1、1弧长与扇形面积一、选择题1 （2018山西3 分） 如 图 ， 正 方 形 ABCD 内接于 O， O 的半径为 2， 以 点 A 为圆心，以 AC 为半径画弧交 AB 的延 长 线 于 点 E， 交 AD 的 延 长 线 于 点 F，则图中阴影部分的面积是（ ）A.4 -4 B. 4 -8 C. 8 -4 D. 8 -8【 答 案 】 A【 考 点 】扇形面积，正方形性质【 解 析 】 四 边 形 ABCD 为 正 方 形 ， BAD=90，可知圆和正方形是中心对称图形，2 （2018山东淄博4 分）如图，O 的直径 AB=6，若BAC=50，则劣弧 AC的长为（ ）A2 B C D【考点
2、】MN：弧长的计算；M5：圆周角定理【分析】先连接 CO，依据BAC=50，AO=CO=3，即可得到AOC=80，进而得出劣弧 AC2的长为 = 【解答】解：如图，连接 CO，BAC=50，AO=CO=3，ACO=50，AOC=80，劣弧 AC的长为 = ，故选：D【点评】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，熟记弧长的公式是解题的关键3. （2018四川成都3 分）如图，在 中， ， 的半径为 3，则图中阴影部分的面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【考点】平行四边形的性质，扇形面积的计算 【解析】 【解答】解：平行四边形 ABCDABDCB+C=180C=180-60=120阴影部
3、分的面积=120 32360=3 故答案为：C【分析】根据平行四边形的性质及平行线的性质，可求出C 的度数，再根据扇形的面积3公式求解即可。4. （2018山东滨州3 分）已知半径为 5的O 是ABC 的外接圆，若ABC=25，则劣弧 的长为（ ）A B C D【分析】根据圆周角定理和弧长公式解答即可【解答】解：如图：连接 AO，CO，ABC=25，AOC=50，劣弧 的长= ，故选：C【点评】此题考查三角形的外接圆与外心，关键是根据圆周角定理和弧长公式解答5.（2018山东威海3 分）如图，在正方形 ABCD中，AB=12，点 E为 BC的中点，以 CD为直径作半圆 CFD，点 F为半圆的中
4、点，连接 AF，EF，图中阴影部分的面积是（ ）A18+36 B24+18 C18+18 D12+18【分析】作 FHBC 于 H，连接 FH，如图，根据正方形的性质和切线的性质得BE=CE=CH=FH=6，则利用勾股定理可计算出 AE=6 ，通过 RtABEEHF 得AEF=90，然后利用图中阴影部分的面积=S 正方形 ABCD+S 半圆 S ABE S AEF 进行计算【解答】解：作 FHBC 于 H，连接 FH，如图，点 E为 BC的中点，点 F为半圆的中点，BE=CE=CH=FH=6，AE= =6 ，易得 RtABEEHF，4AEB=EFH，而EFH+FEH=90，AEB+FEH=90
5、，AEF=90，图中阴影部分的面积=S 正方形 ABCD+S 半圆 S ABE S AEF=1212+ 6 2 126 6 6=18+18故选：C【点评】本题考查了正多边形和圆：利用面积的和差计算不规则图形的面积6. （2018台湾分）如图，ABC 中，D 为 BC的中点，以 D为圆心，BD 长为半径画一弧交 AC于 E点，若A=60，B=100，BC=4，则扇形 BDE的面积为何？（ ）A B C D【分析】求出扇形的圆心角以及半径即可解决问题；【解答】解：A=60，B=100，C=18060100=20，DE=DC，C=DEC=20，BDE=C+DEC=40，S 扇形 DBE= = 故选：
6、C【点评】本题考查扇形的面积公式、三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式：S= 57 （2018湖北黄石3 分）如图，AB 是O 的直径，点 D为O 上一点，且ABD=30，BO=4，则 的长为（ ）A B C2 D【分析】先计算圆心角为 120，根据弧长公式= ，可得结果【解答】解：连接 OD，ABD=30，AOD=2ABD=60，BOD=120， 的长= = ，故选：D【点评】本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练掌握弧长公式是关键，属于基础题8 （2018浙江宁波4 分）如图，在ABC 中，ACB=90，A=30，AB=4，以点 B为圆心，BC 长为半径画弧，交边 AB于
7、点 D，则 的长为（ ）A B C D 【考点】弧长公式【分析】先根据 ACB=90，AB=4，A=30，得圆心角和半径的长，再根据弧长公式可得6到弧 CD的长【解答】解：ACB=90，AB=4，A=30，B=60，BC=2 的长为 = ，故选：C【点评】本题主要考查了弧长公式的运用和直角三角形 30度角的性质，解题时注意弧长公式为：l= （弧长为 l，圆心角度数为 n，圆的半径为 R） 9. （2018浙江衢州3 分）如图，AB 是圆锥的母线，BC 为底面半径，已知 BC=6cm，圆锥的侧面积为 15cm 2，则 sinABC 的值为（ ）A B C D【考点】圆锥侧面积公式【分析】先根据扇
8、形的面积公式 S= LR求出母线长，再根据锐角三角函数的定义解答即可【解答】解：设圆锥的母线长为 R，由题意得15=3R，解得 R=5，圆锥的高为 4，sinABC= 故选 B【点评】本题考查了圆锥侧面积公式的运用，注意一个角的正弦值等于这个角的对边与斜边之比10. (2018四川省绵阳市)如图，蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为 25m 2 ， 圆柱高为 3m，圆锥高为 2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（ ）7A.B.40m 2 C.D.55m 2【答案】A 【考点】圆锥的计算，圆柱的计算 【解析】 【解答】解：设底面圆的半径为 r，圆锥母线长为 l，依题可得：r
9、 2=25，r=5，圆锥的母线 l= = ，圆锥侧面积 S = 2rl=rl=5 （m 2）,圆柱的侧面积 S =2rh=253=30（m 2） ，需要毛毡的面积=30+5 （m 2） ，故答案为：A.【分析】根据圆的面积公式求出底面圆的半径，由勾股定理得圆锥母线长，再根据圆锥的侧面展开图为扇形，圆柱的侧面展开图为矩形或者正方形，根据其公式分别求出它们的侧面积，再求和即可得出答案.二.填空题1. （ 2018重庆(A)4 分）如图，在矩形 ABCD中， 3AB， 2D，以点 A为圆心，AD长为半径画弧，交 AB于点 E，图中阴影部分的面积是_（结果保留 ） 8CDABE【考点】及割补法的基本应
10、用、扇形的面积公式.【解析】 -623609-2阴S【点评】此题考查扇形、四边形面积的计算，及割补法的基本应用，属于基础题2. （2018广东3 分）如图，矩形 ABCD中，BC=4，CD=2，以 AD为直径的半圆 O与 BC相切于点 E，连接 BD，则阴影部分的面积为 （结果保留 ）【分析】连接 OE，如图，利用切线的性质得 OD=2，OEBC，易得四边形 OECD为正方形，先利用扇形面积公式，利用 S 正方形 OECDS 扇形 EOD计算由弧 DE、线段 EC、CD 所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积【解答】解：连接 OE，如图，以 AD为直径的半圆
11、 O与 BC相切于点 E，OD=2，OEBC，易得四边形 OECD为正方形，由弧 DE、线段 EC、CD 所围成的面积=S 正方形 OECDS 扇形 EOD=22 =4，阴影部分的面积= 24（4）=故答案为 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了矩形的性质和扇形的面积公式93 （2018湖北荆门3 分）如图，在平行四边形 ABCD中，ABAD，D=30，CD=4，以 AB为直径的O 交 BC于点 E，则阴影部分的面积为 【分析】连接半径和弦 AE，根据直径所对的圆周角是直角得：AEB=90，可得 AE和 B
12、E的长，所以图中弓形的面积为扇形 OBE的面积与OBE 面积的差，因为 OA=OB，所以OBE的面积是ABE 面积的一半，可得结论【解答】解：连接 OE、AE，AB 是O 的直径，AEB=90，四边形 ABCD是平行四边形，AB=CD=4，B=D=30，AE= AB=2，BE= =2 ，OA=OB=OE，B=OEB=30，BOE=120，S 阴影 =S 扇形 OBES BOE ，= ，= ，= ，故答案为： 【点评】本题考查了扇形的面积计算、平行四边形的性质，直角三角形中 30度角等知识点，10能求出扇形 OBE的面积和ABE 的面积是解此题的关键4 （2018湖北恩施3 分）在 RtABC
13、中，AB=1，A=60，ABC=90，如图所示将RtABC 沿直线 l无滑动地滚动至 RtDEF，则点 B所经过的路径与直线 l所围成的封闭图形的面积为 （结果不取近似值）【分析】先得到ACB=30，BC= ，利用旋转的性质可得到点 B路径分部分：第一部分为以直角三角形 30的直角顶点为圆心， 为半径，圆心角为 150的弧长；第二部分为以直角三角形 60的直角顶点为圆心，1 为半径，圆心角为 120的弧长，然后根据扇形的面积公式计算点 B所经过的路径与直线 l所围成的封闭图形的面积【解答】解：RtABC 中，A=60，ABC=90，ACB=30，BC= ，将 RtABC 沿直线 l无滑动地滚动
14、至 RtDEF，点 B路径分部分：第一部分为以直角三角形 30的直角顶点为圆心， 为半径，圆心角为 150的弧长；第二部分为以直角三角形60的直角顶点为圆心，1 为半径，圆心角为 120的弧长；点 B所经过的路径与直线 l所围成的封闭图形的面积= + =故答案为 【点评】本题考查了轨迹：利用特殊几何图形描述点运动的轨迹，然后利用几何性质计算相应的几何量5.（2018河南3 分）如图,在 ABC中, ACB=90,AC=BC=2.将 ABC绕 AC的中点 D逆时针旋转 90得到 ABC，其中点 B的运动路径为 B，则图中阴影部分的面积为_.116. （2018新疆生产建设兵团5 分）如图，ABC
15、 是O 的内接正三角形，O 的半径为2，则图中阴影部的面积是 【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算即可【解答】解：ABC 是等边三角形，C=60，根据圆周角定理可得AOB=2C=120，阴影部分的面积是 = ，故答案为：【点评】本题主要考查扇形面积的计算和圆周角定理，根据等边三角形性质和圆周角定理求得圆心角度数是解题的关键7.（2018山东青岛3 分）如图，RtABC，B=90，C=30，O 为 AC上一点，12OA=2，以 O为圆心，以OA为半径的圆与 CB相切于点 E，与 AB相交于点 F，连接 OE、OF，则图中阴影部分的面积是 【分析】
16、根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案【解答】解：B=90，C=30，A=60，OA=OF，AOF 是等边三角形，COF=120，OA=2，扇形 OGF的面积为： =OA 为半径的圆与 CB相切于点 E，OEC=90，OC=2OE=4，AC=OC+OA=6，AB= AC=3，由勾股定理可知：BC=3ABC 的面积为： 33 =OAF 的面积为： 2 = ，阴影部分面积为： = 故答案为： 13【点评】本题考查扇形面积公式，涉及含 30度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，扇形的面积公式等知识，综合程度较高8. （2018湖南省永州市4 分）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（
17、1，1） ，以点 O为旋转中心，将点 A逆时针旋转到点 B的位置，则 的长为 【分析】由点 A（1，1） ，可得 OA= = ，点 A在第一象限的角平分线上，那么AOB=45，再根据弧长公式计算即可【解答】解：点 A（1，1） ，OA= = ，点 A在第一象限的角平分线上，以点 O为旋转中心，将点 A逆时针旋转到点 B的位置，AOB=45， 的长为 = 故答案为 【点评】本题考查了弧长公式：l= （弧长为 l，圆心角度数为 n，圆的半径为 R） ，也考查了坐标与图形变化旋转，求出 OA= 以及AOB=45是解题的关键9. （2018 年江苏省宿迁）已知圆锥的底面圆半价为 3cm，高为 4cm，
18、则圆锥的侧面积是_cm2. 【答案】15 【考点】圆锥的计算 【解析】 【解答】解：设圆锥母线长为 l，r=3，h=4，,14母线 l= =5，S 侧= 2r5= 235=15.故答案为：15.【分析】设圆锥母线长为 l，根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式即可得出答案.10. （2018 年江苏省宿迁）如图，将含有 30角的直角三角板 ABC放入平面直角坐标系，顶点 AB分别落在 x、y 轴的正半轴上，OAB60,点 A的坐标为（1,0） ，将三角板 ABC沿 x轴右作无滑动的滚动（先绕点 A按顺时针方向旋转 60，再绕点 C按顺时针方向旋转90，）当点 B第一次落在 x轴上时，则点
19、 B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是_.【答案】 + 【考点】三角形的面积，扇形面积的计算，锐角三角函数的定义，旋转的性质 【解析】 【解答】解：在 RtAOB 中，A（1,0） ，OA=1,又OAB60，cos60= ,AB=2,OB= ,在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变，点 B运动的路径与坐标轴围成的图形面积为：= = + .故答案为: + .【分析】在 RtAOB 中，由 A点坐标得 OA=1,根据锐角三角形函数可得 AB=2，OB= ,在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变，所以点 B运动的路径与坐标轴围成的图形面15积为：= ，计算即可得出答案.11. （2018江苏扬州
20、3 分）用半径为 10cm，圆心角为 120的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 cm【分析】圆锥的底面圆半径为 r，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解【解答】解：设圆锥的底面圆半径为 r，依题意，得2r= ，解得 r= cm故选： 【点评】本题考查了圆锥的计算圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长12. （2018江苏盐城3 分）如图，左图是由若干个相同的图形（右图）组成的美丽图案的一部分.右图中，图形的相关数据：半径 ， .则右图的周长为_ （结果保留 ） 15.【答案】【考点】弧长的计算 【解
21、析】 【解答】解：由第一张图可知弧 OA与弧 OB的长度和与弧 AB的长度相等，则周长为 cm故答案为： 【分析】仔细观察第一张图，可发现单个图的左右两条小弧的长度之和是弧 AB的度，则根据弧长公式 即可求得。1613. （2018四川凉州3 分）将ABC 绕点 B逆时针旋转到ABC，使 A、B、C在同一直线上，若BCA=90，BAC=30，AB=4cm，则图中阴影部分面积为 4 cm 2【分析】易得整理后阴影部分面积为圆心角为 120，两个半径分别为 4和 2的圆环的面积【解答】解：BCA=90，BAC=30，AB=4cm，BC=2，AC=2 ，ABA=120，CBC=120，阴影部分面积=
22、（S ABC +S 扇形 BAA）S 扇形 BCC S ABC = （4 22 2）=4cm 2故答案为：4【点评】本题利用了直角三角形的性质，扇形的面积公式求解2.三.解答题(要求同上一)1.（2018山东临沂9 分）如图，ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC的中点，腰 AB与O 相切于点 D，OB 与O 相交于点 E（1）求证：AC 是O 的切线；（2）若 BD= ，BE=1求阴影部分的面积【分析】（1）连接 OD，作 OFAC 于 F，如图，利用等腰三角形的性质得 AOBC，AO 平分17BAC，再根据切线的性质得 ODAB，然后利用角平分线的性质得到 OF=OD，从而根据切线的判定定
23、理得到结论；（2）设O 的半径为 r，则 OD=OE=r，利用勾股定理得到 r2+（ ） 2=（r+1） 2，解得r=1，则 OD=1，OB=2，利用含 30度的直角三角三边的关系得到B=30，BOD=60，则AOD=30，于是可计算出 AD= OD= ，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2S AODS 扇形 DOF进行计算【解答】（1）证明：连接 OD，作 OFAC 于 F，如图，ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC的中点，AOBC，AO 平分BAC，AB 与O 相切于点 D，ODAB，而 OFAC，OF=OD，AC 是O 的切线；（2）解：在 RtBOD 中，设O 的半径为 r
24、，则 OD=OE=r，r 2+（ ） 2=（r+1） 2，解得 r=1，OD=1，OB=2，B=30，BOD=60，AOD=30，在 RtAOD 中，AD= OD= ，阴影部分的面积=2S AODS 扇形 DOF=2 1 = 【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线圆的切线垂直于经过切点的半径判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”也考查了等18腰三角形的性质2. （2018江苏扬州10 分）如图，在ABC 中，AB=AC，AOBC 于点 O，OEAB 于点 E，以点 O为圆心，OE 为
25、半径作半圆，交 AO于点 F（1）求证：AC 是O 的切线；（2）若点 F是 A的中点，OE=3，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，点 P是 BC边上的动点，当 PE+PF取最小值时，直接写出 BP的长【分析】 （1）作 OHAC 于 H，如图，利用等腰三角形的性质得 AO平分BAC，再根据角平分线性质得 OH=OE，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）先确定OAE=30，AOE=60，再计算出 AE=3 ，然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积=S AOE S 扇形 EOF进行计算；（3）作 F点关于 BC的对称点 F，连接 EF交 BC于 P，如图，利用两点之间线段最短
26、得到此时 EP+FP最小，通过证明F=EAF得到 PE+PF最小值为 3 ，然后计算出 OP和OB得到此时 PB的长【解答】 （1）证明：作 OHAC 于 H，如图，AB=AC，AOBC 于点 O，AO 平分BAC，OEAB，OHAC，OH=OE，AC 是O 的切线；（2）解：点 F是 AO的中点，AO=2OF=3，而 OE=3，OAE=30，AOE=60，AE= OE=3 ，19图中阴影部分的面积=S AOE S 扇形 EOF= 33 = ；（3）解：作 F点关于 BC的对称点 F，连接 EF交 BC于 P，如图，PF=PF，PE+PF=PE+PF=EF，此时 EP+FP最小，OF=OF=OE，F=OEF，而AOE=F+OEF=60，F=30，F=EAF，EF=EA=3 ，即 PE+PF最小值为 3 ，在 RtOPF中，OP= OF= ，在 RtABO 中，OB= OA= 6=2 ，BP=2 = ，即当 PE+PF取最小值时，BP 的长为 【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线” 也考查了等腰三角形的性质和最短路径问题
