1、1第 一 章 计 数 原 理注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将准 考 证 号 条 形 码 粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区
2、域 内 。 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1从正方体的 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选法共有（ ）A8 种 B12 种 C16 种 D20 种2已知 781Cnn*N，则 n 等于（ ）A14 B12 C13 D153某铁路所有车站共发行 132 种普通客票，则这段铁路共有车站数是（ ）A8 B12 C16 D
3、244 71x的展开式中 x2的系数是（ ）A42 B35 C28 D215一排 9 个座位坐了 3 个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）A33! B3(3！) 3 C(3！) 4 D9!6某校园有一椭圆型花坛，分成如图四块种花，现有 4 种不同颜色的花可供选择，要求每块地只能种一种颜色，且有公共边界的两块不能种同一种颜色，则不同的种植方法共有（ ）A48 种 B36 种 C30 种 D24 种7若多项式 x2 x10 a0 a1(x1) a9(x1) 9 a10(x1) 10，则 a9（ ）A9 B10 C9 D108从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从
4、事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）A48 种 B36 种 C18 种 D12 种9已知 1nx的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）A2 12 B2 11 C2 10 D2 910将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有（ ）A12 种 B18 种 C36 种 D54 种11用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40000
5、 大的偶数共有（ ）A144 个 B120 个 C96 个 D72 个12从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为 60的共有（ ）A24 对 B30 对 C48 对 D60 对二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，把正确答案填在题中横线上）13在报名的 3 名男教师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选法有_种(用数值表示)14 41ax的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则a_15有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重” 、 “立定跳远” 、 “肺活量” 、“握力” 、 “台阶”五个项目的
6、测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复2若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有_种(用数字作答)16从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数，能被3 整除的数有_个三、解答题(本大题共 6 个大题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17 （12 分）一个小组有 10 名同学，其中 4 名男生，6 名女生，现从中选出 3 名代表，（1）其中至少有一名男生的选法有几种？（2）至多有 1 名男生的选法有几种？18 （12 分）从1、0、1、2、3 这 5 个数中选 3 个不同的
7、数组成二次函数y ax2 bx c(a0)的系数（1）开口向上的抛物线有多少条？（2）开口向上且不过原点的抛物线有多少条？319 （12 分）求 93x的展开式中的有理项20 （12 分）有 4 个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内（1）共有多少种放法？（2）恰有一个盒不放球，有多少种放法？（3）恰有一个盒内有 2 个球，有多少种放法？421 （12 分）(2015北京高二质检)已知 32nx展开式中各项系数和比它的二项式系数和大 992（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项 22 （14 分）已知 12nx展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的 2倍，
8、且等于它后一项系数的 ，试求该展开式中二项式系数最大的项5612018-2019 学 年 选 修 2-3 第 一 章 训 练 卷计 数 原 理 （ 一 ） 答 案一、选择题1 【答案】B【解析】在正方体 1ABCD中，选取 3 个面有 2 个不相邻，则必选相对的2 个面，所以分 3 类若选 和 1两个面，另一个面可以是 ABB1A1， BCC1B1， CDD1C1和 ADD1A1中的一个，有 4 种，同理选另外相对的 2 个面也有 4 种所以共有 4312 (种)2 【答案】A【解析】因为 8781C+nn，所以 781Cn78 n1， n14，故选A3 【答案】B【解析】 2132n 1n故
9、选 B4 【答案】D【解析】展开式中第 r1 项为 17CrTx， 237x， x2的系数为 27C15 【答案】C【解析】本题考查捆绑法排列问题由于一家人坐在一起，可以将一家三口人看作一个整体，一家人坐法有 3！种，三个家庭即(3！) 3种，三个家庭又可全排列，因此共(3！) 4种注意排列中在一起可用捆绑法，即相邻问题6 【答案】A【解析】由于相邻两块不能种同一种颜色，故至少应当用三种颜色，故分两类第一类，用 4 色有 4种，第二类，用 3 色有 34A种，故共有 43A8种7 【答案】D【解析】 x10的系数为 a10， 10， x9的系数为 910Ca， 910a， 910a，故应选 D
10、另解：( x1)1 2( x1)1 10 a0 a1(x1) a2(x1)2 a10(x 1)10，显然 190C8 【答案】B【解析】分两种情况：（1）小张小赵去一人： 132CA4；（2）小张小赵都去： 23A1，故有 36 种，应选 B9 【答案】D【解析】由题意可得，二项式的展开式满足 1rnTx，且有 37Cn，因此n10令 x1，则 102nx，即展开式中所有项的二项式系数和为 210；令 x1，则 n，即展开式中奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数之差为 0，因此奇数项的二项式系数和为 1092故本题正确答案为 D10 【答案】B【解析】由题意不同的放法共有 1234C8种11
11、 【答案】B【解析】据题意，万位上只能排 4、5若万位上排 4，则有 342A个；若万位上排 5，则有 34A个所以共有 342A+510个故选 B12 【答案】C【解析】解法 1：先找出正方体一个面上的对角线与其余面对角线成 60角的对数，然后根据正方体六个面的特征计算总对数如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，与面对角线 AC 成 60角的面对角线有B1C、 BC1、 C1D、 CD1、 A1D、 AD1、 A1B、 AB1共 8 条，同理与 BD 成 60角的面对角线也有 8 条，因此一个面上的对角线与其相邻 4 个面的对角线，共组成 16 对，又正方体共有 6 个面，所有共有
12、16696 对因为每对都被计算了两次(例如计算与AC 成 60角时，有 AD1，计算与 AD1成 60角时有 AC，故 AD1与 AC 这一对被计算2了 2 次)，因此共有 9648 对12解法 2：间接法正方体的面对角线共有 12 条，从中任取 2 条有 21C种取法，其中相互平行的有 6 对，相互垂直的有 12 对，共有 1648对二、填空题13 【答案】120【解析】由题得选取的情况有三种，分别是 1 名男教师和 4 名女教师；2 名男教师和 3 名女教师；3 名男教师和 2 名女教师当选 1 名男教师和 4 名女教师时，有 1436C5种；当选 2 名男教师和 3 名女教师时，有 20
13、种；当选 3 名男教师和 2 名女教师时，有 36种，所以不同的选取方式的种数共有 451种14 【答案】3【解析】由已知得(1 x)414 x6 x24 x3 x4，故( a x)(1 x)4的展开式中x 的奇数次幂项分别为 4ax， 4ax3， x， 6x3， x5，其系数之和为4a4 a16132，解得 a315 【答案】264【解析】由条件上午不测“握力” ，则 4 名同学测四个项目，有 4A；下午不测“台阶”但不能与上午所测项目重复，如甲 乙 丙 丁上午 台阶 身高 立定 肺活量下午下午甲测“握力”乙、丙、丁所测不与上午重复有 2 种，甲测“身高” 、 “立定” 、“肺活量”中一种有
14、 339，故 4A296种16 【答案】228【解析】一个数能被 3 整除的条件是它的各位上的数字之和能被 3 整除根据这点，分为如下几类：（1）三位数各位上的数字是 1，4，7 或 2，5，8 这两种情况，这样的数有32A(个)（2）三位数的各位上只含 0，3，6，9 中的一个，其他两位上的数则从(1，4，7)和(2，5，8)中各取 1 个，这样的数有 13CA26 (个)，但要除去 0 在百位上的数，有 23C8 (个)，因而有 21618198(个)（3）三位数的各位上的数字是 0，3，6，9 中的 3 个，但要去掉 0 在百位上的，这样应有 33218(个)，综上所述，由 0 到 9
15、这 10 个数字所构成的无重复数字且能被 3 整除的 3 位数有 1219818228(个)三、解答题17 【答案】 （1）100 种；（2）80 种【解析】 （1）方法一：(直接法)第一类：3 名代表中有 1 名男生，则选法种数为 1246C0 (种)；第二类：3 名代表中有 2 名男生，则选法种数为 3 (种)；第三类：3 名代表中有 3 名男生，则选法种数为 4 (种)；故共有 60364100(种)方法二：(间接法)从 10 名同学中选出 3 名同学的选法种数为 310C种其中不适合条件的有 6C种，故共有 6 (种)（2）第一类：3 名代表中有一名男生，则选法为 12460 (种)；
16、第二类：3 名代表中无男生，则选法为 36C0 (种)；故共有 602080(种)18 【答案】 （1） 36条；（2） 7条【解析】 （1）要使抛物线的开口向上，必须 0a， 1234A6 (条)3（2）开口向上且不过原点的抛物线，必须 0a， c， 13C27 (条)19 【答案】第 4 项84 x4和第 10 项 x3【解析】91121 927C()C6rrr rr rT，令 276Z，即 346Z，且 r0，1，2，9 r3 或 r9当 r3 时， 4， 3449C8Tx；27 r6当 r9 时， 3， 310927 r6 93x的展开式中的有理项是：第 4 项84 x4和第 10 项
17、 x320 【答案】 （1）256 种；（2） 种；（3） 1种【解析】 （1）一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有 4 种独立的放法，由分步乘法计数原理，放法共有 44256(种)（2）为保证“恰有一个盒子不放球” ，先从四个盒子中任意拿出去 1 个，即将 4个球分成 2，1，1 的三组，有 24C种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可由分步乘法计算原理，共有放法： 1243CA4(种)（3） “恰有一个盒内放 2 个球” ，即另外三个盒子中恰有一个空盒因此， “恰有一个盒子放 2 球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事故也有 144 种放法21 【答案
18、】 （1）二项式系数最大项为第三、四两项， 6390Tx，23470x；（2）展开式中第 5 项系数最大，263540Tx【解析】令 x1 得展开式各项系数和为 1n，又展开式二项式系数和为 01C+2n ，由题意有 4n2 n992，即 290， 3210nn，所以n5（1）因为 n5，所以展开式共 6 项，其中二项式系数最大项为第三、四两项，它们是 322635C90Txx， 2233345C70Txx（2）设展开式中第 k1 项的系数最大又104532231 5kkkxx，得155CkkError! 792又因为 Z，所以 k4，所以展开式中第 5 项系数最大2626433505Tx22 【答案】展开式中二项式系数最大的项为第 4 项和第 5 项，32480Tx，2560x【解析】 21CrrrrnnTxx，它的前一项的系数为 1Crn，它的后一项的系数为 2，根据题意有1526rrnnC，Error!Error!展开式中二项式系数最大的项为第 4 项和第 5 项33247280Tx， 25760Tx
