1、1第二章 圆锥曲线与方程注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将准 考 证 号 条 形 码 粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域
2、内 。 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若椭圆21xym的离心率为 12，则实数 m（ ）A 3或 8B 3C 38D 32或 82已知双曲线 E 的中心为原点， F(3,0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于A， B 两点，且 AB 的中点为 N(12，15)，则 E 的方程为（ ）A2136xyB2145xyC
3、D3双曲线214xyk的离心率 1,2e，则 k 的取值范围是（ ）A(，0) B(12,0)C(3,0) D(60，12)4若点 P 到直线 x1 的距离比它到点(2,0)的距离小 1，则点 P 的轨迹为（ ）A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线5已知两定点 1,0F， 21,，且 12F是 1P与 2F的等差中项，则动点P 的轨迹是（ ）A椭圆 B双曲线 C抛物线 D线段6设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直， l 与 C 交于A， B 两点，| AB|为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为（ ）A 2B 3C2 D37过抛物线 24yx的焦点作一条直线与抛
4、物线相交于 A、 B 两点，它们的横坐标之和等于 5，则这样的直线（ ）A有且仅有一条 B有且仅有两条 C有无穷多条 D不存在8已知(4,2)是直线 l 被椭圆21369xy所截得的线段的中点，则 l 的方程是（ ）A x2y0 B x2y40C2 x3y40 D x2y809过椭圆21y的右焦点作 x 轴的垂线交椭圆于 A、 B 两点，已知双曲线的焦点在 x 轴上，对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过 A、 B 两点，则双曲线的离心率 e为（ ）A 12B 2C 62D 3210双曲线 210xymn有一个焦点与抛物线 4yx的焦点重合，则mn的值为（ ）A3 B2C1 D以上都不对11设
5、1F， 2是双曲线 210,xyab的左、右焦点，点 P 在双曲线上，若 0P，且 212PFc ，则双曲线的离心率为（ ）A 52B 3C2 D 1212已知 1F， 2分别为双曲线 210,xyab的左、右焦点， P 为双曲线2右支上的任意一点，若21PF的最小值为 8a，则双曲线的离心率 e的取值范围是（ ）A(1，) B(1,2 C 1,3D(1,3二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上）13若双曲线的渐近线方程为 13yx，它的一个焦点是 10,，则双曲线的标准方程是_14椭圆219xy的焦点为 1F， 2，点 P 在椭圆上，若 14
6、PF，则 2PF_， 12P的大小为_15已知 1、 2是椭圆 2xyab的左、右焦点，点 P 是椭圆上任意一点，从1引 的外角平分线的垂线，交 2F的延长线于 M，则点 M 的轨迹方程是_16设 1F， 2分别为椭圆213xy的左，右焦点，点 A， B 在椭圆上，若5AB，则点 A 的坐标是_三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(10 分)求与椭圆2194xy有公共焦点，并且离心率为 52的双曲线方程18(12 分)已知椭圆 210xyab的离心率 32e，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4（1）求椭圆的方程；（2）设直线 l 与
7、椭圆相交于不同的两点 A， B已知点 A 的坐标为 ,0a，点0,Qy在线段 AB 的垂直平分线上，且 4Q，求 0y的值319(12 分)已知过抛物线 20yPx的焦点 F 的直线交抛物线于 1,Axy，2,Bxy两点求证：（1） 1为定值；（2） FAB为定值20(12 分)已知 2,0A、 2,0B两点，动点 P 在 y 轴上的射影为 Q，2PABQ（1）求动点 P 的轨迹 E 的方程；（2）设直线 M 过点 A，斜率为 k，当 0k1 时，曲线 E 的上支上有且仅有一点 C到直线 M 的距离为 2，试求 k 的值及此时点 C 的坐标421(12 分)图 2设椭圆 21:0xyCab，抛
8、物线 2:Cxby（1）若 2经过 1的两个焦点，求 1的离心率；（2）设 ()0,Ab， 53,4Qb，又 M， N 为 1与 2不在 y 轴上的两个交点，若 AMN 的垂心为 ,B，且 QMN 的重心在 2C上，求椭圆 1和抛物线 2C的方程22(12 分) 0,Pxya是双曲线 2:10,xyEab上一点， M， N分别是双曲线 E 的左、右顶点，直线 PM， PN 的斜率之积为 5（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线交于 A， B 两点， O 为坐标原点， C 为双曲线上一点，满足 OCAB，求 的值12018-2019 学年选修 1-1 第
9、二章训练卷圆 锥 曲 线 与 方 程 （ 一 ） 答 案一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1 【答案】A【解析】如果 2m，则 cm，故 21，所以 32m；如果 ，则 ，故 ，则 8故选 A2 【答案】B【解析】 F(3,0)， AB 的中点 N(12，15)， 15023ABk又 F(3,0)，可设双曲线的方程为21xyab，易知 9ab再设 1,Axy， 2,Bxy，则有 12 21xy由可得 1ab，即 21222xyab2112AByxbkxy*又 12， 125，* 式可化为215ba，254a由和
10、可知 25b， 24a，双曲线的方程为24xy，故选择 B3 【答案】B【解析】 2， 2k， 2ck 1,2e， 241,cka，k(12,0)4 【答案】D【解析】设 M(2,0)，由题设可知，把直线 x1 向左平移一个单位即为直线2x，则点 P 到直线 x2 的距离等于| PM|，所以动点 P 的轨迹为抛物线，故选 D5 【答案】D【解析】依题意知 1212PF，作图可知点 P 的轨迹为线段，故选 D6 【答案】B【解析】不妨设双曲线 C 为 20,xyab，并设 l 过 2,0Fc且垂直于 x轴，则易求得 bAa， ， 2，离心率213cea，故选 B7 【答案】B【解析】过抛物线 2
11、4yx的焦点作一条直线与抛物线相交于 A， B 两点，若直线AB 的斜率不存在，则横坐标之和等于 2，不适合故设直线 AB 的斜率为 k，则直线 AB 为 1ykx代入抛物线 24yx得 2220kxx， A， B两点的横坐标之和等于5，25k， 243k，这样的直线有且仅有两条故选 B8 【答案】D【解析】设 l 与椭圆的两交点分别为 1,xy、 2,，则得21936yx，所以 12yx故方程为 24y，即 80故选 D9 【答案】C【解析】 2,1A， ,1B，设双曲线为 210,xyab，渐近线方程为 byxa，因为 A、 B 在渐近线上，所以 b， 2，2261cbea故选 C10 【
12、答案】C2【解析】抛物线 24yx的焦点为 F(1,0)，故双曲线21xymn中 0， n，且 1mncC 选项正确11 【答案】A【解析】由 120PF可知 12PF 为直角三角形，则由勾股定理，得 214c，由双曲线的定义，得 214a 又 12PFac，由得 20，即 210e，解得 5e或 15e (舍去)故选 A12 【答案】D【解析】 221 2448aPFaPFaa，当且仅当24aPF，即 2时取等号这时 1由 1212PF，得 6c，即 3ea，得 1,e，故选 D二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上）13 【答案】219xy
13、【解析】由双曲线的渐近线方程为 13yx，知 ba，它的一个焦点是 10,，知 210ab，因此 3a， b，故双曲线的方程是29xy14 【答案】2，120【解析】由椭圆的定义知 1236PFa，因为 14PF，所以2PF在 12 中，2221112cosPFF 120FP15 【答案】 24xabya【解析】由题意知 1MPF， 122PFMa点 M 到点 2F的距离为定值 2a点 M 的轨迹是以点 2为圆心，以 2a 为半径的圆，其方程为24xbya16 【答案】 0,1【解析】设 1(),Axy， 2(),By，由 12,0F， 2,，且 125FAB得2165x， 215y又 A、
14、B 两点在椭圆上，故有 21213675xy，消去 1y得21643xx，有 10x，从而 1y，故点 A 的坐标为(0,1)和 (0,)三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17 【答案】214xy【解析】由椭圆方程294，知长半轴 13a，短半轴 12b，焦距的一半2115cab，焦点是 15,0F， 2,，因此双曲线的焦点也是,0F， 2,，设双曲线方程为 210,xyab，由题设条件及3双曲线的性质，得 225cab，解得 21a，故所求双曲线的方程为214xy18 【答案】 （1）214xy；（2） 02y或 02145y【解析】 （
15、1）由 3cEa，得 4ac再由 22ab，得 由题意可知 24b，即 2解方程组 ，得 a2， b1所以椭圆的方程为 21xy（2）由（1）可知 ,0A设 B 点的坐标为 1,xy，直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 2ykx于是 A， B 两点的坐标满足方程组214yx，由方程组消去 y 并整理，得 2221640kxk由2164kx，得 1284x从而 12y设线段 AB 的中点为 M，则 M 的坐标为 22,4k以下分两种情况：当 k0 时，点 B 的坐标为(2,0)，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是2,QAy， 02,y由 4QAB，得 02当 k0 时，线段 AB
16、 的垂直平分线方程为22184kkyx令 x0，解得 02614ky由 2,QA， 10,Bxy 21010 2228646411kkxy42654k，整理得 27k，故 17k所以 02145y综上， 0y或 0245y19 【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】 （1）抛物线 2yPx的焦点为 ,02pF，设直线 AB 的方程为02pykx由 2ypx，消去 y，得 22204kpkxPx由根与系数的关系，得214p(定值)当 AB x 轴时， 2x， 2x，也成立（2）由抛物线的定义，知 1pFA， 2pBx212212111 4xxppFABx 12p(定值)当 AB x 轴时，
17、 FABP，上式仍成立420 【答案】 （1） 2yx；（2） 5k， 2,10C【解析】 （1）设动点 P 的坐标为( x， y)，则点 Q(0， y)，,0PQx， ,A， ,Bx， 22PABxy 2B， 22xyx，即动点 P 的轨迹方程为 2（2）设直线 M： 01ykk，依题意，点 C 在与直线 M 平行且与 M 之间的距离为 2的直线上，设此直线为1:ykxb由 2k，即 2kb把 yxb代入 2yx，整理，得 2210xkb，则 2410kb，即 b由，得 5， 此时，由方程组 2105yx，解得 210xy，即 2,10C21 【答案】 （1） ；（2） 1C：2643， 2
18、： 4xy【解析】 （1）因为抛物线 2经过椭圆 1的两个焦点 1,()0Fc， 2,，可得2cb由 2ac，有2ca，所以椭圆 1C的离心率 2e（2）由题设可知 M， N 关于 y 轴对称，设 1,xy， 1,x， 10，则由 AMN 的垂心为 B，有 0MAN，所以 211304xyb由于点 1,N在 2C上，故有 221xby由得 4by，或 1y (舍去)，所以 152x，故 5,24bM， 5,24bN，所以 QMN 的重心为 3,，由重心在 2C上得：23，所以 2b， 15,2M， 15,N，又因为 M， N 在 1C上，所以 2214a，得 263a所以椭圆 1的方程为：263xy，抛物线 2C的方程为： 24xy22 【答案】 （1） 05；（2 ）0 或 4【解析】 （1）点 0,Pxya在双曲线21xyab上，有201xyab由题意又有 015a，可得 25， 226c，则 35ce（2）联立22xybc，得 2241035xcb，设 1,Axy， 2,Bxy，则12534bx5设 3,OCxy， OAB，即 312xy，又 C 为双曲线上一点，即 2235xb，有 21125xy，化简得 21215xxyb又 1,Axy， 2,By在双曲线上，所以 ， 25xyb由式又有 21212121255410xcxcc，得： 240，解出 0 或 4
