1、1专题 04 曲线运动核心考点 考纲要求运动的合成与分解抛体运动匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度匀速圆周运动的向心力离心现象2考点 1 “关联”速度问题1“关联”速度绳、杆等有长度的物体，在运动过程中，如果两端点的速度方向不在绳、杆所在直线上，两端的速度通常是不一样的，但两端点的速度是有联系的，称之为“关联”速度。由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题的原则是把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。2分析“关联”速度的基本步骤确 定 研 究 对 象 绳 杆 、 物 接 触 点
2、 确 定 合 运 动 方 向 即 物 体 实 际 运 动 的 方 向Error!分 析 这 个 合 运 动 所产 生 的 实 际 效 果Error!确 定 两 个 分 速 度 的方 向（2018江西吉安三校联考）如图所示，轻质不可伸长的细绳，绕过光滑定滑轮 C，与质量为 m 的物体 A 连接， A 放在倾角为 的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体 B 连接。现 BC 连线恰沿水平方向，从当前位置开始 B 以速度 v0匀速下滑。设绳子的张力为 T，在此后的运动过程中，下列说法错误的是A物体 A 做变速运动B物体 A 的速度小于物体 B 的速度C T 小于 mgsin D T 大于 m
3、gsin 【参考答案】C【试题解析】由题意可知，将 B 的实际运动，分解成两个分运动，如图所示，根据平行四边形定则，31如图所示，套在竖直细杆上的环 A 由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物 B 相连。由于 B 的质量较大，故在释放 B 后， A 将沿杆上升，当 A 环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度 v10，若这时 B 的速度为 v2，则A v2=v1 B v2v1C v20 D v2=0【答案】D【解析】把 A 上升的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向的速度，而沿绳子方向的速度与 B 的速度相等。如图所示， A 的速度为 v，可看成是合速度其分速度分别是 va、 vb，其中
4、va就是 B 的速度v（同一根绳子，大小相同），当 A 环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时， va=0，所以 B 的速度v2=0。考点 2 小船渡河模型1模型条件（1）物体同时参与两个匀速直线运动。4（2）一个分运动速度大小和方向保持不变，另一个分运动速度大小不变，方向可在一定范围内变化。2模型特点（1）船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。（2）三种速度：船在静水中的速度 v1、水的流速 v2、船的实际速度 v。 A两船不会相遇B两船在 C 点相遇C两船在 AC 的中点相遇D两船在 BC 的中点相遇【参考答案】D【试题解析】将两船的运动分解为垂直于河岸方向和沿河岸方向，在垂直
5、于河岸方向上，两船的分速1小船横渡一条两岸平行的河流，船本身提供的速度（即静水速度）大小不变、船身方向垂直于河岸，水流速度与河岸平行，已知小船的运动轨迹如图所示，则A越接近河岸水流速度越小B越接近河岸水流速度越大C无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最短5D该船渡河的时间会受水流速度变化的影响【答案】AC考 点 3 平 抛 运 动 的 规 律 的 应 用“平抛+斜面”类问题方法 示意图 时间 总结分解速度对着斜面抛如图所示， vy=gt， ，故0tang分解速度，构建速度三角形分解位移顺着斜面抛如图所示， x=v0t，21ygt，而anyx，联立得分解位移，构建位移三角形（2018湖北鄂州）
6、如图所示，甲、乙两个小球从同一固定斜面的顶端 O 点水平抛出，分别落到斜面上的 A、 B 两点， A 点为 OB 的中点，不计空气阻力。以下说法正确的是A甲、乙两球做平抛运动的初速度大小之比为 1:2B甲、乙两球接触斜面的瞬间，速度的方向相同C甲、乙两球做平抛运动的时间之比为 1:3D甲、乙两球运动过程中速度变化量的方向不相同【参考答案】B6【试题解析】因为两球下落的高度之比为 1:2，据21hgt得h，可知甲乙两球运动的时间之比1如图所示，从倾角为 的斜面上的 A 点，以水平速度 v0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上B 点所用的时间为A02sinvgB02tanvgC0siD0t【答
7、案】B 0cosLvt，竖直方向 ，联立解得：02tanvg，B 正确。考点 4 类平抛运动与斜抛运动的规律一、类平抛运动1模型特点：a受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直；b运动特点：在初速度 v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度Fam合。2处理方法（1）常规分解：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向（即沿合力的方向）的匀加速直线运动，两个分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性；7（2）特殊分解：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为 ax、 ay，初速度 v0分解为 vx、 vy，然
8、后分别在 x、 y 方向列方程求解。 （2）“轻绳模型”在轨道最高点无支撑，“轻杆模型”在轨道最高点有支撑。2两种模型比较：轻绳模型 轻杆模型常见类型均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球过最高点的临界条件 由2vmgr得 =gr临v 临 =0讨论分析1过最高点时， v gr， FN+2vmr，绳、轨道对球产生弹力 FN。2当 v r时，不能过最高点，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道1当 v=0 时， FN=mg， FN为支持力，沿半径背离圆心。2当 0 v gr时， ， FN背离圆心，随 v 的增大而减小。3当 v= 时， FN=0。4当 v gr时， ， FN指向圆心并随 v 的增大而增大
9、二、生活中的圆周运动1铁路转弯（1）火车转弯时的运动特点火车转弯时做的是圆周运动，因而具有向心加速度，需要向心力。（2）向心力的来源转弯处外轨道略高于内轨道，适当选择内外轨的高度差，可使转弯时所需的向心力几乎完全由支持力与重力的合力来提供。设内外轨间的距离为 L，内外轨的高度差为 h，火车转弯的半径为 R，火车转弯的规定速度为 v0，如图所示 F 合 =mgtan mgsin =mgh（ 较小时，sin tan ），8由牛顿第二定律得：20=vFmR合，所以 ，即火车转弯的规定速度0ghvL。由于铁轨建成后， h、 L、 R 各量是确定的，故火车转弯时的车速应是一个定值。注意：a当火车行驶速率
10、 v=v0时，火车对内外轨均无侧向压力；b当火车行驶速率 vv0时，外轨道对轮缘有侧向压力；c当火车行驶速率 vv0时，内轨道对轮缘有侧向压力；同理，高速公路、赛车的弯道处也是外高内低，使重力和支持力的合力提供车辆转弯时所需要的向心力，减小由于转弯产生的摩擦力对车轮的损坏。2拱形桥汽车以速度 v 过半径 R 的凸形（或凹形）桥时受力如图所示，在最高点（或最低点）处，由重力和支持力的合力提供向心力。（1）在凸形桥的最高点， ， ，速度越大， FN越小，当 vgR时，FN=0。（2）在凹形桥（路面）最低点， ， ，速度越大， FN越大。93离心运动做圆周运动的物体，在所受的合外力突然消失或合外力不
11、足以提供物体做圆周运动所需的向心力的情况下，就会做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动。（2018力学综合复习卷）如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为 r， a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径是 4r，小轮的半径为 2r， b 点在小轮上，到小轮中心的距离为 r， c 点和 d 点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则A a 点与 b 点的线速度大小相等B a 点与 b 点的角速度大小相等C a 点与 c 点的线速度大小相等D a 点与 d 点的向心加速度大小相等【参考答案】CD【试题解析】由图可知， a、 c 两点的线速度大小相等，所以： va:vc=1
12、:1；由图可知， b、 c、 d 三点是同轴转动，角速度相等；根据 v=r ，得： a: c=rc:ra=2:1；根据 v=r ， c 的半径为 2r， b 点半径为r，所以 c 的线速度大于 b 的线速度，所以 a 的线速度大于 b 的线速度，故 A 错误，C 正确；以 a 的线速度大于 b 的线速度，它们的半径是相等的，根据 v=r ，所以角速度不同，故 B 错误；根据 v=r ，大轮半径为 4r，小轮半径为 r，所以： vc:vd=2r:4r=1:2，所以： va:vd=vc:vd=1:2；根据向心加速度的公式：a=v ，则 a 点与 d 点的向心加速度关系： ，故 D 正确。 1火车轨
13、道在转弯处外轨高于内轨，其高度由转弯半径与火车速度确定。若在转弯处规定行驶速度为 v，则下列说法正确的是A当速度大于 v 时，轮缘挤压外轨B当速度小于 v 时，轮缘挤压外轨C当以 v 的速度通过此弯路时，火车重力与轨道支持力的合力提供向心力D当以 v 的速度通过此弯路时，火车重力、轨道支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力10【答案】AC实际转弯速度大于 v，所需要的向心力增大，火车有离心趋势，车轮与外侧铁轨挤压，反之，挤压内侧铁轨，故 A 正确，B 错误。考点 6 圆周运动与抛体运动的综合1水平面内的圆周运动与平抛运动的综合问题（1）问题特点：此类问题往往是物体先做水平面内的匀速圆周运动，后
14、做平抛运动；（2）解题关键：明确水平面内匀速圆周运动的向心力来源，根据牛顿第二定律和向心力公式列方程；平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移；速度是联系前后两个过程的关键物理量，前一个过程的末速度是后一个过程的初速度。2竖直面内的圆周运动与平抛运动的综合问题（1）问题特点：此类问题有时物体先做竖直面内的变速圆周运动，后做平抛运动，有时物体先做平抛运动，后做竖直面内的变速圆周运动，往往要结合能量关系求解，多以计算题的形式考查；（2）解题关键：首先要明确是“轻杆模型”还是“轻绳模型”，然后分析物体能够达到圆周最高点的临界条件；注意前后两过程中速度的连续性。（2018吉林白城通渭三校联考）
15、如图所示，靠在一起的 M、 N 两转盘靠摩擦传动，两盘均绕过圆心的竖直轴转动， M 盘的半径为 r， N 盘的半径 R=2r。 A 为 M 盘边缘上的一点， B、 C 为 N 盘直径的两个端点当 O、 A、 B、 C 共线时，从 O的正上方 P 点以初速度 v0沿 O O 方向水平抛出一小球。小球落至圆盘 C 点，重力加速度为 g。则下列说法正确的是11A若 M 盘转动角速度02vr，则小球抛出时到 O的高度为20grvB若小球抛出时到 O的高度为20gv，则 M 盘转动的角速度必为rC只要 M 盘转动角速度满足 ，小球就可能落至 C 点D只要小球抛出时到 O的高度恰当，小球就可能落至 C 点
16、【参考答案】A【试题解析】若 M 盘转动角速度为 ，则 N 转动的角速度为12；根据平抛运动的规律知h=12gt2，1如图所示，一光滑的半径为 R 的半圆形轨道固定在水平面上，一个质量为 m 的小球先后两次以不同的速度冲上轨道，第一次小球恰能通过轨道的最高点 A，之后落于水平面上的 P 点，第二次小球通过最高点后落于 Q 点， P、 Q 两点间距离为 R。求：12（1）第一次小球落点 P 到轨道底端 B 的距离；（2）第二次小球经过 A 点时对轨道的压力。【答案】（1） 2PBxR （2）54Fmg【解析】（1）小球恰能通过轨道最高点有 vmg21解得 R1小球下落运动时间由 2gtRt1（2
17、018江苏卷）某弹射管每次弹出的小球速度相等。在沿光滑竖直轨道自由下落过程中，该弹射管13保持水平，先后弹出两只小球。忽略空气阻力，两只小球落到水平地面的A时刻相同，地点相同B时刻相同，地点不同C时刻不同，地点相同D时刻不同，地点不同【答案】B 【解析】弹射管在竖直方向做自由落体运动，所以弹出小球在竖直方向运动的时间相等，因此两球应同时落地；由于两小球先后弹出，且弹出小球的初速度相同，所以小球在水平方向运动的时间不等，因小球在水平方向做匀速运动，所以水平位移相等，因此落点不相同，故选项 B 正确。2（2018北京卷）根据高中所学知识可知，做自由落体运动的小球，将落在正下方位置。但实际上，赤道上
18、方 200m 处无初速下落的小球将落在正下方位置偏东约 6 cm 处，这一现象可解释为，除重力外，由于地球自转，下落过程小球还受到一个水平向东的“力”，该“力”与竖直方向的速度大小成正比，现将小球从赤道地面竖直上抛，考虑对称性，上升过程该“力”水平向西，则小球A到最高点时，水平方向的加速度和速度均为零B到最高点时，水平方向的加速度和速度均不为零C落地点在抛出点东侧D落地点在抛出点西侧【答案】D3（2018天津卷）滑雪运动深受人民群众的喜爱，某滑雪运动员（可视为质点）由坡道进入竖直面内的圆弧形滑道 AB，从滑道的 A 点滑行到最低点 B 的过程中，由于摩擦力的存在，运动员的速率不变，则运动员沿
19、AB 下滑过程中A所受合外力始终为零B所受摩擦力大小不变14C合外力做功一定为零D机械能始终保持不变【答案】C【解析】根据曲线运动的特点分析物体受力情况，根据牛顿第二定律求解出运动员与曲面间的正压力变化情况，从而分析运动员所受摩擦力变化；根据运动员的动能变化情况，结合动能定理分析合外力做功；根据运动过程中，是否只有重力做功来判断运动员的机械能是否守恒；因为运动员做曲线运动，所以合力一定不为零，A 错误；运动员受力如图所示，重力垂直曲面的分力与曲面对运动员的支持力的合力充当向心力，故有 ，运动过程中速率恒定，且 在减小，所以曲面对运动员的支持力越来越大，根据 可知摩擦力越来越大，B 错误；运动员
20、运动过程中速率不变，质量不变，即动能不变，动能变化量为零，根据动能定理可知合力做功为零，C 正确；因为克服摩擦力做功，机械能不守恒，D 错误。 4（2018新课标全国 III 卷）在一斜面顶端，将甲乙两个小球分别以 v 和 的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的A2 倍 B4 倍C6 倍 D8 倍【答案】A5（2018新课标 I 卷）如图， abc 是竖直面内的光滑固定轨道， ab 水平，长度为 2R； bc 是半径为 R 的15四分之一的圆弧，与 ab 相切于 b 点。一质量为 m 的小球。始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，自 a 点处
21、从静止开始向右运动，重力加速度大小为 g。小球从 a 点开始运动到其他轨迹最高点，机械能的增量为A2 mgRB4 mgRC5 mgRD6 mgR【答案】C6（2018浙江选考） A、B 两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动（如图），在相同时间内，它们通过的路程之比是 4:3，运动方向改变的角度之比是 3:2，则它们A线速度大小之比为 4:3B角速度大小之比为 3:416C圆周运动的半径之比为 2:1D向心加速度大小之比为 1:2【答案】A【解析】因为相同时间内他们通过的路程之比是 4:3，根据 ，则 A、 B 的线速度之比为 4:3，故 A 正确；运动方向改变的角度之比为 3:2，根据 ，则角速度之
22、比为 3:2，故 B 错误；根据 可得圆周运动的半径之比为 ，故 C 错误；根据 a=v 得，向心加速度之比为 ，故 D 错误。 ，速度较小的球没有越过球网；其原因是A速度较小的球下降相同距离所用的时间较多B速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大C速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少D速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大【答案】C【解析】由题意知，速度大的球先过球网，即同样的时间速度大的球水平位移大，或者同样的水平距离速度大的球用时少，故 C 正确，ABD 错误。10（2017江苏卷）如图所示， A、 B 两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间 t 在空中相遇，若两球的
23、抛出速度都变为原来的 2 倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为A t B2tC 2 D 4t【答案】C【解析】设第一次抛出时 A 球的速度为 v1， B 球的速度为 v2，则 A、 B 间的水平距离 x=(v1+v2)t，第二次两球的速度为第一次的 2 倍，但两球间的水平距离不变，则 x=2(v1+v2)T，联立得 T=t2，所以 C 正确；ABD 错误。 1711（2016新课标全国卷）如图，一固定容器的内壁是半径为 R 的半球面；在半球面水平直径的一端有一质量为 m 的质点 P。它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为 W。重力加速度大小为 g。设质点 P 在最低点时，向心
24、加速度的大小为 a，容器对它的支持力大小为 N，则A B C D 【答案】AC12（2016浙江卷）如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径 R=90 m 的大圆弧和 r=40 m 的小圆弧，直道与弯道相切。大、小圆弧圆心 O、 O距离 L=100 m。赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的 2.25 倍。假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动，要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短（发动机功率足够大，重力加速度g=10 m/s2， =3.14），则赛车A在绕过小圆弧弯道后加速B在大圆弧弯道上的速率为 45 m/sC在直道上的加速度大小为
25、 5.63 m/s2D通过小圆弧弯道的时间为 5.85 s18【答案】AB13（2016江苏卷）有 A、 B 两小球， B 的质量为 A 的两倍。现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力。图中为 A 的运动轨迹，则 B 的运动轨迹是A BC D【答案】A 【解析】由题意知 A、 B 两小球抛出的初速度相同，由牛顿第二定律知，两小球运动的加速度相同，所以运动的轨迹相同，故 A 正确；BCD 错误。14（2016上海卷）风速仪结构如图（a）所示。光源发出的光经光纤传输，被探测器接收，当风轮旋转时，通过齿轮带动凸轮圆盘旋转，当圆盘上的凸轮经过透镜系统时光被挡住。已知风轮叶片转动半径为 r，每转
26、动 n 圈带动凸轮圆盘转动一圈。若某段时间 t 内探测器接收到的光强随时间变化关系如图（b）所示，则该时间段内风轮叶片19A转速逐渐减小，平均速率为4nrtB转速逐渐减小，平均速率为8tC转速逐渐增大，平均速率为4nrtD转速逐渐增大，平均速率为8t【答案】B15（2016上海卷）如图，圆弧形凹槽固定在水平地面上，其中 ABC 是位于竖直平面内以 O 为圆心的一段圆弧， OA 与竖直方向的夹角为 。一小球以速度 0v从桌面边缘 P 水平抛出，恰好从 A 点沿圆弧的切线方向进入凹槽。小球从 P 到 A 的运动时间为_；直线 PA 与竖直方向的夹角 =_。【答案】0tanvg【解析】根据题意，小球
27、从 P 点抛出后做平抛运动，小球运动到 A 点时将速度分解，有，2016（2016新课标全国卷）如图，在竖直平面内有由14圆弧 AB 和 2圆弧 BC 组成的光滑固定轨道，两者在最低点 B 平滑连接。 AB 弧的半径为 R， BC 弧的半径为R。一小球在 A 点正上方与 A 相距 4R处由静止开始自由下落，经 A 点沿圆弧轨道运动。（1）求小球在 B、 A 两点的动能之比；（2）通过计算判断小球能否沿轨道运动到 C 点。【答案】（1）k5ABE（2）小球恰好可以沿轨道运动到 C 点【解析】（1）设小球的质量为 m，小球在 A 点的动能为 kAE，由机械能守恒可得 k4AREmg设小球在 B 点的动能为 kBE，同理有 由联立可得 k5A（2）若小球能沿轨道运动到 C 点，小球在 C 点所受轨道的正压力 N 应满足 0设小球在 C 点的速度大小为 Cv，根据牛顿运动定律和向心加速度公式有 21
