1、1第三章 导数及其应用注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将准 考 证 号 条 形 码 粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内
2、 。 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1一个物体的运动方程是 21St，其中 S的单位是 m， t的单位是 s，那么物体在 3s时的瞬时速度是（ ）A 7m/B 6m/sC 5/sD 8/s2函数 f(x)sin xcos x 在点(0， f(0)处的切线方程为（ ）A x y10 B x y10C x y10 D x y103已知函
3、数 f(x) f cosxsin x，则 f （ ）( 4) ( 4)A B 1 C1 D02 24函数 f(x) x2ln2 x 的单调递减区间是（ ）A B(0，22 22， )C ， D ，( ， 22 (0， 22) 22， 0) (0， 225函数 f(x)3 x4 x3(x0,1)的最大值是（ ）A1 B C0 D1126函数 f(x) x3 ax23 x9，已知 f(x)在 x3 处取得极值，则 a（ ）A2 B3 C4 D57设函数 f(x) g(x) x2，曲线 y g(x)在点(1， g(1)处的切线方程为y2 x1，则曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线的斜率为
4、 ）A4 B C2 D14 128等比数列 an中， a12， a84，函数 f(x) x(x a1)(x a2)(x a8)，则 f(0)（ ）A2 6 B2 9 C2 12 D2 159 已知点 P 在曲线 y 上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的取4ex 1值范围是（ ）A0， ) B ， ) C( ， D ，) 4 4 2 2 34 3410设 nN ，曲线 y xn(1 x)在 x2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an，则 a4（ ）A80 B32 C192 D25611某产品的销售收入 y1(万元)是产量 x(千台)的函数： y117 x2，生产成本y2(万元)是产
5、量 x(千台)的函数： y22 x3 x2(x0)，为使利润最大，应生产（ ）A6 千台 B7 千台 C8 千台 D9 千台12已知定义在 R 上的函数 f(x)， f(x) xf( x)bf(b) D af(b)bf(a)二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上）13已知 yln ，则 y_11 x214电动自行车的耗电量 y 与速度 x 之间有如下关系： y x3 x240 x(x0)，13 3922为使耗电量最小，则速度应定为_15已知函数 f(x) x34 ax25 x(aR)若函数 f(x)在区间(0,2上无极值，则 a 的取值范围是_
6、16若函数 f(x) 在区间( m,2m1)上单调递增，则实数 m 的取值范围是4xx2 1_三、解答题（本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （10 分）已知函数 y x33 x，过点 A(0,16)作曲线 y f(x)的切线，求切线方程18 （12 分）设函数 f(x) x33 ax23 bx 的图象与直线 12x y10 相切于点(1，11)（1）求 a， b 的值；（2）讨论函数 f(x)的单调性319 （12 分）设函数 f(x) x3 bx2 cx d(a0)，且方程 f( x)9 x0 的两a3个根分别为 1，4若 f(x)在(，)内无
7、极值点，求 a 的取值范围20 （12 分）如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为 20m的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过 16m，如果池外周壁建造单价为每米400 元，中间两条隔墙建造单价为每米 248 元，池底建造单价为每平方米 80 元（池壁厚度忽略不计，且池无盖） （1）写出总造价 y（元）与污水处理池长 x（m）的函数关系式，并指出其定义域；（2）污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价421 （12 分）函数 f(x) x3 ax2 b 的图象在点 P(1,0)处的切线与直线3x y0 平行 （1）求 a， b；（2）求函数 f(x
8、)在0， t(t0)内的最大值和最小值22 （12 分）已知 f(x)是二次函数，不等式 f(x)0，e x 2(当且仅当 x0 时取等号)，e x 24，0bf(b)故选 C二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上）13 【答案】x1 x2【解析】先将函数式化简后再求导数14 【答案】40【解析】由 y x239 x400 得 x1(舍去)或 x40当 040 时， y0，所以当 x40 时， y 有最小值15 【答案】 a154【解析】函数 f(x)在区间(0,2上无极值，即 f( x)3 x28 ax50 在(0,2上无解或有两个相同的解，
9、当 f( x)0 在(0,2上无解，由 8a 2 ，)，则 8a0，得10，解得 x3；又令 f( x)0，所以“ f(x) x3 bx2 cx d 在(，)内无极值点”等价于a3“f( x) ax22 bx c0 在(，)内恒成立” 由式得 2b95 a， c4 a又 (2 b)24 ac9( a1)( a9)由 0190a，得 1 a9，即 a 的取值范围是1,9320 【答案】 （1） y800 x 16000 ；（2）见解析259 200x (252 x 16)【解析】 （1）设长为 m，则宽为 据题意，得Error!解得 x16，252y 400 24816000800 x 1600
10、0(2x 2200x) 400x 259 200x(252 x 16)（2）由（1）知 y800 ，令 y0，解得 x18，259 200x2当 x(0,18)时，函数 y 为减函数；当 x(18，)时，函数 y 为增函数在 x 上，函数 y 单调递减，252， 16当长为 m，宽为 2.5时，总造价 y 最低为 45000 元21 【答案】 （1） Error!；（2）见解析【解析】 （1） f( x)3 x22 ax，由已知条件 103f即Error!，解得Error!（2）由（1）知 f(x) x33 x22， f( x)3 x26 x3 x(x2)f( x)与 f(x)随 x 变化状态
11、如下：x (，0) 0 （0,2） 2 （2，+）f( x) 0 0 f(x) 2 2由 f(x) f(0)，解得 x0，或 x3因此根据 f(x)图象，当 03 时， f(x)的最大值为 f(t) t33 t22，最小值为 f(2)222 【答案】 （1） f(x)2 x210 x(xR)；（2）存在，见解析【解析】 （1） f(x)是二次函数，且 f(x)0) f(x)在区间1,4上的最大值是 f(1)6 a由已知，得 6a12， a2， f(x)2 x(x5)2 x210 x(xR)（2）方程 f(x) 0 等价于方程 2x310 x237037x设 h(x)2 x310 x237，则 h( x)6 x220 x2 x(3x10)当 x 时， h( x)0， h(x)是增函数(103， ) h(3)10， h 0，(103) 127方程 h(x)0 在区间 ， 内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(3，103) (103， 4)(4，)内没有实数根，存在唯一的自然数 m3，使得方程 f(x) 0 在37x区间( m， m1)内有且只有两个不等的实数根
