1、1专题 02 导数与零点个数导数与零点个数，对于考生来讲中等偏难，基本的思路是利用导数分析函数的单调性，确定函数的极值或最值，作出函数的大致图像，再数形结合可求得结果。【题型示 例】1、设 为实数,函数(1)求 的极值点；(2)如果曲线 与 轴仅有一个交点,求实数 的取值范围【答案】（1） 的极大值点为 ,极小值点为 （2） 或 2、已知函数 .（1）求 的极值；（2）若函数 的图象与函数 的图象在区间 上有公共点,求实数 的取值范围.【答案】（1）极大值 ，无极小值；（2） .【解析】（1） 的 定义域为 , ,令 得 ，2当 时， ， 是增函数；当 时， ， 是减函数，所以 在 处取得极大
2、值,无极小值.（2）当 时，即 时，由 （1）知 在 上是增函数，在 上是减函数， 所以 ，因为 的图象与 的图象在 上有公共点, 所以 ，解得 ，又 ，所以 . 当 时，即 时， 在 上是增函数，所以 在 上最大值为 ，所以原问题等价于 ,解得 .又 ，所以此时 无解 . 综上,实数 的取值范围是 .3、设函数 （其中 ）（）求函数 的极值；（）求函数 在 上的最小值；（）若 ，判断函数 零点个数【答案】（1）极小值 ，不存在极大值；（2）（3）1 个【解析】（） ，3由 得 ，由 得 ，在 单调递增，在 单调递减极小值 ，不存在极大值（） 由（）知， 在 单调递增，在 单调递减 当 时，
3、在 单调递减， 单调递增， 当 时， 在 单调递增，；（） 由题意求导得 ，由 得 或 ，由 得所以 在 上单调递增，在 上单调递减当 时， ，故函数 只有一个零点4、已知函数 .（I）若 ，求 的极值；（II）若 ，函数 有且只有一个零点，求实数 的取值范围.【答案】（I） 的极小值为 ；（II） 或 .【解析】（I） 时， ，其中则 得当 时 ， 单调递减，当 时 ， 单调递增，因而 的极小值为 ；4（II）若 有且只有一个零点，即方程 在 上有且只有一个实数根，分离参数得 ，设 ，则 ，又设 ， ，而因而当 时 ，当 时 ，那么当 时 ， 单调递增，当 时 ， 单调递减， ，又 时 ，且
4、 时从而 或 ，即 或 时函数 有且只有一个零点.【题型专练】1、已知函数 .（1）当 时，求 的极值；（2）若函数 有两个零点，求实数 的取值范围.【答案】（1） 有得极大值 ，无 极小值；（2） .2、设函数 , .关于 的方程 在区间 上有解,求 的取值范围;5【答案】 的取值范围 .【解析】方程 即为 ,令 ,则 ,当 时, , 随 变化情况如表:, , ,当 时, , 的取值范围 .3、已知函数 .（1）求函数 的单调区间；（2）若当 时（其中 ），不等式 恒成立，求实数 的取值范围；（3）若关于 的方程 在区间 上恰好有两个相异的实根，求实数 的取值范围.【答案】（1） 的单调减区
5、间为 ，增区间 ；（2） ；（3） .【解析】 ,所以(1) ,令 , 得： ，所以 的单调减区间为 ，增区间 ；6（2）由（1）知 , 得 ，函数 在 上是连续的，又所以，当 时， 的最大值为故 时，若使 恒成立，则（3）原问题可转化为：方程 在区间 上恰有两个相异实根.令 ，则 ，令 ，解得： .当 时， 在区间 上单调递减，当 时， 在区间 上单调递增.在 和 处连续，又且 当 时， 的最大值是 ， 的最小值是在区间 上方程 恰好有两个相异的实根时，实 数 的取值范围是：4、设函数 ,其中 为实数.（1）若 在 上是单调减函数, 且 在 上有最小值, 求 的取值范围；（2）若 在 上是单
6、调增函数, 试求 的零点个数, 并证明你的结论.【答案】（） ；（）当 或 时， 有 个零点，当 时, 有 个零点，证明见解析7（2） 在 上恒成立, 则 ,故 .若 , 令 得增区间为 ；令 得减区间为 ,当 时, ；当 时, ；当 时, ,当且仅当 时取等号. 故: 时, 有 个 零点；当 时, 有 个零点.5、已知函数 在 处的切线斜率为 2.(1)求 的单调区间和极值;(2)若 在 上无解,求 的取值范围.【答案】（1）函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 .函数的极小值为 ，极大值为 .（2）8【解析】(1) ， ， ，令 ，解得 或 当 变化时， 的变化情况如下表:函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 .函数的极小值为 ，极大值为 .(2)令 ， 在 上无解, 在 上恒成立, ，记 ， 在 上恒成立, 在 上单调递减, ，若 ，则 ， ，9 单调递减, 恒成 立,若 ，则 ，存在 ，使得 ，当 时， ，即 ， 在 上单调递增, ， 在 上成立,与已知矛盾,故舍去, 综上可知， .
