1、1第 二 章 推 理 与 证 明注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将准 考 证 号 条 形 码 粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题
2、区 域 内 。 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1实数 a、b、c 不全为 0 等价于（ ）A 、b、c 均不为 0B 、b、c 中至多有一个为 0C a、b、c 中至少有一个为 0D 、b、c 中至少有一个不为 02用火柴棒摆“金鱼” ，如图所示：按照上面的规律，第 n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为（ ）A6n2 B8n2 C6
3、n2 D8n23已知数列 na的前 n 项和 2nnSa，而 1a，通过计算 a、a、 4，猜想 （ ）A 21n B 1nC D22n 1 22n 14观察数列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，的特点，则第 100 项为（ ）A10 B14 C13 D1005用分析法证明：欲使AB，只需Cf(x2)”的是（ ）Af(x) Bf(x)(x1) 21xCf(x)e x Df(x)ln(x1)7已知 2211343)3(nabc 对一切 nN *都成立，那么 a、b、c 的值为（ ）A ，bc B abc12 14 14C a0，bc D不存在这样的 a、b、c148已知 1osfx， 2
4、1fxf， 32fxf， 43fxf， ，nnf，则 016等于（ ）A siB sinC cosD cosx9已知各项均不为零的数列 a，定义向量 1,na ， ,1nb，*nN下列命题中真命题是（ ）A若 *总有 ncb成立，则数列 na是等差数列B若 总有 成立，则数列 是等比数列C若 *N总有 nc成立，则数列 n是等差数列D若 总有 b成立，则数列 a是等比数列10用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程 x2bxc0(a0)有有理根，那么 a、b、c 中至少有一个是偶数” ，下列各假设中正确的是（ ）A假设 、b、c 都是偶数B假设 、b、c 都不是偶数C假设 a、b、c 中至多有
5、一个是偶数D假设 、b、c 中至多有两个偶数211已知函数 f(x)lg ，若 fab，则 ()fa等于（ ）1 x1 xAb Bb C D1b 1b12已知 f(x)x 3x， a、b、cR，且 0a， c，bc0，则 faffc的值（ ）A一定大于零 B一定等于零C一定小于零 D正负都有可能二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上）13 “AC、BD 是菱形 ABCD 的对角线，AC、BD 互相垂直且平分 ”以上推理的大前提是_14设函数 fx(x0)，观察：xx 21fxf ，xx 221ff ，x3x 432fxf ，x7x 843ff
6、，x15x 16根据以上事实，由归纳推理可得：当 nN *且 n2 时， 1nnfxfx _15由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“ ab”；“(mn)tmtnt”类比得到“ ()cabc”；“t0，mtntmn”类比得到“ 0， a”；“|mn|m|n|”类比得到“ b”；“(mn)tm(nt)”类比得到“ ac”；“ acb”类比得到“ acb”以上类比得到的结论正确的是_16观察下列等式：11 1 31123 1 32 391236 1 32 33 336123410 1 32 33 34 31001234515 1 32 33 34 35 3225
7、可以推测：1 32 33 3n 3_(nN *，用含有 n 的代数式表示)三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17 （10 分）观察下面所示的“三角数阵”记第 n 行的第 2 个数为 na(n2，nN *)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：（1）第 6 行的 6 个数依次为_、_、_、_、_、_；（2）依次写出 2a、 3、 4、 5a；（3）归纳出 1n 与 的关系式318 （12 分）已知函数 21xfa，求证：函数 fx在 1,上为增函数19 （12 分）已知椭圆具有以下性质：若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个
8、点，点 P 是椭圆上任意一点，若直线 PM、PN 的斜率都存在，并记为 PMk、 N，那么PMk与 N之积是与点 P 的位置无关的定值试对双曲线 21xyab，写出具有类似的性质，并加以证明20 （12 分）已知ABC 的三个内角 A，B，C 为等差数列，且 a，b，c 分别为角A，B，C 的对边求证：( ab) 1 (bc) 1 3( bc) 1 421 （12 分）等差数列 na的前 n 项和为 Sn， 1a1 ，S 393 2 2（1）求数列 n的通项 与前 n 项和 Sn；（2）设 bn (nN )，求证：数列 nb中任意不同的三项都不可能成等比数Snn列 22 （12 分）已知函数
9、f(x)(x2)e x x2x212（1）求函数 f(x)的单调区间和极值；（2）证明：当 x1 时，f(x) x3 x16 1212018-2019 学 年 选 修 2-2 第 二 章 训 练 卷推 理 与 证 明 （ 一 ） 答 案一、选择题1 【答案】D【解析】 “不全为 0”的含义是至少有一个不为 0，其否定应为“全为 0”故选D2 【答案】C【解析】归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后 6 根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为 8，公差是 6 的等差数列，通项公式为 62na故选 C3 【答案】B【解析】 221a
10、Sa， 213，2323394， 16a 24 4169Saa， 40由此猜想 1n故选 B4 【答案】B【解析】设 nN *，则数字 n 共有 n 个， 102即 n(n1)200，又nN *，n13，到第 13 个 13 时共有 91 项，从第 92 项开始为1314214，故第 100 项为 14故选 B5 【答案】B【解析】，是的必要条件故选 B6 【答案】A【解析】若满足题目中的条件，则 f(x)在(0，)上为减函数，在 A、B、C、D四选项中，由基本函数性质知，A 是减函数，故选 A7 【答案】A【解析】令 n1，2，3，得3192734abc， a ，bc 故选 A12 148
11、【答案】A【解析】由已知，有 1cosfx，2sinfx， 3， 4sinfx， 5cosfx， ，可以归纳出：4inf， 41cosnfx， 42inf， *43nfxnN 2016ix故选 A9 【答案】A【解析】对 *nN总有 ncb，则存在实数 0，使 ncb， na， a是等差数列故选 A10 【答案】B【解析】对命题的结论“ 、b、c 中至少有一个是偶数”进行否定假设应是“假设 a、b、c 都不是偶数” “至少有一个”即有一个、两个或三个，因此它的否定应是“都不是” 故选 B11 【答案】B【解析】f(x)定义域为(1，1)， 1)lgllgaf afb故选 B12 【答案】A【解
12、析】f(x)x 3x 是奇函数，且在 R 上是增函数，由 0ab得 b， ff，即 0fafb，同理 0fafc， 0fbfc， c故选 A二、填空题13 【答案】菱形对角线互相垂直且平分214 【答案】 21nnx【解析】由已知可归纳如下： 1112xf ，2221xf， 333fxx ，444f， 21nnnf15 【答案】【解析】都正确；错误，向量不能相除；可由数量积定义判断，错误；向量中结合律不成立，错误16 【答案】 2214n【解析】由条件可知： 32， 32291()，3321261()，不难得出 223321()14nnn 三、解答题17 【答案】 （1）6，16，25，25，
13、16，6；（2）2，4，7，11；（3） 1na 【解析】由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数（1）6，16，25，25，16，6（2） 2a， 34， 7a， 51（3） ， 3， 4a，由此归纳： 1n 18 【答案】见解析【解析】设 1x， 2是 ,上的任意两实数，且 12x，则 1212 1xxfxfaa1212xax 12213xx ，且 ， 12a， 0又 1x， 2， ()x， 120fxf， ff函数 f在 ,上为增函数19 【答案】见解析【解析】类似的性质为：若 M、N 是双曲线21xyab上关于原点对称的两个点
14、，点 P 是双曲线上任意一点，若直线 PM、PN 的斜率都存在，并记为 PMk、 N，那么 Mk与 PN之积是与点 P 的位置无关的定值证明如下：设点 M、P 的坐标为 ,mn、 ,xy，则 ,()Nmn点 M(m，n)在已知双曲线上，n 2 bam2b 2同理 y2 bax2b 2则 kPMkPN 2 2(定值)y nx m y nx m y2 n2x2 m2 x2 m2x2 m220 【答案】见解析【解析】要证( ab) 1 (bc) 1 3( abc) 1 ，即证 13bcb，只需证 a化简得 1cb，即 c(bc)( b) ( ab)(bc)，只需证 c2 a2b 2 cABC 的三个
15、内角 A，B，C 成等差数列，B60，cosB22bac ，12即 a2c 2b 2 c 成立3( ab) 1 (bc) 1 3( abc) 1 成立21 【答案】 （1） n2n 1，S nn(n )；（2）见解析2 2【解析】 （1）设等差数列公差为 d，则 3 1a d93 ，322 2解得 d2， na1 (n1)22n 1，2 2Sn nn(n )2（2）b n n 用反证法证明Snn 2设 bn，b m，b k成等比数列(m，n，k 互不相等)，则 bnbkb ，即(n )(k )(m )2，2m 2 2 2整理得：nkm 2 (2mnk)，左边为有理数，右边是无理数，矛盾，2故任
16、何不同三项都不可能成等比数列22 【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】 （1）f (x)(x1)(e x1)，当 x0 或 x1 时，f (x)0，当 0x1 时，f (x)0，f(x)在(，0)，(1，)上单调递增，在(0，1)上单调递减，当 x0 时，f(x)有极大值 f(0)0，当 x1 时，f(x)有极小值 f(1) e52（2）设 g(x)f(x) x3 x，则 g(x)(x1)(e x )，16 12 x2 32令 u(x)e x ，则 u(x)e x ，x2 32 12当 x1 时，u(x)e x 0，u(x)在1,)上单调递增，u(x)u(1)12e20，g(x)(x1)(e x )0，g(x)f(x) x3 x 在1,)上单调递x2 32 16 12增g(x)f(x) x3 xg(1) e0，16 12 176f(x) x3 x16 12
