1、1压轴大题高分练 8.函数与导数(D 组)压轴大题集训练,练就慧眼和规范,筑牢高考高分根基!1.已知函数 f(x)=(x-4)ex-2+mx(mR).(1)当 x2 时,f(x)0 恒成立,求实数 m 的取值范围.(2)证明:当 a0,1)时,函数 g(x)= (x2)有最小值,设 g(x)最小值为h(a),求函数 h(a)的值域.【解析】(1)因为 f(x)=(x-4)ex-2+mx0 对x(2,+)恒成立 ,等价于 ex-2-m 对x(2,+)恒成立,设 (x)= ex-2= ex-2,(x)= ex-2= ex-20,(1-4+42)故 (x)在(2,+)上单调递增,当 x2 时,由题意
2、知 (x)(2)=-1,所以-m-1,即 m1,所以实数 m 的取值范围为1,+).(2)对 g(x)= (x2)求导得 g(x)= =(x2),记 F(x)= ex-2+a(x2),由(1)知 F(x)在区间(2,+)内单调递增,2又 F(2)=-1+a0,g(x)0,函数 g(x)在区间(x 0,+)上单调递增; 所以 g(x)在(2,+)内有最小值 g(x0)= .由题设即 h(a)= .又因为-a= ,所以 h(a)= .0-400-2 100-2根据(1)知,(x)= ex-2在(2,+)内单调递增, =-a(-1,0,0-400-2所以 20,函数 u(x)在区间(2,4内单调递增
3、,所以 u(2)2.【解析】(1)f(x)=e x+xex=ex(x+1),令 f(x)=0,解得 x=-1,当 x 变化时,f(x),f(x)的变化情况如表:x (-,-1) -1 (-1,+)f(x) 0f(x) 单调递减-单调递增所以函数 f(x)的增区间为(-1,+),减区间为(-,-1);函数 f(x)在 x=-1 处取得极小值 f(-1)=- ,无极大值.(2)由 g(x)=xex- a(x2+2x+1),12则 g(x)=(x+1)(e x-a),当 a=0 时,g(x)=xe x,易知函数 g(x)只有一个零点,不符合题意;当 a0,g(x)单调递增,又 g(-1)=- 0,当
4、 x-时,g(x)+,所以函数 g(x)有两个零点;当 00,g(x)单调递增,在(ln a,-1)上 g(x)时,在(-,-1)和(ln a,+)上 g(x)0,g(x)单调递增,在(-1,ln a)上 g(x)0 0 x2,根据 h(x1)=h(x2)结合图象可知 x11,x21,2x-20,所以 e2x-2-10,则 F(x)0,所以 F(x)在(1,+)上单调递增,又因为 F(1)=0,所以 x1 时,F(x)F(1)=0,即当 x1 时,h(x)h(2-x),则 h(x1)h(2-x1),又 h(x1)=h(x2),所以 h(x2)h(2-x1),因 x11,所以 2-x12-x1,所以 x1+x22 得证.
