1、1课时 08 函数的性质模拟训练（分值： 60分 建议用时：30 分钟）1已知函数 则函数 f (x)的奇偶性为( )A既是奇函数又是偶函数 B.既不是奇函数又不是偶函数C是奇函数不是偶函数 D.是偶函数不是奇函数【答案】C【解析 】画出函数图象关于原点对称，故是奇函数不是偶函数2 f(x)是定义在 R上的以 3为周期的奇函数，且 f(2)0，则方程 f(x)0 在区间(0,6)内解的个数是( )A2 B3C4 D5 【答案】D3若函数 )(xf为奇函数，且在(0，)内是增函数，又 0)2(f，则 的解集为( )A(2,0)(0,2) B(，2)(0,2)C(，2)(2，) D(2,0)(2，
2、) 【答案】A【解析】因为函数 )(xf为奇函数，且在(0，)内是增函数， 0)2(f，所以 2x或02x时， 0)(f； 2或 0x时， 0)(xf. ，即 0)(f，可知或 x.【规律总结】根据函数的奇偶性,讨论函数的单调区间 是常用的方法.奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反.所以对具有 奇偶性的函数 的单调性的研究,只需研究对称区间上的单调性即可. 4.已知偶函数 )(xf在区间 ,0上单调递增，则满足 的取值范围为（ ）2A. 31,0 B. 21,3 C. 32, D. 32,1【答案】D【解析】由函数 )(xf为偶函数且在 ,0上单调递增，可得 ，即 3
3、12x，解得 321x. 5定义在 R上的函数 f(x)满足： f(x)f(x2)13， f(1)2，则 f(99)( )A13 B2C. D.132 213【答案】C6已知函数 f(x) x2( m2) x3 是偶函数，则 m_.【答案】2【解析】若 f(x)为偶 函数，则 m20， m2.7若函数 f(x)log a(x )是奇函数，则 a_.x2 2a2【答案】22【解析】方法一：由于 y f(x)为奇函数， f( x) f(x)0即 loga(x )log a( x )0x2 2a2 x2 2a2log a2a20，2 a21， a ，22又 a0，故填 a .22方法二：由于 y f
4、(x)是奇函数， f(0)0，因此 log a0，2 a21， a ，2a222又 a0， a .228已知 f(x)是定义在 R上的偶函数，并满足 f(x2) ，当 1 x2 时， f(x) x2，则1f xf(6.5)_. 【答案】0.53【解析】由 f(x2) ，得 f(x4) f(x)，那么 f(x)的周期是 4，得 f(6.5)1f x 1f x 2 f(2.5)因为 f(x)是偶函数，得 f(2.5) f(2.5) f(1.5)而 1 x2 时， f(x) x2， f(1.5)0.5.由上知： f(6.5)0.5.9定义在(1，1)上的函数 f(x)满足：对任意 x、 y(1，1)
5、都有 f(x)+f(y)=f(1x)(1)求证：函数 f(x)是奇函数；(2)如果当 x(1，0)时，有 f(x)0，求证： f(x)在(1，1)上是单调递减函数；知识拓展抽象函 数奇偶性用赋值法和定义法；单调性的证明,，要用单调性的定义.10设 f(x)是定义在 R上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x2) f(x)当 x0,2时， f(x)2 x x2.(1)求证： f(x)是周期函数；(2)当 x2,4时，求 f(x)的解析式；(3)计算 f(0) f(1) f(2) f(2 012)【解析】(1) f(x2) f(x)， f(x4) f(x2) f(x) f(x)是周期为 4的周期
6、函数(2)当 x2,0时， x0,2，由已知得f( x)2( x)( x)22 x x2，又 f(x)是奇函数， f( x) f(x)2 x x2， f(x) x22 x.又当 x2,4时， x42,0， f(x4)( x4) 22( x4)又 f(x)是周期为 4的周期函数，4011) f(2 012)0. f(0) f(1) f(2) f(2 012)0. 新题训练 （分值：15 分 建议用时：10 分钟）11. （5 分）已知函数 f(x)| x1| x a|(其中 aR)是奇函数，则 a2020_.【答案】1 【解析】由已知得 f(0)1| a|0， a1 且当 a1 时容易验证 f(x)| x1| x a|是奇函数，因此 a20201.12. （ 5分） 设 f(x)是连续的偶函数，且当 x0时是单调函数，则满足 f(x) f 的所有 x之和(x 3x 4)为( )A3 B3 C8 D8【答案】C【解析】因为 f(x)是连续的偶函数，且 x0时是单调函数，由偶函数的性质可知若 f(x) f ，(x 3x 4)只有两种情况： x ； x 0.x 3x 4 x 3x 4由知 x23 x30，故两根之和为 x1 x23.由知 x25 x30，故其两根之和为 x3 x45.因此满足条件的所有 x之和为8.
