重庆市第一中学2019届高三数学上学期期中试题文.doc

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1、12018 年重庆一中高 2019 级高三上期半期考试数 学 试 题 卷(文科) 数学试题共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。第卷(选择题,共 60 分)一、选择题.(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合

2、题目要求的一项)1.已知集合 则 ( ),10,21BZxxABAA. B. C. D.,0 ,2,102.等比数列 中,若 ,则 ( )na3,1a5aA.6 B. C.12 D.1863.计算 的结果是( )75si1iA. B. C. D.2414264264.下列函数为奇函数的是( )A. B. C. D.23)(xfxf2)( xfsin)(xf3ln)(5.已知非零向量 的夹角为 ,且 则 ( )ba,0,3,1baba2A. B. C. D.32 26.已知实数 满足约束条件 ,则 的最小值为( )yx,012xyyxz2A. B. C. D.125 17.圆 半径为 ,圆心在

3、轴的正半轴上,直线 与圆 相切,则圆 的方程为( C2x043yxC)2A B C D0322xy 042xy 042xyx8.过抛物线 的焦点 作斜率为 的直线,与抛物线在第一象限内交于点 ,若)(2pxyF3A,则 ( )4AFA.2 B.1 C. D. 49.已知双曲线 过点 且其渐近线方程为 , 的顶点 恰为 的两焦点,)4,3(Mxy32ABC,顶点 在 上且 ,则 ( )CBCAsinsiACBA B. C. D. 22727210.若函数 有两个不同的零点,则实数 的取值范围是( )xaxfln)(aA B C D1,e(,)e(0,)e1(0,)e11.已知数列 的前 项和为

4、,首项 ,且 ,则 ( )nnS1232nnS2018SA B. C. D. 201928097086712.已知双曲线 的右顶点为 , 以 为圆心的圆与双曲线 的某一条渐近2:1,xyCabAC线交于两点 .若 ,且 (其中 为原点),则双曲线 的离心率为( ) ,PQ60A3OQPA B C D7277237第卷(非选择题 共 90 分)二、填空题.(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在答题卡相应位置上)13.函数 在点 处的切线方程为 ;)2ln()xf )1(,fP14.若 ,且 ,则 的最小值为 ;Ryx,yyx15.已知 是椭圆 的左、右焦点, 为椭圆上一

5、点且满足 ,则21,F21(3)9xaP120PF的值为 ;P3图2图1 FEDFEDAB C CBA图 2图 116.已知函数 满足 ,且对任意 恒有 ,则)(xf21)(f Ryx, )()2()(2yfxyfxf ;20918(f三、解答题.(共 70 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)17. (本小题满分 12 分)在 中,角 所对的边分别为 ,且 .ABC, ,abcosc1ABb()证明: 成等比数列;,acb()若 ,且 ,求 的周长.32sincos+1ABC18 (本小题满分 12 分)如图 1,在直角 中, , 分别32,4,90B ED,为 的中点,连结 并延长

6、交 于点 ,将 沿 折起,使平面 平面 ,BDAC,EBCFBC如图 2 所示()求证: ;()求四棱锥 的体积F19 (本小题满分 12 分)已知数列 满足 ,数列 满足na)(212Nnan nb,且 .)(*1Nnabn ,5,731b()求 及 ;n()令 ,求数列 的前 项和 *,bacnncnS20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,且 为抛21:(0)xyCab12,F物线 的焦点, 的准线被椭圆 和圆 截得的弦长分别为 和 .2:(0)Cypx2122xya4()求 和 的方程;12()已知直线 与抛物线 相切,且 与椭圆 相交于 两点,若椭圆 上存在点

7、 ,使得l2Cl1CNM,1CQ4,求实数 的取值范围.)0(OQNM21 (本小题满分 12 分)已知函数 .(ln1xf=-()求 的单调区间;()fx()证明: (其中 是自然对数的底数, ).xe1 7182.e注意:请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题计分22. (本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 的极坐标方Ox C程为 ,直线 的参数方程为 ( 为参数),点 的极坐标为24cos10l 321tytA,设直线 与曲线 相交于 两点(3,)6lC,PQ()写

8、出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程;l()求 的值APQO23.(本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲已知函数 12)(xxf()解不等式 ;()记函数 的最大值为 ,若 ,证明: )(fm)0,(3cbamba 1cab52018 年重庆一中高 2019 级高三上期半期考试数学参考答案(文科)一、选择题:D A B D B C B A C D A C二、填空题:13 题: ; 14 题:8; 15 题:36; 16 题: 1xy 23三、解答题17.(1)证明:由正弦定理得: 2 分cos1Babcosc1inisinABC,4 分sin()1siABC2ininA所以 成

9、等比数列6 分2,cab,c(2)由 81)62sin(2cossi31os2sin3 C,3分由余弦定理得: ,9 分22cscab又 ,所以 103c9分于是得: 11 分229()3()7abab6ab所以 的周长为 .12 分ABC9c18.(1)证明:由条件可知 ,而 为 的中点, ,2 分ABDEB AEBD又面 面 ,面 面 ,且 , 平面 5DC面 C分又因为 平面 , 6 分CB E(2)由题给数据知 , 为等边三角形,而 为 中点,6ADEBD因此 中, , ,AFRt 360cos,30sin B130tanEF因此 10 分251261BEFCDCESS由(1)知 ,所

10、以 12 分A面 23533AESVCDFCDEFA19.解:(1)由题可得 等差, 等比,设 的公差为 ,则 2nanbnaddbn1分6由题有 5 分121210256713 nadaad于是 ,而 ,61nb11nb分,(2)由题有: ,由错位相减法,得:12)(nnac7 分1210 )()3(523 nnnS8 分n2)(232 两式相减,得:10 分nnnnnS )1()4(12)()2(11 11 分)3于是: 12 分)(*Nnn20.(1)由题得 ,故 424ba2,=24bpc221:,:884xyCx分(2)由题知 存在斜率且不为 0, 5 分l ),0(:mnyxl )

11、,(),(),(021yxQNyxM联立 ,因为 与 相切,故 6xynm82 82yl2C0nm分联立 ,2yx 82)(22nmy两根 , 7 分21, ,2121 n,又 ,因此 8 分),4(8402mn 02n)0,4(法一: 由 ,由韦达定理易得 9 分OQNM021yx)2(02mnyx7而 ,因此 10 分820yx )0,4(,28)2()2(162 nmnmnn令 ,则 12),4(nt ),0(,4,08t分21. 解:(1)定义域 , 2),1()0x 2)1(lnxf分令 ,则 ,所以 在 ,xuln)(2)(xu )(u),0故 时, ,也即 ,3 分),1(001

12、xf因此, 在 上单调递减;在 上也单调递减;4 分f ),((2)即证明 ,1lnxex 先证明 时的情况:),(此时 ,令 50ln2xe xxxegexg 232)(,1ln)(分令 ,6)1(046)(,43)(,2)( 23 hhxh xx 分故 在 ,故 在 7 分)(),1 )(0)1(e ),1于是 在 ,02ehx xgx,因此, 时 ,即 8 分),1()1(g0ln2xe下面证明 时的情况(相对更难一点):,0x法一:(切线放缩)令 ,故 在 ,01)(,1)( xxegeg )(xg1,0于是 时 ,10 分,0x令 ,故 在,ln)(hxh)(h,故 时, 即 即 ,

13、证毕;12 分1,x0)1(01lnxxe1ln8法二:时, ,令 9 分)1,0(x01ln2xe xxxegexg 232)(,1ln)(令 ,46,43)(,223 hhxehx因 在 而 ,故 使得 在 ,)(1,001,0 e)1,(0x)(xh )1,(,00x而 ,故必存在唯一的 使得 在2)(,)(eh ),(,01)(),(,1且 即 ,故01x4311xx 352)( 231131 xxxehx记 ,所以 在 ,3),0(,5)(23 uu, )(u),(,0注意 ,因此 时 ,故 ,故 11)(,ux0)(xxxg分故 在 ,因此, 时, 12)(xg1,0)1,0( 0

14、1ln)1(2xeg分法三:把两种情况一起证(但需要用洛必达法则) :所证,),1()0,1ln1ln2xexx令 , 6 分l)(2 xxeln)12)()2(令 ,则),0(,ln1(2xxxu7 分xxuln23)1)( 232 ,显然 在 恒正,故 在 单增84233(xxu (x),0)(u),0分注意到 ,于是 在 为负,在 上为正,0)1()(u1,也即 在 上单调递减,在 单调递增9 分, )因此 时有 ,故 在 上单调递增,x 0(x)(xu),0又注意到 ,于是 在 为负,在 上为正,)(u)(,而 与 正负一致,因此 在 上单调递减,在 单调递增10 分)1,1(因此 时

15、, (洛必达法则)12 分),1()0x 2)lnlim(li)(11 exex922. (1) ,曲线 ,即 4 分:l30xy:C2410xy2()3xy(2)点 的直角坐标为 ,发现 在直线 上且 ,直线 的极坐标方程为A(,)AlAtl ()6R将直线 的参数方程与曲线 的直角坐标方程联立,得: ,根为 5 分l 210tQPt,注意 ,于是有 7 分0At PAQPQttt将直线 的极坐标方程 与曲线 的极坐标方程 联立得:l()6RC24cos,根为 ,即有 9 分231QP, 1PQO所以, 10 分1APO23.解:(1) ,易得 的解集为 5 分2,3,)(xf 1)(xf ),0x(2)由(1)知 ,于是 7 分mf)(a cba因为 9 分acbcab 22即: ,证毕。10 分1ac

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