1、- 1 -育才学校 2018-2019 学年度上学期第三次月考卷高二实验班文科数学第 I 卷 （60 分）一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.命题“若( p)，则 q”的逆否命题为( )A 若 p，则( q) B 若( q)，则( p)C 若( q)，则 p D 若 q，则 p2.已知 p：函数 f(x)( a1) x为增函数， q： x ， ax10，则 p 是 q 的( )A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件 D 既不充分也不必要条件3.已知命题 p：“ x1,2 ， x2 a0” ；命题 q：“ x0R， 2 ax02 a0” 若命题“p 且 q
2、”是真命题，则实数 a 的取值范围为( )A a2 或 a1 B a2 或 1 a2C a1 D 2 a14.已知椭圆 1，若此椭圆上存在不同的两点 A， B 关于直线 y4 x m 对称，则实数 m的取值范围是( )A B C D5.已知双曲线 1( a0， b0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 M、 N 两点， O 是坐标原点若 OM ON，则双曲线的离心率为( )A B C D6.如图，过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A， B 两点，交其准线于点 C，若| BC|2| BF|且| AF|3，则此抛物线的方程为( )- 2 -A y23 x B
3、 y29 x C y2 x D y2 x7.已知点 A(1,2)是抛物线 C： y22 px 与直线 l： y k(x1)的一个交点，则抛物线 C 的焦点到直线 l 的距离是( )A B C D 238.已知双曲线 1 的右焦点为 F，若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )A ( ， ) B ( ， ) C ， D ， 9.已知命题 p：存在 a0(，0)， a2 a030，那么命题 p 的否定是( )A 存在 a0(0，)， a2 a030B 存在 a0(，0)， a2 a030C 对任意 a(0，)， a22 a30D 对任意 a(，0)， a22
4、 a3010.中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为 ，则双曲线的方程为( )A x2 y21 B x2 y22 C x2 y2 D x2 y211.已知 F 是椭圆 b2x2 a2y2 a2b2(ab0)的一个焦点， PQ 是过其中心的一条弦，且 c，则 PQF 面积的最大值是( )A ab B ab C ac D bc- 3 -12.设 P 是双曲线 1( a0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x2 y0， F1， F2分别是双曲线的左，右焦点，若| PF1|5，则| PF2|等于( )A1 或 5 B1 或 9 C1 D9第 II 卷 （9
5、0 分）二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若命题 p：不等式 ax b0 的解集为 x|x ，命题 q：关于 x 的不等式( x a)(x b)0 的解集为 x|a x b，则“ p 且 q”“p 或 q”及“非 p”形式的复合命题中的真命题是_14.命题“对任意实数 x，都有 x22 x20”的否定为_15.如图所示， F1， F2分别为椭圆 1 的左、右焦点，点 P 在椭圆上， POF2是面积为的正三角形，则 b2_.16.点 P 在椭圆 x2 1 上，点 Q 在直线 y x4 上，若| PQ|的最小值为 ，则m_.三、解答题(共 6 小题, ,共 70 分)
6、 17.（10 分）命题 p：关于 x 的不等式 x2( a1) x a20 的解集为；命题 q：函数y(2 a2 a)x为增函数分别求出下列条件的实数 a 的取值范围(1)p， q 中至少有一个是真命题；(2)“p q”是真命题，且“ p q”是假命题18. （12 分）已知双曲线 C： x2 y21 及直线 l： y kx1.(1)若 l 与 C 有两个不同的交点，求实数 k 的取值范围；(2)若 l 与 C 交于 A， B 两点， O 是坐标原点，且 AOB 的面积为 ，求实数 k 的值19. （12 分）如图，已知 AOB 的一个顶点为抛物线 y22 x 的顶点 O， A， B 两点都
7、在抛物线上，且 AOB90，- 4 -(1)证明：直线 AB 必过一定点；(2)求 AOB 面积的最小值20. （12 分）如图，椭圆 C： 1 的右顶点是 A，上、下两个顶点分别为 B、 D，四边形 OAMB 是矩形( O 为坐标原点)，点 E、 P 分别是线段 OA、 AM 的中点(1) 求证：直线 DE 与直线 BP 的交点在椭圆 C 上；(2) 过点 B 的直线 l1、 l2与椭圆 C 分别交于点 R、 S(不同于 B)，且它们的斜率 k1、 k2满足k1k2 ，求证：直线 RS 过定点，并求出此定点的坐标21. （12 分）已知命题 p：对数 loga(2 t27 t5)( a0，且
8、 a1)有意义， q：关于实数 t的不等式 t2( a3) t( a2)1，解得 a2.q： x ， ax10， a min1.q： a1，则 p 是 q 的充分不必要条件3. A【解析】由已知可知 p 和 q 均为真命题，由命题 p 为真，得 a1，由命题 q 为真得 a2或 a1，所以 a2 或 a1.4. B【解析】 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， AB 的中点为 M(x， y)，kAB ， x1 x22 x， y1 y22 y，3x4 y12，3x4 y12，得 3(x x)4( y y)0，即 y1 y23( x1 x2)，即 y3 x，与 y4 x m 联立得 x
9、m， y3 m，而 M(x， y)在椭圆的内部，则 0， m3.17. p 为真命题时， ( a1) 24 a2 或 a1，解得 a1 或 a|x2|时，S OAB S OAD S OBD (|x1| x2|) |x1 x2|；当 A， B 在双曲线的两支上且 x1x2时，S OAB S ODA S OBD (|x1| x2|) |x1 x2|. S OAB |x1 x2| ，( x1 x2)2(2 )2，即 2 8，解得 k0 或 k .又 0.所以 y1 y22 m， y1y24.于是| y1 y2| 2 .S AOB |OP|(|y1| y2|) |OP|y1 y2| 22 2 .所以当
10、 m0 时， AOB 的面积取得最小值为 4.20. (1) 由题意，得 A(4,0)， B(0,2)， D(0，2)， E(2,0)， P(4,1)所以直线 DE 的方程为y x2，直线 BP 的方程为 y x2.解方程组 得 所以直线 DE 与直线 BP 的交点坐标为( ， )又 1，所以点( ， )在椭圆 1 上即直线 DE 与直线 BP 的交点在椭圆 C 上(2) 直线 BR 的方程为 y k1x2.解方程组 得 或所以点 R 的坐标为( ， )因为 k1k2 ，所以直线 BS 的斜率 k2 .- 11 -直线 BS 的方程为 y x2.解方程组 得 或所以点 S 的坐标为( ， )所
11、以 R、 S 关于坐标原点 O 对称，故 R、 O、 S 三点共线，即直线 RS 过定点 O， O 点坐标为(0,0)21. 解 (1)因为命题 p 为真，则2 t27 t50，解得 1t ，所以实数 t 的取值范围是(1， )(2)因为命题 p 是 q 的充分条件，所以 t|1t 是不等式 t2( a3) t( a2)0 的解集的子集，因为方程 t2( a3) t( a2)0 的两根为 1 和 a2，所以只需 a2 ，解得 a ，即实数 a 的取值范围为 ，)22. (1)设椭圆 C 的标准方程为 1( a b0)，椭圆的一个顶点恰好在抛物线 x28 y 的准线 y2 上， b2，解得 b2.又 ， a2 b2 c2， a4， c2 ，可得椭圆 C 的标准方程为 1.(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， APQ BPQ，则 PA， PB 的斜率互为相互数，可设直线 PA 的斜率为 k，则 PB 的斜率为 k，直线 PA 的方程为 y k(x2)，- 12 -联立化为(14 k2)x28 k( 2 k)x4( 2 k)2160， x12 ，同理可得 x22 ， x1 x2 ， x1 x2 ，设直线 AB 的斜率为 kAB，则 kAB ，直线 AB 的斜率为定值 .
