1、1拉萨中学高三年级（2019 届）第二次月考理科数学试卷一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1.已知集合 ，集合 ，全集 ，则 为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义域求出 中 的范围确定出 ，接着根据补集的定义求出 ，最后求出两集合的交集即可【详解】由 中 ，得到 ，即 ，解得 或 ，即 ，则 ，结合 ，所以 ，故选 C.【点睛】本题主要考查了交集及其运算，准确求出集合 ，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题.2.已知为虚数单位，且满足 ，则所在的象限为（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A【解析】【分析
2、】通过 ，解出，得到，根据复数的几何意义，即可得到结论.(1+i)2z=3+2i【详解】 ， ，(1+i)2z=3+2i z=3+2i(1+i)2=3+2i2i =132i ，对应的坐标为 ，位于第一象限，故选 A.z=1+32i (1,32)【点睛】本题主要考查复数的几何意义，利用复数的基本运算以及共轭复数的概念即可得到结论，比较基础.3.下列命题中，为真命题的是（ ）2A. ，使得 B. x0R ex00 sinx+1sinx2(xk,kZ)C. D. 若命题 ： ，使得 ，则 ： ，都有xR,2xx2 p x0R x20-x0+10 sinxbc bac acb cba【答案】A【解析】
3、3【分析】首先根据对数函数的单调性可得 ，根据指数函数的性质可得 ，综合即可得最1bc a1后结果.【详解】 ，a=40.340=1又对数函数 单调递增，y=log3x ，综上可得 ，1=log33log32=blog30.4=c abc故选 A.【点睛】本题考查三个数的大小的比较，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，寻找中间量是较常见的方法之一，是基础题.6.函数 在区间(1，)内是增函数，则实数 a 的取值范围是( )f(x)=x3+ax-2A. B. C. D. 3 ,+) -3 ,+) (-3,+) (-,-3)【答案】B【解析】【分析】对函数进行求导，根据函数单调递增易得 在
4、内恒成立，即 ，解出即f(x)0 (1,+) f(1)0得结果.【详解】 ， ，f(x)=x3+ax-2 f(x)=3x2+a函数 在区间 内是增函数，f(x)=x3+ax-2 (1,+) 在 内恒成立，即 ， ，故选 Bf(x)0 (1,+) f(1)=3+a0 a3【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，将函数单调递增转化为 是解题的关f(x)0键，属于中档题7.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）4A. B. C. D. 433 223 233 263【答案】D【解析】【分析】由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的高为 ，底面是边长为 2 的等边三角形，把数据22代入棱锥
5、的体积公式计算可得答案【详解】由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的高为 ，22底面是边长为 2 的等边三角形，几何体的体积 ，故选 DV=131222sin6022=263【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量，属于基础题；正视图、俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等，要善于将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算8.已知二项式 的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，且展开式(ax+13x)n(a0)中 项的系数为 ，则为（ ）x2 84A. 2 B. 1 C
6、. D. 15 310【答案】B【解析】【分析】5如果 是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果 是偶数，那么是最中间那项的二n n次项系数最大，由此可确定 的值，进而利用展开式，根据二次项的系数，即可求出的值n【详解】二项式 的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，(ax+13x)n(a0) ，n=9又 的通项为： ，(ax+13x)9 Tr+1=Cr9a9-rx9-r2x-r3=a9-rCr9x27-5r6令 ，解得 ，27-5r6 =2 r=3又展开式中 项的系数为 ，即 ，解得 或 （舍去）x2 84 a6C39=84 a=1 a=-1故选 B.【点睛】本题主要考查二项式定理的
7、应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，根据展开式中某项的系数求参数，属于中档题9.在 中，内角 ， ， 的对边分别是， ， ，若满足 ，ABC A B C b cosC+cosAcosB= 3sinAcosB，则三角形 周长的取值范围为（ ）b=4 ABCA. B. C. D. (5,14 (63,123 (8,12 (6,12【答案】C【解析】【分析】首先通过三角形内角和以及两角和的余弦公式可得 ，利用余弦定理以及基本不等式可B=3求出 ，再由三角形任意两边之和大于第三边求得 ，由此求得 的周长a+c8 a+c4 ABC的取值范围.【详解】 ， ，cosC+cosAcosB= 3s
8、inAcosB cos(A+B)+cosAcosB= 3sinAcosB即 ，sinAsinB= 3sinAcosB又A，B，C 为三角形内角， ， ，即 ，sinA0 sinB= 3cosB B=3在 中，由余弦定理可得 ，化简得 ，ABC12=a2+c2162ac (a+c)216=3ac ， ，ac(a+c2)2 (a+c)2163(a+c2)2解得 （当且仅当 ，取等号） ， ，a+c8 a=c a+b+c12再由任意两边之和大于第三边可得 ，故有 ，a+c4 a+b+c8则 的周长的取值范围是 ，故选 CABC (8,126【点睛】本题主要考查了余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌
9、握余弦定理是解本题的关键，属于中档题.10.当 时，函数 的图象大致是( )a0 f(x)=(x2+2ax)exA. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】主要利用排除法，通过用函数的零点可排除 A，C 选项， 的变化趋势和 的变化趋势，可x f(x)排除 D，进而可得答案.【详解】由 ，解得 ，即 或 ，f(x)=0 x2+2ax=0 x=0 x=-2a ， ，故排除 A，C，a0 x=2a02018a+1008+ 2018b+1008t2-3t）A. B. C. D. -2,4 -3,3 -2,4 -1,4【答案】D【解析】【详解】 ， ， ，a+b=2 a,b0 a+1008+b+
10、1008=201872018a+1008+ 2018b+1008=a+1008+b+1008a+1008+a+1008+b+1008b+1008=2+b+1008a+1008+a+1008b+10082+2b+1008a+1008a+1008b+1008=4当且仅当 时等号成立，即 的最小值为 4，a=b=12018a+1008+ 2018b+1008由对 ，都有 成立，a,b02018a+1008+ 2018b+1008t2-3t得 ，解得 ，即的取值范围为 ，故选 D.t23t4 1t4 -1,4【点睛】本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失
11、误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆” “拼” “凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正” “定” “等”的条件12.已知函数 的导函数为 ，且满足 ， ，若f(x) f(x) f(x)=13x3+ax2+bx+2 f(x+2)=f(4x)恒成立，则实数 的取值范围为（ ）f(x)6xlnx+2 bA. B. 6+4ln3,+) 5+ln5,+)C. D. 6+6ln6,+) 4+ln2,+)【答案】C【解析】分析：由题意，求得 ，得到 ，又由 ，分离参数得a=3 f(x)=13x33x2+bx+2
12、f(x)6xlnx+2，设 ，利用导数求解 单调性和最大值，即可求b13x2+3x+6lnx g(x)=13x2+3x+6lnx g(x)解.详解：由函数 ，得 ，f(x)=13x3+ax2+bx+2 f(x)=x2+2ax+b又由 ，可得 的图象关于 对称，f(x+2)=f(4x) f(x) x=3可得 ，所以 ，2a2=3a=3 f(x)=13x33x2+bx+2由 ，可得 ，f(x)6xlnx+213x33x2+bx+26xlnx+2可得 ，即 ，bx13x3+3x2+6xlnx b13x2+3x+6lnx设 ，g(x)=13x2+3x+6lnx则 ，g(x)=18+9x2x23x =(
13、2x29x18)3x =(2x+3)(x6)3x可知函数 在 内单调递增，在区间 上单调递减，g(x) (0,6) (6,+)8可知 ，g(x)max=g(6)=6+6ln6所以实数 的取值范围是 ，故选 C.b 6+6ln6,+)点睛：利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13已知 ，则 与 夹角的余弦值为 .a=(1,2),b=(3,4) a+b ab【答案】52626【解析】【分析】由已
14、知向量的坐标可求出 与 的坐标，然后结合向量的夹角公式可得向量夹角的余a+b a-b弦值.【详解】 ， ， ，a=(1,2),b=(3,4) ab=(2,2) a+b=(4,6) ，cosab,a+b=(2)4+(2)622213=52626故答案为 .-52626【点睛】本题主要考查了向量的夹角公式的坐标表示，解题的关键是熟练应用基本公式以及求出向量坐标，属于基础题.14.九章算术记载了一个这样的问题， “今有男子善射，日益功疾，初日射 3 只，日增倍多一” ，下图是源于该思想的一个程序框图，.如图所示，程序框图的输出值为 .9【答案】63【解析】【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功
15、能是计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，可得答案【详解】 ，执行循环体后， ，不满足退出循环的条件，i=1,a=3 i=2,a=7执行循环体后， ，不满足退出循环的条件，i=3,a=15执行循环体后， ，不满足退出循环的条件，i=4,a=31执行循环体后， ，满足退出循环的条件，故输出的值为 63，i=5,a=63即答案为 63.【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答，属于基础题.15.已知函数 ，若函数 f(x)在 R 上有两个零点，则的取值范围是 f(x)=ex+a,x02x-1,x0,aR 【答案】 1,0)【解析】【分析】由函数
16、的解析式 作出函数的图象，图象左半部分随着的变化上下移f(x)=ex+a,x02x-1,x0,aR 动，右侧是直线的一部分，分析即可得结果.10【详解】由解析式可得函数的左半部分为指数函数的一部分，且随着的变化而上下平移，右半部分为直线的一部分，作图如下：结合图象分析可得，当左半部分的图象介于两红线之间时符合题意，而函数与 轴的焦点坐y标为 ，且只需 ，即 即可，故答案为 .a+1 0a+10 Tn (Tn)min=T1=12【点睛】本题主要考查了等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中 和 分别为
17、特殊数列，裂项相消法类似于 ，错位相减法类cn=an+bn an bn an=1n(n+1)12似于 ，其中 为等差数列， 为等比数列等.cn=anbn an bn18.已知在四棱锥 中， ， ，EPABCD 面 PDC面 ABCDADDC,ABCD,AB=2,DC=4为 PC 的中点， ，PD=PC BC=22（1）求证： BE面 PAD（2）若 与面 ABCD 所成角为 ，P 在面 ABCD 射影为 O,问是否在 BC 上存在一点 F，使面PB 45与面 PAB 所成的角为 ，若存在，试求点 F 的位置，不存在，请说明理由.POF 60【答案】 （1）见解析 （2）当 F 为 BC 的中点
18、时，两平面所成的角为 .60【解析】【分析】（1）连接 ，取 的中点 ，连接 ，通过证明 为平行四边形，得到 ，BE PD H AH ABEH BEHA根据线面垂直判定定理即可得结论；（2）作 ,结合可知 为 点在面 的射影，PODC O P ABCD，以 为坐标原点，分别以 , , 为 ， ，轴，建立空间直角坐标系，设PBO=45 O OBOCOP x y，求出面 和面 分别为 和 ，结合夹角为 ，求出即可.BF=BC PAB POF m=(1,0,1) (-1,1,0) 60【详解】 （1）证明：连接 BE，取 PD 的中点 H，连接 AH，则 又 ，EHCD，EH=12DC， ABCDA
19、B=12DC，可知 且 ，可知 ABEH 为平行四边形，故 ，所以 .EHABEH=AB BEHA BE面 PAD（2） 面 面 ， ,作 ,可知 为 点在面 的射影， PDC ABCD PD=PC PODC O P ABCD，以 为坐标原点，分别以 , , 为 ， ，轴，建立空间直角坐标系PBO=45 O OBOCOP x y，O-xyz13， ， ,OC=2 BC=22 OB= BC2-OC2= (22)2-22=2由 可知 ， ， ， ， ，PBO=45 OP=2 P(0,0,2) A(2,-2,0) B(2,0,0) C(0,2,0)设 , ， ， ， ，可知 ，BF=BC(x-2,y
20、,z)=(-2,2,0) x=2-2 y=2 z=0 F(2-2,2,0)设面 的法向量为 ， ， ，PAB m=(x,y,z) PA=(2,-2,-2) AB=(0,2,0)，2x-2y-2z=02y=0 ,m=(1,0,1)设面 POF 的法向量为 ， ，可知 ，n=(x,y,z) OP=(0,0,2),OF=(2-2,2,0) 2z=0(2-2)x+2y=0 可知 ，可知n=(-1,1,0)，解得 ，可知当 F 为 BC 的中点时，两平面所成的角为 .cos60= |-1|1+1(-1)2+1=12 =12 60【点睛】本题主要考查直线与平面平行的判定，该题主要通过构造平行四边形得到线线
21、平行，进而得到线面平行，利用向量法解决面面角问题，即二面角夹角的余弦值等于两平面法向量夹角余弦值的绝对值.19.某学校为了研究期中考试前学生所做数学模拟试题的套数与考试成绩的关系，统计了五个班做的模拟试卷套数量及期中考试的平均分如下：套（x） 7 6 6 5 6数学平均分（y） 125 120 110 100 115() 若 x 与 y 成线性相关，则某班做了 8 套模拟试题，预计平均分为多少？（2）期中考试对学生进行奖励，考入年级前 200 名，获一等奖学金 500 元；考入年级201500 名，获二等奖学金 300 元；考入年级 501 名以后的学生生将不能获得奖学金。甲、14乙两名学生获
22、一等奖学金的概率均为 ，获二等奖学金的概率均为 ，.若甲、乙两名学生获25 13得每个等级的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额 X 的分布列及数学期望。附： ， 。b=ni=1(xix)(yiy)ni=1(xix)2 a=ybx【答案】 （1）139. （2） E(X)=600【解析】【分析】（1）根据表格求出 ， ，结合所给公式计算出 和，得回归方程，将 8 代入即可得结果；x y b（2）不获得奖学金的概率为 ， X 的取值可能为 0，300，500，600，800，1000，计算出415其概率得其分布列.【详解】 （1）. ，x=7+6+6+5+65 =6 y=125
23、+120+110+100+1155 =114，b=ni=1(xi-x)(yi-y)ni=1(xi-x)2 =252 a=y-bx=114-2526=39则 y=bx+a=252x+39当 时，x=8 y=2528+39=139即某班若做 8 套试题，预计平均分为 139. 不获得奖学金的概率均为 1-25-13=415X 的取值可能为 0，300，500，600，800，1000， , ,P(X=0)=415415=16225P(X=300)=C1213415=845P(X=500)=C1225415=1675,P(X=600)=(13)2=19， ， P(X=800)=C121325=415
24、 P(X=1000)=(25)2=425即 的分布列为：15X 0 300 500 600 800 1000P 16225 845 1675 19 415 425E(X)=016225+300845+5001675+60019+800415+1000425=600【点睛】本题考查了线性回归方程的求法及应用，分布列及数学期望，主要通过相互独立事件概率计算公式得概率，属于基础题20.已知椭圆 的焦点与双曲线 的焦点重合，过椭圆 C 的右顶点C:x2a2+y2b2=1(ab0) x22y22=1B 任作一条直线，交抛物线 于 A,B 两点，且 ，y2=4x OAOB=0（1）试求椭圆 C 的方程；（
25、2）过椭圆 的右焦点且垂直于 轴的直线交椭圆 于 两点，M,N 是椭圆 上位于直线C x C P,Q C两侧的两点.若 ，求证：直线 MN 的斜率 为定值.PQ MPQ=NPQ kMN【答案】 （1）椭圆 C 的方程 （2） x216+y216=1 12【解析】【分析】（1）根据椭圆与双曲线焦点相同，可得 ，设右顶点为 ，直线的方程为 ，c=2 (a,0) x=ty+a联立其与抛物线的方程，根据 ，结合韦达定理可得的值，进而得椭圆的方程；OAOB=0（2）由 得直线 的斜率之和为 0，直线 的斜率为 ，则直线 的斜MPQ=NPQ PM,PN PM k PN率为 ， ，将直线 ，直线 的方程分别
26、与椭圆方程联立，求出 ，-k M(x1,y1),N(x2,y2) PM PN x1，结合斜率计算公式即可得结果.x2【详解】 （1）由双曲线 的焦点为 ，可知 ，右顶点为 ，x22-y22=1 (2,0) c=2 (a,0)设直线的方程为 ， ，整理可得 ，x=ty+a x=ty+ay2=4x y2-4ty-4a=0 ，yAyB=-4axAxB=yA2yB216=a2 ,可知 ，即： ，OAOB=0 xAxB+yAyB=0 a2-4a=0 ， ，可知椭圆 的方程为a=4 b2=a2-c2=12 Cx216+y212=116（2）易知点 的坐标分別为P,Q (2,3),(2,-3)若 ，则直线
27、的斜率之和为 0.MPQ=NPQ PM,PN设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ， ，PM k PN -k M(x1,y1),N(x2,y2)直线 的方程为 ，由 PM y-3=k(x-2)y-3=k(x-2),x216+y212=1,可得 ， ，(3+4k2)x2+8k(3-2k)x+4(3-2k)2-48=0 x1+2=8(2k-3)k3+4k2同理直线 的方程为 ， 可得PN y-3=-k(x-2) x2+2=8k(2k+3)3+4k2 ，x1-x2=-48k3+4k2,x1+x2=16k2-123+4k2.kMN=y1-y2x1-x2=k(x1-2)+3+k(x2-2)-3x1-x2
28、 =k(x1+x2)-4kx1-x2 =12【点睛】本题考查椭圆的方程的求法，考查直线的斜率为定值的证明，考查椭圆、直线方程、斜率公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题21.已知函数 ，f(x)=ax2bx+lnx（1）若 的图像过点 ，且在点 P 处的切线方程为 ，试求函数 的单调区f(x) P(1,3) y=2x+1 f(x)间；（2）当 时，若函数 恒成立，求整数的最小值.b=0 f(x)(2ax1)(x+1)【答案】 （1）函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为 。 （2）1(0,5+418 ) (5+418 ,+)【解析】【分析】
29、（1）由图象过点 ，得 ，根据导数的几何意义得 ，列出关于 的方程，(1,3) a-b=3 f(1)=2 a,b解出 ，通过导数与 0 的关系可得单调区间；（2）原题等价于 在区间a,b a(lnx+x+1)x2+2x内恒成立，设 ，对其二次求导可得 有极大值，也为最大值，根据(0,+) g(x)=(lnx+x+1)x2+2x g(x)，即可得结果.120 a(lnx+x+1)x2+2x (0,+)设 g(x)=(lnx+x+1)x2+2x g(x)=-(x+1)(2lnx+x)(x2+2x)2可设 ，在 单调递增，且 ，h(x)=2lnx+x (0,+) h(12)=-2ln2+120所以存
30、在唯一的 ，使得x0(12,1) h(x0)=2lnx0+x0=0且当 时， ， 单调递增，00 g(x)当 时， ， 单调递减，xx0 g(x)h(x) ahmax(x) a0,b0)的最大值.ab【答案】 （1） （2） x|x54或 x54 323【解析】【分析】（1）通过讨论 的范围，分为 ， ， 三种情形，求出不等式组的解集，x x-1 -1x13 x13取并集即可；（2）先求出 ，即得 ，利用均值不等式即可得结果.m=43 2a+3b=16【详解】 （1）.当 时， ， ，可知 满足题意；当 时，可知 ， ， ，无解19当 时， ， ，可知 满足题意，可知不等式的解集为（2）.函数 ，可知 .， 可变形， ，当且仅当 ，即当 时取等号.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想
