1、1第 二 章 推 理 与 证 明注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将准 考 证 号 条 形 码 粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题
2、区 域 内 。 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1如果两个数之和为正数，则这两个数（ ）A一个是正数，一个是负数 B都是正数C不可能有负数 D至少有一个是正数2三角形的面积为 S (abc)r， a，b，c 为三角形的边长，r 为三角形12内切圆的半径，利用类比推理，可以得到四面体的体积为（ ）AV abc13BV Sh13CV (S
3、1S 2S 3S 4)r(S1，S 2，S 3，S 4分别为四面体四个面的面积，r 为四面13体内切球的半径)DV (abbc c)h(h 为四面体的高)133设 01， a ，b ，则正确的结论是（ ）c 1 c c c 1A b B a0，b0，则 p ab与 q ba的大小关系是（ ）Apq Bpq Cpq Dp1)的图像上任意不同两点，2依据图像可知，线段 AB 总是位于 A，B 两点之间函数图像的上方，因此有结论12xa 成立运用类比的思想可知，若点 A(x1，sinx 1)，B(x 2，sinx 2)是x1 x22函数 ysinx(x(0，)的图像上任意不同两点，则类似地有下列结论
4、成立的是（ ）A sinsinx1 sinx22 x1 x22 sinx1 sinx22 x1 x22C 2，则 x，y 中至少有一个大于 1，在用反证法证明时，假设应为_14甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一城市由此可判断乙去过的城市为_15在等差数列 na中，若 10，则有等式12129na ,N成立类比上述性质，相应地，在等比数列 nb中，若 ，则有等式 成立16观察下图：12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10则第_行的各数之和等于 20152三、解答
5、题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17 （10 分）设 f(x) ，分别求 f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)13x 3f(3)，归纳猜想一般性结论，并证明18 （12 分）已知ABC 的三边 a，b，c 的倒数成等差数列，证明：B 为锐角319 （12 分） （1）求证： a2b 23 ab ( b)3（2）已知 a，b，c 均为正实数，且 bc1求证： 1820 （12 分）若 a、b、c 均为实数，且ax 22y ，by 22z ，cz 22x ，求证： a、b、c 中至少有一个 2 3 6大于 0421 （12 分）如图，四棱锥
6、PABCD 中，AP平面PCD，ADBC，ABBC AD，E，F 分别为线段 AD，PC 的中点12（1）求证：AP平面 BEF；（2）求证：BE平面 PAC22 （12 分）已知函数 f(n)(nN )满足条件：f(2)2，f(xy)f(x)f(y)，f(n)N ，当 xy 时，有 f(x)f(y)（1）求 f(1)，f(3)的值；（2）由 f(1)，f(2)，f(3)的值，猜想 f(n)的解析式；（3）证明你猜想的 f(n)的解析式的正确性12018-2019 学 年 选 修 2-2 第 二 章 训 练 卷推 理 与 证 明 （ 二 ） 答 案一、选择题1 【答案】D【解析】两个数的和为正
7、数，可以是一正一负，也可以是一正一为 0，还可以是两正，但不可能是两负故选 D2 【答案】C【解析】从二维类比至三维，对应元素发生改变：边长对应表面积，内切圆半径对应内切球半径故选 C3 【答案】B【解析】 1a2cos， 2a 2 2cos ，2 2cos1 cos2 23a 2 2cos ，2 2cos 2 1 cos 22 4猜想 n2cos 故选 B2n 14 【答案】D【解析】由 nk 到 nk1 时，左边需要添加的项是 21k故选 D11 2 3 k 15 【答案】C【解析】f(x2)f(x)f(2)，令 x1 则有 f(1)f(1)f(2)，f(2)2f(1)，又f(1) ，f(
8、2)112f(5)f(23)f(2)f(3)f(2)f(2)f(1)2f(2)f(1)2 12 526 【答案】B【解析】 a ，b ，c 1 c1c 1 c c c 1 1c c 1而 ab，则 b1， ab0， 1；pq若 01；pq若 ab，则 1，pq故选 Apq10 【答案】B【解析】通过观察可以发现|x|y|的值为 1，2，3 时，对应的(x，y)的不同整数解的个数为 4，8，12，可推出当|x|y|n 时，对应的不同整数解(x，y)的个数为 4n，|x|y|20 的不同整数解(x，y)的个数为 80故选 B11 【答案】A【解析】点 A，B 是函数 ysinx(x(0，)的图像上
9、任意不同两点，依据图像可知，线段 AB 总是位于 A，B 两点之间函数图像的下方， 2，d2，则 cd4，与已知 cd4 相矛盾，则假设不成立，故 min (c，d)2，即 cd2故选 C二、填空题13 【答案】x，y 均不大于 1(或者 x1 且 y1)【解析】 “至少有一个”的反面为“一个也没有” ，即“x，y 均不大于 1”，亦即“x1且 y1” 14 【答案】A【解析】本题主要考查逻辑推理，意在考查考生分析问题、解决问题的能力由甲、丙的回答易知甲去过 A 城市和 C 城市，乙去过 A 城市或 C 城市，结合乙的回答可得乙去过 A 城市15 【答案】 121217(),nnbb N 【解
10、析】这是由一类事物(等差数列)到与其相似的一类事物(等比数列)间的类比在等差数列 na的前 19 项中，其中间项 10a，则 19218209102nnna ， 19n ，即 129181na -，又 19a -， 28 -， 9n -， 2191219n naa 相似地，在等比数列b n的前 17 项中，b 91 为其中间项，则可得 121217(),nbb N 16 【答案】1008【解析】观察知，图中的第 n 行的各数构成一个首项为 n，公差为 1，共(2n1)项的等差数列，其各项和为：Sn(2n1)n 21(2n1)n(2n1)(n1)(2n1) 2令(2n1) 22015 2，得 2
11、n12015，n1008三、解答题17 【答案】见解析【解析】f(0)f(1) 130 3 131 3 11 3 13 3 3 12 3 36，33同理可得 f(1)f(2) ，f(2)f(3) ，33 33并注意到三个特殊式子中，自变量之和均等于 1归纳猜想得：当 x1x 21 时，均有 f(x1)f(x 2) 33证明：设 x1x 21，f(x 1)f(x 2) 1233xx13x1 3 13x2 31221233xx12x12x18 【答案】见解析【解析】证明：要证明 B 为锐角，只需证 cosB0又cosB22acb，只需证明 2c 2b 20，即 a2c 2b2 a2c 22 c，只
12、需证明 2 cb2由已知，得 1ba，即 2 cb( c)只需证明 b( c)b 2，即只需证明 acb而已知 ，b，c 为ABC 的三边，即 cb 成立，B 为锐角19 【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】证明：（1） a2b 22 b， a232 a，b 232 b，3 3将此三式相加得 2( 2b 23)2 b2 2 b，3 3 a2b 23 b ( b)33（2） a，b，c 均为正实数，且 abc1， 11 bac228bcabcabc故 11820 【答案】见解析【解析】假设 a、b、c 都不大于 0，且 a0，b0，c0， bc0而 abc (x2 2y 2) (y2 2
13、z 3) (z2 2x 6)(x 22x)(y 22y)(z 22z)(x1) 2(y1) 2(z1) 23 abc0，这与 abc0 矛盾故 、b、c 中至少有一个大于 021 【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】 （1）设 ACBEO，连接 OF，EC由于 E 为 AD 的中点，ABBC AD，ADBC，12AEBC，AEABBC，因此四边形 ABCE 为菱形，O 为 AC 的中点又 F 为 PC 的中点，因此在PAC 中，可得 APOF又 OF平面 BEF，AP平面 BEFAP平面 BEF（2）由题意知 EDBC，EDBC四边形 BCDE 为平行四边形，因此 BECD又 AP平面
14、 PCD，APCD，因此 APBE四边形 ABCE 为菱形，BEAC又 APACA，AP，AC平面 PAC，BE平面 PAC22 【答案】 （1）f(1)1，f(3)3（2）猜想 f(n)n(nN )；（3）见解析【解析】 （1）f(2)f(21)f(2)f(1)，又 f(2)2，f(1)1又f(4)f(22)f(2)f(2)4，2f(2)f(3)f(4)4，且 f(3)N f(3)3（2）由 f(1)1，f(2)2，f(3)3，猜想 f(n)n(nN )（3）用数学归纳法证明：（i）当 n1 时，f(1)1，函数解析式成立（ii）假设 nk(kN )时，f(k)k，函数解析式成立若 k12m(mN )，f(k1)f(2m)f(2)f(m)2mk1若 k12m1(mN )，f(2m2)f2(m1)f(2)f(m1)2(m1)2m2，2mf(2m)f(2m1)f(2m2)2m2f(2m1)2m1k1即当 nk1 时，函数解析式成立综合（i） （ii）可知，f(n)n(nN )成立
