1、第2课时 数列求和及综合应用,热点考向一 Sn与an关系的应用考向剖析:本考向考题形式中选择、填空、解答都可能涉及,主要考查利用等差(比)数列的定义求通项公式,或知递推公式求通项公式,或利用an与Sn的关系求通项公式,难度为适中.,2019年高考该考向仍将是考查热点,考查形式将会灵活多变.,【典例1】(1)已知Sn为数列an的前n项和,a1=1,当n2时,Sn-1+1=an,则a8=_. (2)(2018顺德一模)已知数列an的前n项和为Sn,an0且满足an = 2Sn- 求数列an的通项公式; 求数列 的前n项和Tn.,【解析】(1)当n=2时,S1+1=a2,即a2=2. 当n2时, 相
2、减得an+1=2an, 又a1=1,所以a2=2a1. 所以数列an构成一个等比数列, 所以a8=a2q6=226=128. 答案:128,(2)当n=1时,a1=2a1- ,解得a1=1; 由an=2Sn- ,整理得 +2an+1=4Sn,() 所以 +2an+1+1=4Sn+1,(),()-()得: - +2an+1-2an=4an+1, 所以(an+1+an)(an+1-an-2)=0, 因为an0, 所以an+1-an-2=0,即an+1-an=2. 所以数列an是以1为首项,以2为公差的等差数列, 则an=1+2(n-1)=2n-1.,Tn= () () ()-()得:,所以Tn=1
3、- .,【名师点睛】求数列通项的六种方法 (1)归纳猜想法:先求出数列的前几项,通过归纳猜想得出数列的通项公式,一般出现在选择填空中. (2)公式法:判断数列是否为等差与等比数列,利用公式求解.,(3)利用Sn求an: 知Sn的关系式求an,通过公式an= 求; 已知Sn与an的关系式求an:利用an=Sn-Sn-1(n2)消去 Sn,得到关于an的关系式,从而可以求an,或消去an,得到 关于Sn的关系式,先求出Sn再求an.,(4)累加法:数列递推关系形如an+1=an+f(n),其中数列f(n)前n项和可求,这种类型的数列求通项公式时,常用累加法(叠加法). (5)累乘法:数列递推关系形
4、如an+1=g(n)an,其中数列g(n)前n项积可求,此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法).,(6)构造法:递推关系形如an+1=pan+q(p,q为常数)可 化为 的形式,利用 是以p为公比的等比数列求解; 递推关系形如an+1= (p为非零常数)可化为的形式.,【考向精炼】 1.已知Sn为数列an的前n项和,且log2(Sn+1)=n+1,则数列an的通项公式为_.,【解析】由log2(Sn+1)=n+1,得Sn+1=2n+1, 当n=1时,a1=S1=3; 当n2时,an=Sn-Sn-1=2n, 所以数列an的通项公式为an= 答案:an=,【易错警示】由Sn求an时,一定要注意分
5、成n=1和n2两种情况进行讨论,最后验证两者能否合并,即用一个式子来表示an,若不能,则用分段形式来表示an.,2.(2018绵阳二模)已知数列an的前n项和是Sn,且 Sn=2an-1(nN*). (1)求数列an的通项公式. (2)令bn=log2an,求数列(-1)n 前2n项的和T.,【解析】(1)当n2时,由 得an=2an-1 (nN*), 于是an是以2为公比的等比数列. 令n=1得a1=1,所以an=2n-1.,(2)bn=log2an=log22n-1=n-1, 于是数列bn是首项为0,公差为1的等差数列. T= =b1+b2+b3+b2n-1+b2n, 所以T= =n(2n
6、-1).,【加练备选】 1.(2018南充一诊)已知数列an满足:a1=1,an0,=1(nN*),那么使an5成立的n的最大值为( ) A.4 B.5 C.24 D.25,【解析】选C.由题意 =1, 所以 是首项为1,公差为1的等差数列, 所以 =1+(n-1)1=n, 又an0,则an= , 由an5得 5,所以n25. 那么使an5成立的n的最大值为24.,2.(2018郑州一模)已知数列an满足log2an+1=1+ log2an(nN*),且a1+a2+a3+a10=1,则log2(a101+a102 +a110)=_.,【解析】因为log2an+1=1+log2an(nN*),
7、所以log2an+1-log2an=1,即log2 =1,所以 =2. 所以数列an是公比q=2的等比数列. 则a101+a102+a110=(a1+a2+a3+a10)q100=2100, 所以log2(a101+a102+a110)=log22100=100. 答案:100,3.(2018内江一模)设数列an满足a1+2a2+4a3+ +2n-1an=n. (1)求数列an的通项公式. (2)求数列an+log2an的前n项和.,【解析】(1)因为数列an满足a1+2a2+4a3+2n-1an=n,所以当n2时,a1+2a2+4a3+2n-2an-1=n-1. 所以当n2时,2n-1an=
8、1,即an= , 当n=1时,an=1满足上式an= , 所以数列an的通项公式an= .,(2)由(1)知,an+log2an= +1-n, 所以(a1+log2a1)+(a2+log2a2)+(a3+log2a3)+ (an+log2an)=(1-0)+ = -1+2+3+(n-1),热点考向二 数列的求和问题 高频考向,类型一 裂项相消法求和 【典例2】(2018佛山一模)已知各项均不为零的等差 数列an的前n项和Sn.且满足2Sn= +n,R. (1)求的值. (2)求数列 的前n项和Tn.,【大题小做】,【解析】(1)因为数列an为等差数列,设an=An+B, 因为an的公差不为零,
9、则Sn= n,所以 2Sn=An2+(A+2B)n, 因为2Sn= +n,R,所以An2+(A+2B)n=A2n2+ (2AB+)n+B2,所以 解得,(2)由(1)知an=n,所以所以Tn=,【易错警示】 (1)相减时关注项的增减:抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.,(2)裂项时关注系数的变化:将通项裂项后,有时需要调 整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项 相等.如:若an是等差数列,则,【探究追问】 1.本例中求数列 的前n项和Tn. 【解析】因为 所以Tn=,2.本例中求数列 的前n项和Tn. 【解析】因为 所以Tn=,类型二 错位相减法
10、求和 【典例3】(2018新乡一模)已知Sn为等差数列an的前n项和,且a17=33,S7=49. (1)证明:a1,a5,a41成等比数列. (2)求数列an3n的前n项和Tn.,【审题导引】(1)要证明a1,a5,a41成等比数列,先求出数列通项an,进而得到a1,a5,a41的值,即得证. (2)要求数列an3n的前n项和,利用错位相减法计算即可.,【解析】(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d, 由于a17=33,S7=49, 则 解得a1=1,d=2, 所以an=2n-1. 则a1=1,a5=9,a41=81,即 =a1a41. 所以a1,a5,a41成等比数列.,(2)由(1)
11、得:an3n=(2n-1)3n, Tn=131+332+(2n-1)3n , 3Tn=132+333+(2n-1)3n+1 , -得,-2Tn=3+232+233+23n-(2n-1)3n+1 =3+2 -(2n-1)3n+1, 整理得Tn=(n-1)3n+1+3. 故数列的前n项和为Tn=(n-1)3n+1+3.,【名师点睛】错位相减法求和的关注点 (1)适用题型:等差数列an与等比数列bn对应项相乘anbn型数列求和.,(2)步骤: 求和时先乘以数列bn的公比; 把两个和的形式错位相减; 整理结果形式.,【拓展提升】典例3(2)中数列求和的另类解法 设 则 即,由 所以cn= 3n. 所以
12、Tn=b1+b2+bn =(c2-c1)+(cn-cn-1)+(cn+1-cn) =cn+1-c1= 3n+1+3.,类型三 奇(偶)数项和问题 【典例4】已知等差数列an的公差为2,其前n项和 Sn=pn2+2n(nN*,pR). (1)求p的值及an的通项公式. (2)在等比数列bn中,b2=a1,b3=a2+4,令cn= (kN*),求数列cn的前n项和Tn.,【审题导引】(1)要求p的值及an的通项公式,只要根 据关系式an= 计算即可. (2)要求数列cn的前n项和,只要根据n的奇偶性_ _即可.,分类,讨论,【解析】(1)根据题意,等差数列an中Sn=pn2+2n, 当n=1时,a
13、1=S1=p+2. 当n2时,有an=Sn-Sn-1 =pn2+2n-p(n-1)2+2(n-1) =2pn-p+2, 则an+1=2p(n+1)-p+2,所以an+1-an=2p=2, 所以p=1, an=2n-1+2=2n+1,当n=1时,a1=p+2=3,也适合上式, 所以an的通项公式an=2n+1.,(2)因为b2=a1=3,b3=a2+4=9, 所以q=3,bn=b2qn-2=33n-2=3n-1, 当n=2k,kN*时, Tn=a1+b2+a3+b4+a2k-1+b2k=(a1+a3+a2k-1)+(b2+ b4+b2k)=(3+7+4k-1)+(3+27+32k-1),= =k
14、(2k+1)+ = 当n=2k-1,kN*时,n+1是偶数, Tn=Tn+1-bn+1,所以Tn=,【考向精炼】 1.(2018广州一模)在各项均不相等的等差数列an中,已知a4=5,且a3,a5,a8成等比数列. 世纪金榜导学号,(1)求数列an的通项公式. (2)设数列an的前n项和为Sn,记bn= ,求数列bn 的前n项和Tn.,【解析】(1)因为an为等差数列,设公差为d, 由题意得 解得d=1或d=0(舍),a1=2, 所以an=2+(n-1)1=n+1.,(2)由(1)知Sn= 所以bn= 所以Tn=b1+b2+bn,2.设等差数列an的前n项和为Sn,且a2=8,S4=40.数列
15、 bn的前n项和为Tn,且Tn-2bn+3=0,nN*.世纪金榜导 学号 (1)求数列an,bn的通项公式. (2)设cn= 求数列cn的前n项和Pn.,【解析】(1)设等差数列an的公差为d, 由题意,得 解得 所以an=4n, 因为Tn-2bn+3=0, 所以当n=1时,b1=3,当n2时,Tn-1-2bn-1+3=0, 两式相减,得bn=2bn-1(n2), 则数列bn为等比数列,所以bn=32n-1.,(2)cn= 当n为偶数时,Pn=(a1+a3+an-1)+(b2+b4+bn) = =2n+1+n2-2. 当n为奇数时, 方法一:n-1为偶数,Pn=Pn-1+cn=2(n-1)+1
16、+(n-1)2-2+4n=2n+n2+2n-1,方法二:Pn=(a1+a3+an-2+an)+(b2+b4+bn-1) = =2n+n2+2n-1. 所以Pn=,【加练备选】 1.已知数列an中,a1=3,a2=5,且an-1是等比数列. (1)求数列an的通项公式. (2)若bn=nan,求数列bn的前n项和Tn.,【解析】(1)因为an-1是等比数列且a1-1=2,a2-1=4, 所以 =2,所以an-1=22n-1=2n,所以an=2n+1. (2)因为bn=nan=n2n+n, 所以Tn=b1+b2+b3+bn=(2+222+323+n2n) +(1+2+3+n), 令T=2+222+
17、323+n2n,则2T=22+223+324+n2n+1, 两式相减,得-T=2+22+23+2n-n2n+1= -n2n+1, 所以T=2(1-2n)+n2n+1=2+(n-1)2n+1, 因为1+2+3+n= , 所以Tn=(n-1)2n+1+,2.(2018开封一模)已知正项等比数列an满足 a3a9=4 ,a2=1. (1)求an的通项公式. (2)记bn=2nan,求数列bn的前n项和Sn.,【解析】(1)正项等比数列an满足a3a9=4 ,a2=1. 则 解得a1= ,q=2, 所以an=2n-2.,(2)由于an=2n-2, 则bn=2n2n-2=n2n-1, 所以Sn=120+
18、221+n2n-1, 则:2Sn=121+222+n2n -得-Sn=2n-1-n2n,所以Sn=n2n-2n+1 =(n-1)2n+1.,热点考向三 与数列相关的综合问题 考向剖析:考题形式主要为解答题,主要考查等差数列和等比数列与函数、解析几何等知识的综合问题,有时也与数列型不等式的证明、存在性问题相交汇,难度为中等或偏难.,【典例5】已知曲线C: y=4x, Cn: y=4x+n(nN*),从C上 的点Qn 作x轴的垂线,交Cn于点Pn,再从点Pn作y 轴的垂线,交C于点Qn+1 设x1=1, an=xn+1-xn,bn= .,(1)求数列xn的通项公式. (2)记cn= 数列cn的前n
19、项和为Tn,求证:T2n-1 (3)若已知 =2n-1(nN*),记数列 an的前n项和为An,数列dn的前n项和为Bn,试比较An 与 的大小.,【审题导引】(1)要求xn的通项公式.就要找到xn与 xn+1的关系,然后再找到xn和xn-1的关系.由点在线上即 可找到突破口. (2)要证T2n-1 ,先求出cn.利用放缩法求 解.,(3)要比较An与 的大小,先求出An和 再作差 求解.,【解析】(1)依题意可知,点Pn的坐标为 因为 点Pn(xn,yn+1)在曲线Cn上,点Qn+1(xn+1,yn+1)在曲线C上, 所以有yn+1= 即xn+1=xn+n, 所以xn=xn-1+n-1=xn
20、-2+ =x1+1+2+ +1.,(2) 因为点Qn(xn,yn)在曲线C上,所以yn= ,所以bn=4n.所以cn= 所以 所以当n2时,所以当n2时,T2n-1=c1+c2+c2n-1 当n=1时,T2n-1=T1=c1= , 所以T2n-1,(3)因为an=xn+1-xn=n,所以An= . 由 =2n-1知,=2n-3(n2且nN*), 两式相减得 即dn=2n+1,d1=2不适合上式, 所以dn=,于是Bn=d1+d2+d3+dn =2+23+24+2n+1=2+22+23+24+2n+1-4 = -4=2n+2-6, 所以 =2n-2. 当n=1,2时,当n=3时, 当n4时,2n
21、-2= 所以当n4时,An,综上所述,当n2时,An 当n=3时,An= 当n4时,An,【名师点睛】数列与函数的综合一般体现在两个方面 (1)形的角度:以数列的特征量n,an,Sn等为坐标的点在函数图象上,可以得到数列的递推关系. (2)数的角度:数列的项或前n项和可以看作关于n的函数,然后利用函数的性质求解数列问题.,【考向精炼】 1.已知等差数列an的公差d0,且a2, a5-1, a10成等 比数列,若a1=5, Sn为数列an的前n项和,则 的最小值为_.,【解析】由于a2, a5-1, a10成等比数列,所以(a5-1)2 =a2a10, 即 a1=5, 解得d=3(负值舍去),所
22、以an=3n+2,Sn= 所以 答案:,2.已知定义域为0,+)的函数f(x)满足f(x)=2f(x+2),当x0,2)时,f(x)=-2x2+4x.设f(x)在2n-2,2n)上的最大值为an(nN*),且数列an的前n项和为Sn,则Sn=_.,【解析】因为定义在0,+)上的函数f(x)满足f(x)=2f(x+2), 所以f(x+2)= f(x), 所以f(x+4)= f(x+2)= f(x), f(x+6)= f(x+4)= f(x), ,f(x+2n)= f(x), 设x2n-2,2n),则x-(2n-2)0,2), 因为当x0,2)时,f(x)=-2x2+4x. 所以fx-(2n-2)
23、=-2(x-(2n-2)2+4x-(2n-2). 所以 f(x)=-2(x-2n+1)2+2, 所以f(x)=21-n-2(x-2n+1)2+2,x2n-2,2n),所以x=2n-1时,f(x)的最大值为22-n, 所以an=22-n, 所以an表示以2为首项, 为公比的等比数列, 所以an的前n项和为Sn= 答案:4-,【加练备选】 1.(2017全国卷)几位大学生响应国家的创业号召, 开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他 们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软 件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2, 1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中
24、第一项是20,接下,来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 ( ) A.440 B.330 C.220 D.110,【解析】选A.由题意得,数列如下: 1, 1,2, 1,2,4, 1,2,4,2k-1, 则该数列的前1+2+k= 项和为 =1+(1+2)+(1+2+2k-1)=2k+1-k-2,要使 100,有k14,此时k+22k+1,所以k+2是之 后的等比数列1,2,2k的部分和,即k+2=1+2+2t-1 =2t-1, 所以k=2t-314,则t5,此时k=25-3=
25、29, 对应满足的最小条件为N= +5=440,故选A.,2.(2017普陀区二模)已知数列an(nN*),若an+ an+1为等比数列,则称an具有性质P. (1)若数列an具有性质P,且a1=a2=1,a3=3,求a4,a5的值. (2)若bn=2n+(-1)n,求证:数列bn具有性质P.,(3)设c1+c2+cn=n2+n,数列dn具有性质P,其中d1= 1.d3-d2=c1,d2+d3=c2,若dn102,求正整数n的取值范围.,【解析】(1)an+an+1为等比数列, 因为a1=a2=1,a3=3, 所以a1+a2=1+1=2,a2+a3=1+3=4, 所以an+an+1的公比为2,
26、 所以an+an+1=2n,所以a3+a4=23=8,即a4=5, 所以a4+a5=24=16,即a5=11.,(2)因为bn=2n+(-1)n, 所以bn+bn+1=2n+(-1)n+2n+1+(-1)n+1=32n, 所以bn+bn+1是公比为2的等比数列, 所以数列bn具有性质P.,(3)因为c1+c2+cn=n2+n, 所以c1+c2+cn-1=(n-1)2+n-1(n2),所以cn=2n(n2), 又c1=1+1=2满足上式, 所以cn=2n, 因为d1=1,d3-d2=c1=2,d2+d3=c2=4,所以d2=1,d3=3,因为数列dn具有性质P, 由(1)可得,dn+dn+1=2n, 所以d4=5,d5=11,d6=21,d7=43,d8=85,d9=171, 因为dn102,所以正整数n的取值范围是9,+).,
