1、1第二章 平面向量注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将准 考 证 号 条 形 码 粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。
2、 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1设 3,sin2a， 1cos,3b，且 ab，则锐角 为（ ）A 0B 60C 75D 452下列命题正确的是（ ）A单位向量都相等B若 a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 共线C若| a b| a b|，则 ab0D若 a 与 b 都是单位向量，则 ab13设向量 2,3m， 2
3、,m，若 a 与 b 的夹角大于 90，则实数 m 的取值范围是（ ）A 4,3 B 4,2,3C 2, D ,4平行四边形 ABCD 中， AC 为一条对角线，若 2,4AB， 1,3C，则ADB等于（ ）A8 B6 C 8D 65已知 1a， b， 2a，则向量 a 与向量 b 的夹角是（ ）A 6B 4C 3D 26关于平面向量 a， b， c，有下列四个命题：若 a b， a0，则存在 R，使得 b a；若 ab0，则 a0 或 b0；存在不全为零的实数 ， 使得 c a b；若 ab ac，则 a( b c)其中正确的命题是（ ）A B C D7已知| a|5，| b|3，且 12a
4、b=，则向量 a 在向量 b 上的投影等于（ ）A 4B4 C 125D 1258设 O， A， M， B 为平面上四点， OMBOA，且 ,，则（ ）A点 M 在线段 AB 上 B点 B 在线段 AM 上C点 A 在线段 BM 上 D O， A， B， M 四点共线9 P 是 ABC 内的一点， 13APC，则 ABC 的面积与 ABP 的面积之比为（ ）A 32B2 C3 D610在 ABC 中， AR， PR，若 APmBn，则 n等于（ ）A 23B 79C 89D111已知 3a4 b5 c0，且| a| b| c|1，则 a(b c)等于（ ）A B 3C0 D 3512定义平面向
5、量之间的一种运算“”如下：对任意的 a( m， n)， b( p， q)，令 a b mq np下面说法错误的是（ ）A若 a 与 b 共线，则 a b0 B a b b aC对任意的 R，有( a) b (a b) D( a b)2( ab)2| a|2|b|22二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)13设向量 a(1,2)， b(2,3)，若向量 a b 与向量 4,7c=共线，则 _14 a， b 的夹角为 120，| a|1，| b|3，则|5 a b|_15已知向量 a(6,2)， 4,2，直线 l 过点 A(3，1)，且与向量 a
6、2 b垂直，则直线 l 的方程为_16已知向量 2,1OP， ,7A， 5,1OB，设 M 是直线 OP 上任意一点( O为坐标原点)，则 MB的最小值为 _三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(10 分)如图所示，以向量 OAa， Bb为边作 AOBD，又 13MBC，13CND，用 a， b 表示 M、 N、 18(12 分)已知 a， b 的夹角为 120，且| a|4，| b|2，求：（1）( a2 b)(a b)；（2）| a b|；（3）|3 a4 b|319(12 分)已知 3,1a， 3,2b，且存在实数 k 和 t，使得
7、x a(t 23) b， yk at b，且 x y，试求2t的最小值20(12 分)设 2,5OA， 3,1B， 6,3OC在线段 OC 上是否存在点M，使 MA MB？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由421(12 分)设两个向量 e1、 e2满足| e1|2，| e2|1， e1、 e2的夹角为 60，若向量 2te17 e2与 e1 te2的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围22(12 分)已知线段 PQ 过 OAB 的重心 G，且 P、 Q 分别在 OA、 OB 上，设 OAa，OBb， Pma， OQnb求证： 13n12018-2019 学 年 必 修 四 第 二
8、章 训 练 卷平 面 向 量 （ 二 ） 答 案一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1 【答案】D【解析】 31sinco2， sin21， 90， 45故选 D2 【答案】C【解析】| a b|2 a2 b22 ab，| a b|2 a2 b22 ab， |ab 0=故选 C3 【答案】A【解析】 a 与 b 的夹角大于 90， 0ab，21320mm，即 238m， 423m故选A4 【答案】A【解析】 1,DBCA， 1,2,435， 1,3,58ADB故选 A5 【答案】C【解析】 2aba， 3b=， 3
9、1cos,62ab， ,3故选 C6 【答案】B【解析】由向量共线定理知正确；若 ab0，则 a0 或 b0 或 a b，所以错误；在 a， b 能够作为基底时，对平面上任意向量，存在实数 ， 使得c a b，所以错误；若 ab=c，则 0abc，所以 abc，所以正确，即正确命题序号是，所以 B 选项正确7 【答案】A【解析】向量 a 在向量 b 上的投影为 12cos, 43abab故选 A8 【答案】B【解析】 1OMOABOA， MAB， (1,2)，点B 在线段 AM 上，故选 B9 【答案】C【解析】设 ABC 边 BC 的中点为 D，则 2ABCABDPPS 1233APBA，
10、3， 3 3ABCPS 故选 C10 【答案】B【解析】 22413393APACRABCA，故有 41793mn故选 B11 【答案】B【解析】由已知得 45bac，将等式两边平方得 22435bac，化简得35ac同理由 3=两边平方得 ab0，5b+ac故选 B12 【答案】B【解析】若 a( m， n)与 b( p， q)共线，则 mq np0，依运算“”知a b0，故 A 正确由于 a b mq np，又 b a np mq，因此 a b b a，故 B 不正确2对于 C，由于 a( m ， n )，因此( a) b mq np ，又 (a b) (mq np) mq np ，故 C
11、 正确对于 D，( a b)2( ab)2 m2q22 mnpq n2p2( mp nq)2 m2(p2 q2) n2(p2 q2)( m2 n2)(p2 q2)| a|2|b|2，故 D 正确二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)13 【答案】2【解析】 a(1,2)， b(2,3)， ,2,32,3ab=向量 a b 与向量 4,7c=共线，7( 2)4(2 3)0 214 【答案】7【解析】 2222 155513104920 abab |5 a b|715 【答案】 239xy【解析】设 P(x， y)是直线上任意一点，根据题意，有
12、,12,30Aab，整理化简得 2390xy16 【答案】 8【解析】设 ,OMtPt，故有 221275,150158ABttt，故当 t2 时， 取得最小值 8三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17 【答案】 15OMab， 23Nab， 126MNab【解析】 BA 11536OMBBCOAab又 Dab 22233ND， 2151366abab18 【答案】 （1）12；（2） ；（3） 49【解析】 （1） 1cos1202ab(a2 b)(a b) a22 ab ab2 b24 22(4)(4)22 212（2）| a b|2(
13、 a b)2 a22 ab b2162(4)412 3（3）|3 a4 b|29 a224 ab16 b294 224(4)162 21619， 119 【答案】 74【解析】由题意有 2231a，22131b 1302ab， a xy0， a( t23) b( ka tb)0化简得34tk 2 2117434kttt即 2t时，2t有最小值为 7420 【答案】存在， M 点的坐标为(2,1)或 1,5【解析】设 OtC， t0,1，则 6,3OMt，即 M(6t,3t) 2,At，6,13Bt若 MA MB，则 25130t即 45t248 t110， 13t或315t存在点 M， M 点
14、的坐标为(2,1)或 21,521 【答案】 147,2【解析】由向量 2te17 e2与 e1 te2的夹角为钝角，得 12120tte，即(2 te17 e2)(e1 te2)0整理得： 1270t t(*)| e1|2，| e2|1， e1， e260 e1e221cos 601，(*)式化简得：2 t215 t70解得： 7t当向量 2te17 e2与 e1 te2夹角为 180时，设 2te17 e2 (e1 te2) ( 0)对比系数得 70t，412t，所求实数 t 的取值范围是 417,222 【答案】见解析【解析】证明 如右图所示， 1122ODABab， 213OGDab 13PGm PQOnmba又 P、 G、 Q 三点共线，所以存在一个实数 ，使得 PG 13mnaba， 11033mna+b a 与 b 不共线， 103mn，由消去 得： 13mn
