1 时，即 x2ax+10 有解，=a 240，解得 a2，由此能求出 a的取值范围【详解】可求原题干的反面：函数 f（x）=log a（x 2ax+1） （a0 且 a1）没有最小值，当 0a1 时，没有最小值，当 a1 时，即 x2ax+10 有解，=a 240，解得 a2，a的取值范围是（0，1）2，+） ，故函数有最小值则范围是： .故答案为： 【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考
13、查函数与方程思想，是基础题三.解答题(本大题共 70分)：17.已知集合 .（1）求 ；（2）已知集合 ，若 ，求实数 的取值范围.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析： 首先化简集合 ， ，求出 ，再利用数轴求并集；由 ，先考虑 时，此时 ，当 时，解析：（1） ，（2）当 时， ，此时 ；当 时， ，则综上所述， 的取值范围是 .点睛：解指数不等式我们可以求出集合 ，解对数不等式我们可以求出集合 ，再由集合补集- 9 -的运算规则，求出 ，进而由集合交集和并集的运算法则，即可得到答案，对于 我们分和 两种情况，分别求出对应的实数 的取值，最后综合讨论结果，即可得到答案。18.计算下面两
14、个式子的值（1）(2)若 ， ，试用 表示出【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】(1)根据指对函数的运算性质得到结果即可；（2） .【详解】原式= = (2) .【点睛】这个题目考查了指对函数的运算性质，属于基础题型.19.设函数 的定义域为 （1）若 ，求 的取值范围；（2）求 的最大值与最小值，并求出最值时对应的 的值【答案】 （1） ；（2） ，最小值 ， ，最大值 .【解析】试题分析：（1）根据定义域为 ，利用对数函数的单调性确定函数 的取值范围；（2）根据对数的运算法则化简函数 利用换元法将函数 转化为关于 的一元二次函数，利用二次函数的性质求函数的最值.试题解析：（1） 的取
15、值范围为区间（2）记 - 10 - 在区间 是减函数，在区间 是增函数当 即 时， 有最小值 ；当 即 时， 有最大值 20.某企业生产 A， B两种产品，根据市场调查与预测， A产品的利润与投资成正比，其关系如图； B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图.(注：利润和投资单位：万元)(1)分别将 A， B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到 18万元资金，并将全部投入 A， B两种产品的生产，怎样分配这 18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？【答案】 （1） ；（2）当 A， B两种产品分别投入 2万元、16万元时，可使该企业获得
16、最大利润，约为 8.5万元.【解析】试题分析：设出函数解析式，根据图象 ， 即可求得答案；确定总利润函数，换元，利用配方法可求最值；解析：(1)根据题意可设 ， 。则 f(x)0.25 x(x0)， g(x)2 (x0). (2)设 B产品投入 x万元， A产品投入(18 x)万元，该企业可获总利润为 y万元则 y (18 x)2 ，0 x18令 t， t0,3 ，则 y ( t28 t18) (t4) 2 . 所以当 t4 时， ymax 8.5， 此时 x16,18 x2.所以当 A， B两种产品分别投入 2万元、16 万元时，可使该企业获得最大利润，约为 8.5万- 11 -元.21.已
17、知定义在 上的函数 对任意 ，恒有 ， 且当时， ， .（1）判断 在 上的单调性并加以证明；（2）若 ，求 的取值范围.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】(1) 设 且 , 则 ,根据题干可得到函数值 ，进而得到结果;(2) 由 得 ,解出即可.【详解】 （1）设 且 ，则 且 ， ， ，即 ， 在 上单调递减（2）令 ，则 . 由 得 ， ，解得 - 12 -故 的取值范围是【点睛】这个题目考查了函数单调性的证明的定义法，以及利用函数的单调性解不等式的应用，证明函数单调性只能用定义法.解不等式，可以直接写出函数的解析式，解出即可，或者可以根据函数的单调性，直接比较自变量的大小即可.22.已知函数 是定义在 R上的奇函数.（）求实数 a的值.（）当 时， 恒成立，求实数 m的取值范围.【答案】 （） ;（）【解析】试题分析：（）利用奇函数的性质 ，即可求出实数 a的值，（）利用单调性的定义即可证明，假设，作差，比较，判断，下结论（）分离参数 后得到 ，设 ，构造函数，转化为求函数最值问题解决试题解析：（）（）由（）得令： 则令： 则只需 即可.由双勾函数的性质可知当 时取最小值；【点睛】本题考查函数恒成立问题，以及函数的奇偶性和单调性的定义，考查学生的分析问题解决问题的能力，恒成立问题往往转化为求函数最值问题解决，或分离参数后再求函数最- 13 -值
