1、1操作探究一.选择题1 （2018临安3 分.）z 如图，正方形硬纸片 ABCD 的边长是 4，点 E.F 分别是 AB.BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅” ，则图中阴影部分的面积是（ ）A2 B4 C8 D10【分析】本题考查空间想象能力【解答】解：阴影部分由一个等腰直角三角形和一个直角梯形组成，由第一个图形可知：阴影部分的两部分可构成正方形的四分之一，正方形的面积=44=16，图中阴影部分的面积是 164=4故选：B【点评】解决本题的关键是得到阴影部分的组成与原正方形面积之间的关系%z#step.co&2. （2018嘉兴3 分）将一张正方形纸片按如图步骤,沿虚线
2、对折两次,然后沿中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是（ ）A. （A） B. （B） C. （C） D. （D）【答案】A【解析】 【分析】根据两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠, 展开后所得图形的顶点一定在正方形的对角线上, 根据的剪法，中间应该是一个正方形.【解答】根据题意，两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠的，根据的剪法，展开后所得图形的顶点一定在正方形的对角线上,而且中间应该是一个正方形.故选 A2【点评】关键是要理解折叠的过程，得到关键信息，如本题得到展开后的图形的顶点在正方形的对角线上是解题的关键3. （2018广西南宁3 分）如图，矩形纸片 ABCD，AB=4，BC=
3、3，点 P 在 BC 边上，将CDP 沿DP 折叠，点 C 落在点 E 处，PE.DE 分别交 AB 于点 O、F，且 OP=OF，则 cosADF 的值为（ ）A B C D【分析】根据折叠的性质可得出 DC=DE.CP=EP，由EOF=BOP、B=E.OP=OF 可得出OEFOBP（AAS） ，根据全等三角形的性质可得出 OE=OB.EF=BP，设 EF=x，则BP=x、DF=4x、BF=PC=3x，进而可得出 AF=1+x，在 RtDAF 中，利用勾股定理可求出 x 的值，再利用余弦的定义即可求出 cosADF 的值【解答】解：根据折叠，可知：DCPDEP，DC=DE=4，CP=EP在O
4、EF 和OBP 中， ，OEFOBP（AAS） ，OE=OB，EF=BP设 EF=x，则 BP=x，DF=DEEF=4x，又BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BCBP=3x，AF=ABBF=1+x在 RtDAF 中，AF 2+AD2=DF2，即（1+x） 2+32=（4x） 2，解得：x= ，DF=4x= ，cosADF= = 故选：C3【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合 AF=1+x，求出 AF 的长度是解题的关键4.（2018海南3 分）如图 1，分别沿长方形纸片 ABCD 和正方形纸片 EFGH 的对角线 AC，EG 剪开，
5、拼成如图 2 所示的KLMN，若中间空白部分四边形 OPQR 恰好是正方形，且KLMN 的面积为50，则正方形 EFGH 的面积为（ ）A24 B25 C26 D27【分析】如图，设 PM=PL=NR=AR=a，正方形 ORQP 的边长为 b，构建方程即可解决问题；【解答】解：如图，设 PM=PL=NR=AR=a，正方形 ORQP 的边长为 b由题意：a 2+b2+（a+b） （ab）=50，a 2=25，正方形 EFGH 的面积=a 2=25，故选：B【点评】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考
6、选择题中的压轴题二.填空题1. （2018杭州4 分）折叠矩形纸片 ABCD 时，发现可以进行如 下操4作：把ADE 翻折，点 A 落在 DC 边上的点 F 处，折痕为 DE，点 E 在 AB 边上；把纸片展开并铺平；把CDG 翻折，点 C 落在直线 AE 上的点 H 处，折痕为 DG，点 G 在 BC 边上，若AB=AD+2，EH=1，则 AD=_。【答案】 或 3 【考点】勾股定理，矩形的性质，正方形的性质，翻折变换（折叠问题） 【解析】 【解答】当点 H 在线段 AE 上时把ADE 翻折，点 A 落在 DC 边上的点 F 处，折痕为DE，点 E 在 AB 边上四边形 ADFE 是正方形A
7、D=AEAH=AE-EH=AD-1把CDG 翻折，点 C 落在直线 AE 上的点 H 处，折痕为 DG，点 G 在 BC 边上DC=DH=AB=AD+2在 RtADH 中，AD 2+AH2=DH2AD 2+（AD-1） 2=（AD+2） 2解之：AD=3+2 ，AD=3-2 （舍去）AD=3+2 当点 H 在线段 BE 上时则 AH=AE-EH=AD+1在 RtADH 中，AD 2+AH2=DH2AD 2+（AD+1） 2=（AD+2） 2解之：AD=3，AD=-1（舍去）故答案为： 或 3【分析】分两种情况：当点 H 在线段 AE 上；当点 H 在线段 BE 上。根据的折叠，可得出四边形 A
8、DFE 是正方形，根据正方形的性质可得出 AD=AE，从而可得出 AH=AD-1（或 AH=AD+1） ，再根据的折叠可得出 DH=AD+2，然后根据勾股定理求出 AD 的长。2.（2018临安3 分.）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用 5 个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（实线部分） ，经折叠后发现还少一个面，请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子（添加所有符合要求的正方形，添加的正方形用阴影表示） 5【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题【解答】解： ，故答案为： 【点评】本题通过考查正方体的侧面展开图，展示了这样
9、一个教学导向，教学中要让学生确实经历活动过程，而不要将活动层次停留于记忆水平我们有些老师在教学“展开与折叠”时，不是去引导学生动手操作，而是给出几种结论，这样教出的学生肯定遇到动手操作题型时就束手无策了3. （2018金华、丽水4 分）如图 2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形 ABCD 内，装饰图中的三角形顶点 E ， F 分别在边 AB ， BC 上，三角形的边 GD 在边 AD 上，则 的值是_ 【解析】 【解答】解：如图，过 G 作 GHBC 交 BC 于 H，交三角形斜边于点 I，6则 AB=GH=GI+HI，BC=AD=AG+GD=EI+GD。设原来七巧板的边长为 4，则三角
10、形斜边的长度=4，GI= ，三角形斜边长 IH= ，则 AB=GI+IH= +2，而 AG=EI=4，GD=4，则 BC=8， 故答案为： 。【分析】可设原来七巧板的边长为 4（或一个字母） ，在图 2 中，可分别求出 AB 与 BC 的长。过G 作 BC 的垂线段，垂足为 H，则 AB=GH，而 GH 恰好是三角形斜边上高的长度与三角形斜边长度的和；同样的可求出 BC 的，求比值即可。4. （2018湖北省恩施3 分）在 RtABC 中，AB=1，A=60，ABC=90，如图所示将RtABC 沿直线 l 无滑动地滚动至 RtDEF，则点 B 所经过的路径与直线 l 所围成的封闭图形的面积为
11、（结果不取近似值）【分析】先得到ACB=30，BC= ，利用旋转的性质可得到点 B 路径分部分：第一部分为以直角三角形 30的直角顶点为圆心， 为半径，圆心角为 150的弧长；第二部分为以直角三角形 60的直角顶点为圆心，1 为半径，圆心角为 120的弧长，然后根据扇形的面积公式计算点 B 所经过的路径与直线 l 所围成的封闭图形的面积【解答】解：RtABC 中，A=60，ABC=90，ACB=30，BC= ，将 RtABC 沿直线 l 无滑动地滚动至 RtDEF，点 B 路径分部分：第一部分为以直角三角形30的直角顶点为圆心， 为半径，圆心角为 150的弧长；第二部分为以直角三角形 607的
12、直角顶点为圆心，1 为半径，圆心角为 120的弧长；点 B 所经过的路径与直线 l 所围成的封闭图形的面积= + =故答案为 【点评】本题考查了轨迹：利用特殊几何图形描述点运动的轨迹，然后利用几何性质计算相应的几何量5.（2018贵州贵阳 8 分） 如图，在 RtABC 中，以下是小亮探究 与 之间关系的方法：sinA= ，sinB=c= ，c= =根据你掌握的三角函数知识在图的锐角ABC 中，探究 、 、 之间的关系，并写出探究过程【分析】三式相等，理由为：过 A 作 ADBC，BEAC，在直角三角形 ABD 中，利用锐角三角函数定义表示出 AD，在直角三角形 ADC 中，利用锐角三角函数定
13、义表示出 AD，两者相等即可得证【解答】解： = = ，理由为：过 A 作 ADBC，BEAC，在 RtABD 中，sinB= ，即 AD=csinB，在 RtADC 中，sinC= ，即 AD=bsinC，csinB=bsinC，即 = ，8同理可得 = ，则 = = 【点评】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键三.解答题1.（2018江苏无锡10 分）如图，平面直角坐标系中，已知点 B 的坐标为（6，4） （1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线 AC，它与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于点 A 和点 C，且使ABC=90，ABC 与AOC 的面积相等 （作图
14、不必写作法，但要保留作图痕迹 ）（2）问：（1）中这样的直线 AC 是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线 AC，并写出与之对应的函数表达式【分析】 （1）作线段 OB 的垂直平分线 AC，满足条件，作矩形 OABC，直线 AC，满足条件；（2）分两种情形分别求解即可解决问题；【解答】 （1）解：如图ABC 即为所求；（2）解：这样的直线不唯一作线段 OB 的垂直平分线 AC，满足条件，此时直线的解析式为 y= x+ 9作矩形 OABC，直线 AC，满足条件，此时直线 AC的解析式为 y= x+4【点评】本题考查作图复杂作图，待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握基
15、本知识，属于中考常考题型2.（2018江苏徐州7 分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC 的顶点均在格点上，点 B 的坐标为（1，0）画出ABC 关于 x 轴对称的A 1B1C1；画出将ABC 绕原点 O 按逆时针旋转 90所得的A 2B2C2；A 1B1C1与A 2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；A 1B1C1与A 2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标【分析】 （1）将三角形的各顶点，向 x 轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点，顺次连接；（2）将三角形的各顶点，绕原点 O 按
16、逆时针旋转 90得到三点的对应点顺次连接各对应点得A 2B2C2；（3）从图中可发现成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，做它的垂直平分线；（4）成中心对称图形，画出两条对应点的连线，交点就是对称中心【解答】解：如下图所示：10（3）成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，作它的垂直平分线，或连接 A1C1，A 2C2的中点的连线为对称轴（4）成中心对称，对称中心为线段 BB2的中点 P，坐标是（ ， ） 【点评】本题综合考查了图形的变换，在图形的变换中，关键是找到图形的对应点3.（2018山东东营市10 分） （1）某学校“智慧方园”数学
17、社团遇到这样一个题目：如图 1，在ABC 中，点 O 在线段 BC 上，BAO=30，OAC=75，AO= ，BO：CO=1：3，求 AB 的长经过社团成员讨论发现，过点 B 作 BDAC，交 AO 的延长线于点 D，通过构造ABD 就可以解决问题（如图 2） 请回答：ADB= 75 ，AB= 4 （2）请参考以上解决思路，解决问题：如图 3，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点O，ACAD，AO= ，ABC=ACB=75，BO：OD=1：3，求 DC 的长【分析】 （1）根据平行线的性质可得出ADB=OAC=75，结合BOD=COA 可得出BODCOA，利用相似三角形的性
18、质可求出 OD 的值，进而可得出 AD 的值，由三角形内角和定理可得出ABD=75=ADB，由等角对等边可得出 AB=AD=4 ，此题得解；11（2）过点 B 作 BEAD 交 AC 于点 E，同（1）可得出 AE=4 ，在 RtAEB 中，利用勾股定理可求出 BE 的长度，再在 RtCAD 中，利用勾股定理可求出 DC 的长，此题得解【解答】解：（1）BDAC，ADB=OAC=75BOD=COA，BODCOA， = = 又AO= ，OD= AO= ，AD=AO+OD=4 BAD=30，ADB=75，ABD=180BADADB=75=ADB，AB=AD=4 故答案为：75；4 （2）过点 B
19、作 BEAD 交 AC 于点 E，如图所示ACAD，BEAD，DAC=BEA=90AOD=EOB，AODEOB， = = BO：OD=1：3， = = AO=3 ，EO= ，AE=4 ABC=ACB=75，BAC=30，AB=AC，AB=2BE在 RtAEB 中，BE 2+AE2=AB2，即（4 ） 2+BE2=（2BE） 2，解得：BE=4，AB=AC=8，AD=1212在 RtCAD 中，AC 2+AD2=CD2，即 82+122=CD2，解得：CD=4 【点评】本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出 OD
20、 的值；（2）利用勾股定理求出 BE.CD的长度4.（2018山东济宁市7 分）在一次 数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所示）面积的方法，现有以下工具； 卷尺；直棒 EF；T 型尺（C D 所在的直线垂 直平分线段AB（ 1）在图 1 中，请你 画出用 T 形尺找大圆圆 心的示意图（保留画图痕迹，不写 画法 ；（ 2） 如图 2， 小华说： “我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积， 具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切用卷尺量出此时直棒与大圆两交点 MN 之间的距离， 就可求出环形花坛的面积 ”如果测得M N=10m，请你求出这个环形花坛的面积13【 解答 】 解 （
21、1）如图点 O 即为所求；（ 2）设切点为 C，连接 OM，O CM N 是切线，O CM N，CM= CN=5，OM 2O C2=CM2=25，S 圆环 =OM 2O C2=255.一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图 1，点 P 是正方形 ABCD 内一点，PA=1，PB=2，PC=3你能求出APB 的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将BPC 绕点 B 逆时针旋转 90，得到BPA，连接 PP，求出APB 的度数；思路二：将APB 绕点 B 顺时针旋转 90，得到CPB，连接 PP，求出APB 的度数14请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程【类比探究
22、】如图 2，若点 P 是正方形 ABCD 外一点，PA=3，PB=1，PC= ，求APB 的度数【分析】 （1）思路一、先利用旋转求出PBP=90，BP=BP=2，AP=CP=3，利用勾股定理求出 PP，进而判断出APP是直角三角形，得出APP=90，即可得出结论；思路二、同思路一的方法即可得出结论；（2）同（1）的思路一的方法即可得出结论【解答】解：（1）思路一、如图 1，将BPC 绕点 B 逆时针旋转 90，得到BPA，连接 PP，ABPCBP，PBP=90，BP=BP=2，AP=CP=3，在 RtPBP中，BP=BP=2，BPP=45，根据勾股定理得，PP= BP=2 ，AP=1，AP
23、2+PP2=1+8=9，AP 2=32=9，AP 2+PP2=AP2，APP是直角三角形，且APP=90，APB=APP+BPP=90+45=135；思路二、同思路一的方法；（2）如图 2，将BPC 绕点 B 逆时针旋转 90，得到BPA，连接 PP，ABPCBP，PBP=90，BP=BP=1，AP=CP= ，在 RtPBP中，BP=BP=1，BPP=45，根据勾股定理得，PP= BP= ，15AP=3，AP 2+PP2=9+2=11，AP 2=（ ） 2=11，AP 2+PP2=AP2，APP是直角三角形，且APP=90，APB=APPBPP=9045=45【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键6. （2018金华、丽水8 分）如图，在 66 的网格中，每个小正方形的边长为 1，点 A 在格点（小正方形的顶点）上试在各网格中画出顶点在格点上，面积为 6，且符合相应条件的图形【解析】 【分析】根据每个图形的面积公式配凑即可：三角形的面积是“ ”，即“底高=12” ；平行四边形的面积是“底高” ，即底高=6，根据底和高的积配凑画出符合题意的图形即16可。
