1、1矩形菱形与正方形一.选择题1. （2018广西贺州3 分）如图，正方形 ABCD的边长为 1，以对角线 AC为边作第二个正方形 ACEF，再以对角线 AE为边作第三个正方形 AEGH，依此下去，第 n个正方形的面积为（ ）A （ ） n1 B2 n1 C （ ） n D2 n【解答】解：第一个正方形的面积为 1=20，第二个正方形的面积为（ ） 2=2=21，第三个正方形的边长为 22，第 n个正方形的面积为 2n1 ，故选：B2. （2018湖北十堰3 分）菱形不具备的性质是（ ）A四条边都相等 B对角线一定相等C是轴对称图形 D是中心对称图形【分析】根据菱形的性质即可判断；【解答】解：菱
2、形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等，故选：B【点评】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考基础题3. （2018广西梧州3 分）如图，在正方形 ABCD中，A.B.C 三点的坐标分别是（1，2） 、 （1，0） 、 （3，0） ，将正方形 ABCD向右平移 3个单位，则平移后点 D的坐标是（ ）2A （6，2） B （0，2） C （2，0） D （2，2）【分析】首先根据正方形的性质求出 D点坐标，再将 D点横坐标加上 3，纵坐标不变即可【解答】解：在正方形 ABCD中，A.B.C 三点的坐标分别是（1，2） 、 （1，0） 、（3，0
3、） ，D（3，2） ，将正方形 ABCD向右平移 3个单位，则平移后点 D的坐标是（0，2） ，故选：B【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形变化平移，是基础题，比较简单4. （2018湖北江汉3 分）如图，正方形 ABCD中，AB=6，G 是 BC的中点将ABG 沿AG对折至AFG，延长 GF交 DC于点 E，则 DE的长是（ ）A1 B1.5 C2 D2.5【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证 RtAFERtADE；在直角ECG 中，根据勾股定理即可求出 DE的长【解答】解：AB=AD=AF，D=AFE=90，在 RtABG 和 RtAFG 中， ，RtAFERtADE，EF=
4、DE，设 DE=FE=x，则 EC=6xG 为 BC中点，BC=6，CG=3，3在 RtECG 中，根据勾股定理，得：（6x） 2+9=（x+3） 2，解得 x=2则 DE=2故选：C5.（2018四川省攀枝花3 分）如图，在矩形 ABCD中，E 是 AB边的中点，沿 EC对折矩形 ABCD，使 B点落在点 P处，折痕为 EC，连结 AP并延长 AP交 CD于 F点，连结 CP并延长CP交 AD于 Q点给出以下结论：四边形 AECF为平行四边形；PBA=APQ；FPC 为等腰三角形；APBEPC其中正确结论的个数为（ ）A1 B2 C3 D4解：如图，EC，BP 交于点 G；点 P是点 B关于
5、直线 EC的对称点，EC 垂直平分 BP，EP=EB，EBP=EPB点 E为 AB中点，AE=EB，AE=EP，PAB=PBAPAB+PBA+APB=180，即PAB+PBA+APE+BPE=2（PAB+PBA）=180，PAB+PBA=90，APBP，AFEC；AECF，四边形 AECF是平行四边形，故正确；APB=90，APQ+BPC=90，由折叠得：BC=PC，BPC=PBC四边形 ABCD是正方形，ABC=ABP+PBC=90，ABP=APQ，故正确；AFEC，FPC=PCE=BCEPFC 是钝角，当BPC 是等边三角形，即BCE=30时，才有FPC=FCP，如右图，PCF 不一定是等
6、腰三角形，故不正确；AF=EC，AD=BC=PC，ADF=EPC=90，RtEPCFDA（HL） ADF=APB=90，FAD=ABP，当 BP=AD或BPC 是等边三角形时，APBFDA，APBEPC，故不正确；4其中正确结论有，2 个 故选 B6.（2018云南省曲靖4 分）如图，在正方形 ABCD中，连接 AC，以点 A为圆心，适当长为半径画弧，交 AB.AC于点 M，N，分别以 M，N 为圆心，大于 MN长的一半为半径画弧，两弧交于点 H，连结 AH并延长交 BC于点 E，再分别以 A.E为圆心，以大于 AE长的一半为半径画弧，两弧交于点 P，Q，作直线 PQ，分别交 CD，AC，AB
7、 于点 F，G，L，交 CB的延长线于点 K，连接 GE，下列结论：LKB=22.5，GEAB，tanCGF= ，S CGE ：S CAB=1：4其中正确的是（ ）A B C D【解答】解：四边形 ABCD是正方形，BAC= BAD=45，由作图可知：AE 平分BAC，BAE=CAE=22.5，PQ 是 AE的中垂线，AEPQ，AOL=90，AOL=LBK=90，ALO=KLB，LKB=BAE=22.5；故正确；5OG 是 AE的中垂线，AG=EG，AEG=EAG=22.5=BAE，EGAB，故正确；LAO=GAO，AOL=AOG=90，ALO=AGO，CGF=AGO，BLK=ALO，CGF=
8、BLK，在 RtBKL 中，tanCGF=tanBLK= ，故正确；连接 EL，AL=AG=EG，EGAB，四边形 ALEG是菱形，AL=EL=EGBL， ，EGAB，CEGCBA， = ，故不正确；本题正确的是：，故选：A7.（2018浙江省台州4 分）下列命题正确的是（ ）A对角线相等的四边形是平行四边形B对角线相等的四边形是矩形C对角线互相垂直的平行四边形是菱形D对角线互相垂直且相等的四边形是正方形6【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可【解答】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，A 错误；对角线相等的平行四边形是矩形，B 错误；对角线互相垂直的平行四边形是菱形
9、，C 正确；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；故选：C【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理8. （2018莱芜3 分）如图，在矩形 ABCD中，ADC 的平分线与 AB交于 E，点 F在 DE的延长线上，BFE=90，连接 AF、CF，CF 与 AB交于 G有以下结论：AE=BCAF=CFBF 2=FGFCEGAE=BGAB其中正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【分析】只要证明ADE 为直角三角形即可只要证明AEFCBF（SAS）即可；假设 BF2=FGFC，则FBGFCB，推出FBG=FCB=45
10、，由ACF=45，推出ACB=90，显然不可能，故错误，由ADFGBF，可得 = = ，由 EGCD，推出 = = ，推出 = ，由AD=AE，EGAE=BGAB，故正确，【解答】解：DE 平分ADC，ADC 为直角，ADE= 90=45，ADE 为直角三角形AD=AE，又四边形 ABCD矩形，AD=BC，7AE=BCBFE=90，BFE=AED=45，BFE 为等腰直角三角形，则有 EF=BF又AEF=DFB+ABF=135，CBF=ABC+ABF=135，AEF=CBF在AEF 和CBF 中，AE=BC，AEF=CBF，EF=BF，AEFCBF（SAS）AF=CF假设 BF2=FGFC，则
11、FBGFCB，FBG=FCB=45，ACF=45，ACB=90，显然不可能，故错误，BGF=180CGB，DAF=90+EAF=90+（90AGF）=180AGF，AGF=BGC，DAF=BGF，ADF=FBG=45，ADFGBF， = = ，EGCD， = = ， = ，AD=AE，EGAE=BGAB，故正确，故选：C【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型9. （2018陕西3 分） 如图，在菱形 ABCD中，点 E.F、 G、 H分别是边 AB.BC.CD和 DA的中点，连接 EF、 FG
12、、 GH和 HE若 EH2 EF，则下列结论正确的是8A. AB EF B. AB2 EF C. AB EF D. AB EF【答案】D【解析】 【分析】连接 AC.BD交于点 O，由菱形的性质可得 OA= AC，OB= BD，ACBD，由中位线定理可得 EH= BD，EF= AC，根据 EH=2EF，可得 OA=EF，OB=2EF，在 RtAOB 中，根据勾股定理即可求得 AB= EF，由此即可得到答案.【详解】连接 AC.BD交于点 O，四边形 ABCD是菱形，OA= AC，OB= BD，ACBD，E.F、G、H 分别是边 AB.BC.CD和 DA的中点，EH= BD，EF= AC，EH=
13、2EF，OA=EF，OB=2OA=2EF，在 RtAOB 中，AB= = EF，故选 D.【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等，正确添加辅助线是解决问题的关键.10.（2018辽宁大连3 分）如图，菱形 ABCD中，对角线 AC，BD 相交于点 O，若AB=5，AC=6，则 BD的长是（ ）9A8 B7 C4 D3解：四边形 ABCD是菱形，OA=OC=3，OB=OD，ACBD在 RtAOB 中，AOB=90，根据勾股定理，得：OB= = =4，BD=2OB=8 故选 A11.（2018江苏常州2 分）下列命题中，假命题是（ ）A一组对边相等的四边形是平行四边形B三个角是
14、直角的四边形是矩形C四边相等的四边形是菱形D有一个角是直角的菱形是正方形【分析】根据矩形、正方形、平行四边形、菱形的判定即可求出答案【解答】解：A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是假命题；B.三个角是直角的四边形是矩形，是真命题；C.四边相等的四边形是菱形，是真命题；D.有一个角是直角的菱形是正方形，是真命题；故选：A【点评】本题考查菱形、矩形和平行四边形的判定与命题的真假区别，关键是根据矩形、正方形、平行四边形、菱形的判定解答二.填空题1. （2018广西贺州3 分）如图，正方形 ABCD的边长为 12，点 E在边 AB上，BE=8，过点 E作 EFBC，分别交 BD.CD于 G、
15、F 两点若点 P、Q 分别为 DG、CE 的中点，则 PQ的长为 【解答】解：作 QMEF 于点 M，作 PNEF 于点 N，作 QHPN 交 PN的延长线于点 H，如右图所示，正方形 ABCD的边长为 12，BE=8，EFBC，点 P、Q 分别为 DG、CE 的中点，DF=4，CF=8，EF=12，MQ=4，PN=2，MF=6，10QMEF，PNEF，BE=8，DF=4，EGBFGD， ，即 ，解得，FG=4，FN=2，MN=62=4，QH=4，PH=PN+QM，PH=6，PQ= = ，故答案为：2 2.（2018四川省攀枝花3 分）如图，在矩形 ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一
16、动点P满足 SPAB = S 矩形 ABCD，则点 P到 A.B两点的距离之和 PA+PB的最小值为 解：设ABP 中 AB边上的高是 hS PAB = S 矩形 ABCD， ABh= ABAD，h= AD=2，动点 P在与 AB平行且与 AB的距离是 2的直线 l上，如图，作 A关于直线 l的对称点 E，连接 AE，连接 BE，则 BE的长就是所求的最短距离11在 RtABE 中，AB=4，AE=2+2=4，BE= = =4 ，即 PA+PB的最小值为 4 故答案为：4 3.（2018浙江省台州5 分）如图，在正方形 ABCD中，AB=3，点 E，F 分别在 CD，AD 上，CE=DF，BE
17、，CF 相交于点 G若图中阴影部分的面积与正方形 ABCD的面积之比为 2：3，则BCG 的周长为 +3 【分析】根据面积之比得出BGC 的面积等于正方形面积的 ，进而依据BCG 的面积以及勾股定理，得出 BG+CG的长，进而得出其周长【解答】解：阴影部分的面积与正方形 ABCD的面积之比为 2：3，阴影部分的面积为 9=6，空白部分的面积为 96=3，由 CE=DF，BC=CD，BCE=CDF=90，可得BCECDF，BCG 的面积与四边形 DEGF的面积相等，均为 3= ，设 BG=a，CG=b，则 ab= ，又a 2+b2=32，a 2+2ab+b2=9+6=15，即（a+b） 2=15
18、，a+b= ，即 BG+CG= ，BCG 的周长= +3，故答案为： +3【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形面积问题解题12时注意数形结合思想与方程思想的应用4(2018辽宁省葫芦岛市) 如图，在菱形 OABC中，点 B在 x轴上，点 A的标为（2，3） ，则点 C的坐标为 （2，3） 【解答】解：四边形 OABC是菱形，A.C 关于直线 OB对称A（2，3） ，C（2，3） 故答案为：（2，3） 5 （2018辽宁省阜新市）如图，在矩形 ABCD中，点 E为 AD中点，BD 和 CE相交于点 F，如果 DF=2，那么线段 BF的长度为 4 【解答】解：四边形 A
19、BCD是矩形，ADBC，AD=BC，DEFBCF， = 点 E为 AD中点，DE= AD，DE = BC， = ，BF=2DF=4故答案为：46. （2018呼和浩特3 分）如图，已知正方形 ABCD，点 M是边 BA延长线上的动点（不与点 A重合） ，且 AMAB，CBE 由DAM 平移得到若过点 E作 EHAC，H 为垂足，则有以下结论：点 M位置变化，使得DHC=60时，2BE=DM；无论点 M运动到何处，都有DM= HM；无论点 M运动到何处，CHM 一定大于 135其中正确结论的序号为 解：由题可得，AM=BE，AB=EM=AD，13四边形 ABCD是正方形，EHAC，EM=AH，A
20、HE=90，MEH=DAH=45=EAH，EH=AH，MEHDAH（SAS） ，MHE=DHA，MH=DH，MHD=AHE=90，DHM 是等腰直角三角形，DM= HM，故 正确；当DHC=60时，ADH=6045=15，ADM=4515=30，RtADM 中，DM=2AM，即 DM=2BE，故正确；点 M是边 BA延长线上的动点（不与点 A重合） ，且 AMAB，AHMBAC=45，CHM135，故正确；故答案为：7. （2018乐山3 分）如图，四边形 ABCD是正方形，延长 AB到点 E，使 AE=AC，连结CE，则BCE 的度数是 度解：四边形 ABCD是正方形，CAB=BCA=45；
21、ACE 中，AC=AE，则：ACE=AEC= （180CAE）=67.5；BCE=ACEACB=22.5故答案为：22.58. （2018莱芜4 分）如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是 2 和 2，则图中阴影部分的14面积是 2 【分析】由正方形的面积公式和正三角形的面积公式求得图中大矩形的宽和长，然后求大矩形的面积，从而求得图中阴影部分的面积【解答】解：设正三角形的边长为 a，则 a2 =2 ，解得 a=2 则图中阴影部分的面积=2 2=2故答案是：2【点评】考查了二次根式的应用解题的关键是根据图中正三角形和正方形的
22、面积求得大矩形的长和宽9. （2018湖北咸宁3 分）如图，将正方形 OEFG放在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 E的坐标为（2，3） ，则点 F的坐标为_【答案】 （1，5）【解析】 【分析】结合全等三角形的性质可以求得点 G的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点 F的坐标【详解】如图，过点 E作 x轴的垂线 EH，垂足为 H过点 G作 x轴的垂线 EG，垂足为 G，连接 GE.FO交于点 O，四边形 OEFG是正方形，OG=EO，GOM=OEH，OGM=EOH，在OGM 与EOH 中，OGMEOH（ASA） ，GM=OH=2，OM=EH=3，G（3，2） ，O（ ， ） ，15点
23、F与点 O关于点 O对称，点 F的坐标为 （1，5） ，故答案是：（1，5） 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、中点坐标公式等，正确添加辅助线以及熟练掌握和运用相关内容是解题的关键.10.（2018江苏镇江2 分）如图，点 E.F、G 分别在菱形 ABCD的边 AB，BC，AD 上，AE=AB，CF= CB，AG= AD已知EFG 的面积等于 6，则菱形 ABCD的面积等于 27 【解答】解：在 CD上截取一点 H，使得 CH= CD连接 AC交 BD于 O，BD 交 EF于 Q，EG交 AC于 P = ，EGBD，同法可证：FHBD，EGFH，同法可证 EFGF，四边形
24、 EFGH是平行四边形，四边形 ABCD是菱形，ACBD，EFEG，四边形 EFGH是矩形，易证点 O在线段 FG上，四边形 EQOP是矩形，S EFG =6，S 矩形 EQOP=3，即 OPOQ=3，OP：OA=BE：AB=2：3，OA= OP，同法可证 OB=3OQ，16S 菱形 ABCD= ACBD= 3OP6OQ=9OPOQ=27故答案为 27三.解答题1. （2018广西贺州8 分）如图，在ABC 中，ACB=90，O、D 分别是边 AC.AB的中点，过点 C作 CEAB 交 DO的延长线于点 E，连接 AE（1）求证：四边形 AECD是菱形；（2）若四边形 AECD的面积为 24，
25、tanBAC= ，求 BC的长【解答】 （1）证明：点 O是 AC中点，OA=OC，CEAB，DAO=ECO，在AOD 和COE 中，AODCOE（ASA） ，AD=CE，CEAB，四边形 AECD是平行四边形，又CD 是 RtABC 斜边 AB上的中线，CD=AD，四边形 AECD是菱形；（2）由（1）知，四边形 AECD是菱形，ACED，在 RtAOD 中，tanDAO= ，设 OD=3x，OA=4x，则 ED=2OD=6x，AC=2OA=8x，由题意可得： ，解得：x=1，17OD=3，O，D 分别是 AC，AB 的中点，OD 是ABC 的中位线，BC=2OD=62. （2018湖北荆州
26、8 分）如图，对折矩形纸片 ABCD，使 AB与 DC重合，得到折痕MN，将纸片展平；再一次折叠，使点 D落到 MN上的点 F处，折痕 AP交 MN于 E；延长 PF交 AB于 G求证：（1）AFGAFP；（2）APG 为等边三角形【解答】证明：（1）由折叠可得：M、N 分别为 AD.BC的中点，DCMNAB，F 为 PG的中点，即 PF=GF，由折叠可得：PFA=D=90，1=2，在AFP 和AFG 中，AFPAFG（SAS） ；（2）AFPAFG，AP=AG，AFPG，2=3，1=2，1=2=3=30，2+3=60，即PAG=60，APG 为等边三角形3. （2018湖北十堰10 分）已知
27、正方形 ABCD与正方形 CEFG，M 是 AF的中点，连接DM，EM（1）如图 1，点 E在 CD上，点 G在 BC的延长线上，请判断 DM，EM 的数量关系与位置关系，并直接写出结论；18（2）如图 2，点 E在 DC的延长线上，点 G在 BC上， （1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；（3）将图 1中的正方形 CEFG绕点 C旋转，使 D，E，F 三点在一条直线上，若AB=13，CE=5，请画出图形，并直接写出 MF的长【分析】 （1）结论：DMEM，DM=EM只要证明AMHFME，推出 MH=ME，AH=EF=EC，推出 DH=DE，因为EDH=90，可得 DMEM，DM=ME；（
28、2）结论不变，证明方法类似；（3）分两种情形画出图形，理由勾股定理以及等腰直角三角形的性质解决问题即可；【解答】解：（1）结论：DMEM，DM=EM理由：如图 1中，延长 EM交 AD于 H四边形 ABCD是正方形，四边形 EFGC是正方形，ADE=DEF=90，AD=CD，ADEF，MAH=MFE，AM=MF，AMH=FME，AMHFME，MH=ME，AH=EF=EC，DH=DE，EDH=90，DMEM，DM=ME（2）如图 2中，结论不变DMEM，DM=EM19理由：如图 2中，延长 EM交 DA的延长线于 H四边形 ABCD是正方形，四边形 EFGC是正方形，ADE=DEF=90，AD=
29、CD，ADEF，MAH=MFE，AM=MF，AMH=FME，AMHFME，MH=ME，AH=EF=EC，DH=DE，EDH=90，DMEM，DM=ME（3）如图 3中，作 MRDE 于 R在 RtCDE 中，DE= =12，DM=NE，DMME，MR=DE，MR= DE=6，DR=RE=6，在 RtFMR 中，FM= = =如图 4中，作 MRDE 于 R20在 RtMRF 中，FM= = ，故满足条件的 MF的值为 或 【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质，灵活运用相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键4.（2018四川省攀枝花）已知ABC 中
30、，A=90（1）请在图 1中作出 BC边上的中线（保留作图痕迹，不写作法） ；（2）如图 2，设 BC边上的中线为 AD，求证：BC=2AD（1）解：如图 1，AD 为所作；（2）证明：延长 AD到 E，使 ED=AD，连接 EB.EC，如图 2CD=BD，AD=ED，四边形 ABEC为平行四边形CAB=90，四边形 ABEC为矩形，AE=BC，BC=2AD5.（2018云南省昆明12 分）如图 1，在矩形 ABCD中，P 为 CD边上一点（DPCP） ，APB=90将ADP 沿 AP翻折得到ADP，PD的延长线交边 AB于点 M，过点 B作BNMP 交 DC于点 N（1）求证：AD 2=DP
31、PC；（2 ）请判断四边形 PMBN的形状，并说明理由；（3）如图 2，连接 AC，分别交 PM，PB 于点 E，F若 = ，求 的值21【分析】 （1）过点 P作 PGAB 于点 G，易知四边形 DPGA，四边形 PCBG是矩形，所以AD=PG，DP=AG，GB=PC，易证APGPBG，所以 PG2=AGGB，即 AD2=DPPC；（2）DPAB，所以DPA=PAM，由题意可知：DPA=APM，所以PAM=APM，由于APBPAM=APBAPM，即ABP=MPB，从而可知 PM=MB=AM，又易证四边形 PMBN是平行四边形，所以四边形 PMBN是菱形；（3）由于 = ，可设 DP=1，AD
32、=2，由（1）可知：AG=DP=1，PG=AD=2，从而求出GB=PC=4，AB=AG+GB=5，由于 CPAB，从而可证PCFBAF，PCEMAE，从而可得 ， ，从而可求出 EF=AFAE= AC = AC，从而可得 = 【解答】解：（1）过点 P作 PGAB 于点 G，易知四边形 DPGA，四边形 PCBG是矩形，AD=PG，DP=AG，GB=PCAPB=90，APG+GPB=GPB+PBG=90，APG=PBG，APGPBG， ，PG 2=AGGB，即 AD2=DPPC；（2）DPAB，DPA=PAM，由题意可知：DPA=APM，PAM=APM，APBPAM=APBAPM，即ABP=M
33、PBAM=PM，PM=MB，PM=MB，又易证四边形 PMBN是平行四边形，四边形 PMBN是菱形；（3）由于 = ，22可设 DP=1，AD=2，由（1）可知：AG=DP=1，PG=AD=2，PG 2=AGGB，4=1GB，GB=PC=4，AB=AG+GB=5，CPAB，PCFBAF， = = ， ，又易证：PCEMAE，AM= AB= = = = ，EF=AFAE= AC = AC， = =【点评】本题考查相似三角形的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识6 （2018辽宁省沈阳市） （8.00 分）如图
34、，在菱形 ABCD中，对角线 AC与 BD交于点O过点 C作 BD的平行线，过点 D作 AC的平行线，两直线相交于点 E（1）求证：四边形 OCED是矩形；（2）若 CE=1，DE=2，ABCD 的面积是 4 23【分析】 （1）欲证明四边形 OCED是矩形，只需推知四边形 OCED是平行四边形，且有一内角为 90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答【解答】 （1）证明：四边形 ABCD是菱形，ACBD，COD=90CEOD，DEOC，四边形 OCED是平行四边形，又COD=90，平行四边形 OCED是矩形；（2）由（1）知，平行四边形 OCED是矩形，则 CE=OD=
35、1，DE=OC=2四边形 ABCD是菱形，AC=2OC=4，BD=2OD=2，菱形 ABCD的面积为： ACBD= 42=4故答案是：4【点评】考查了矩形的判定与性质，菱形的性质此题中，矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明有一内角为直角7 （2018重庆市 B卷） （10.00 分）如图，在ABCD 中，ACB=45，点 E在对角线 AC上，BE=BA，BFAC 于点 F，BF 的延长线交 AD于点 G点 H在 BC的延长线上，且 CH=AG，连接EH（1）若 BC=12 ，AB=13，求 AF的长；（2）求证：EB=EH24【分析】 （1）依据 BFAC，ACB=45，BC=1
36、2 ，可得等腰 RtBCF 中，BF=sin45BC=12，再根据勾股定理，即可得到 RtABF 中，AF= =5；（2）连接 GE，过 A作 AFAG，交 BG于 P，连接 PE，判定四边形 APEG是正方形，即可得到 PF=EF，AP=AG=CH，进而得出APBHCE，依据 AB=EH，AB=BE，即可得到 BE=EH【解答】解：（1）如图，BFAC，ACB=45，BC=12 ，等腰 RtBCF 中，BF=sin45BC=12，又AB=13，RtABF 中，AF= =5；（2）如图，连接 GE，过 A作 AFAG，交 BG于 P，连接 PE，BE=BA，BFAC，AF=FE，BG 是 AE
37、的垂直平分线，AG=EG，AP=EP，GAE=ACB=45，AGE 是等腰直角三角形，即AGE=90，APE 是等腰直角三角形，即APE=90，APE=PAG=AGE=90，又AG=EG，四边形 APEG是正方形，PF=EF，AP=AG=CH，又BF=CF，BP=CE，APG=45=BCF，APB=HCE=135，APBHCE（SAS） ，AB=EH，又AB=BE，BE=EH25【点评】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定以及全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分8. （2018呼和浩特6 分）如图，已知 A.F、C
38、.D 四点在同一条直线上，AF=CD，ABDE，且 AB=DE（1）求证：ABCDEF；（2）若 EF=3，DE=4，DEF=90，请直接写出使四边形 EFBC为菱形时 AF的长度（1）证明：ABDE，A=D，AF=CD，AF+FC=CD+FC，即 AC=DF，AB=DE，ABCDEF（2）如图，连接 AB交 AD于 O在 RtEFD 中，DEF=90，EF=3，DE=4，DF= =5，四边形 EFBC是菱形，BECF，EO= = ，26OF=OC= = ，CF= ，AF=CD=DFFC=5 = 9. （2018广安6 分）如图，四边形 ABCD是正方形，M 为 BC上一点，连接 AM，延长
39、AD至点 E，使得 AE=AM，过点 E作 EFAM，垂足为 F，求证：AB=EF【分析】根据 AAS证明ABMEFA，可得结论【解答】证明：四边形 ABCD为正方形，B=90，ADBC， （2 分）EAF=BMA，EFAM，AFE=90=B， （4 分）在ABM 和EFA 中， ，ABMEFA（AAS） ， （5 分）AB=EF （6 分）【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定是关键10. （2018陕西7 分）如图，已知在正方形 ABCD中， M是 BC边上一定点，连接 AM，请用尺规作图法，在 AM上求作一点 P，使得 DPA ABM（不写做法保
40、留作图痕迹）【答案】作图见解析.【解析】 【分析】根据尺规作图的方法过点 D作 AM的垂线即可得27【详解】如图所示，点 P即为所求作的点.【点睛】本题考查了尺规作图作垂线，熟练掌握作图的方法是解题的关键.如图， AB CD， E.F分别为 AB.CD上的点，且 EC BF，连接 AD，分别与 EC.BF相交与点G、 H，若 AB CD，求证： AG DH【答案】证明见解析.【解析】 【分析】利用 AAS先证明ABH DCG，根据全等三角形的性质可得 AH=DG，再根据AHAGGH，DGDHGH 即可证得 AGHD.【详解】ABCD，AD，CEBF，AHBDGC，在ABH 和DCG 中，ABHDCG(AAS)，AH DG，AHAGGH，DGDHGH，AGHD.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
