1、1二次函数的综合应用要题随堂演练1(2018莱芜中考)如图，抛物线 yax 2bxc 经过 A(1，0)，B(4，0)，C(0，3)三点，D 为直线BC 上方抛物线上一动点，DEBC 于 E.(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图 1，求线段 DE 长度的最大值；(3)如图 2，设 AB 的中点为 F，连接 CD，CF，是否存在点 D，使得CDE 中有一个角与CFO 相等？若存在，求点 D 的横坐标；若不存在，请说明理由2如图，在平面直角坐标系中，RtABC 的顶点 A，C 分别在 y 轴，x 轴上，ACB90，OA ，抛3物线 yax 2axa 经过点 B(2， )，与 y 轴交于点 D.3
2、3(1)求抛物线的表达式；(2)点 B 关于直线 AC 的对称点是否在抛物线上？请说明理由；(3)延长 BA 交抛物线于点 E，连接 ED，试说明 EDAC 的理由23(2018自贡中考)如图，抛物线 yax 2bx3 过 A(1，0)，B(3，0)，直线 AD 交抛物线于点 D，点D 的横坐标为2，点 P(m，n)是线段 AD 上的动点(1)求直线 AD 及抛物线的表达式；(2)过点 P 的直线垂直于 x 轴，交抛物线于点 Q，求线段 PQ 的长度 l 与 m 的关系式，m 为何值时，PQ 最长？(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R，使得 P，Q，D，R 为顶点的四边形是平行四
3、边形？若存在，直接写出点 R 的坐标；若不存在，说明理由34参考答案1解：(1)由已知得 解得a b c 0，16a 4b c 0，c 3， ) a 34，b 94，c 3， )y x2 x3.34 94(2)设直线 BC 的表达式为 ykxb， 解得 y x3.4k b 0，b 3， ) k 34，b 3， ) 34设 D(a， a2 a3)，(0a4)34 94如图，过点 D 作 DMx 轴，交 BC 于点 M，M(a， a3)，34DM( a2 a3)( a3) a23a.34 94 34 34DMEOCB，DEMCOB，DEMBOC， .DEDM OBBCOB4，OC3，BC5，DE
4、DM，45DE a2 a (a2) 2 ，35 125 35 125当 a2 时，DE 取最大值，最大值是 .1255(3)假设存在这样的点 D，使得CDE 中有一个角与CFO 相等F 为 AB 的中点，OF ，tanCFO 2.32 OCOF如图，过点 B 作 BGBC，交 CD 的延长线于 G，过点 G 作 GHx 轴，垂足为 H.若DCECFO，tanDCE 2，BG10.GBBCGBHBCO， ，GHBO HBOC GBBCGH8，BH6，G(10，8)设直线 CG 的表达式为 ykxb， 解得b 3，10k b 8， ) k 12，b 3， )y x3，12 解得 x 或 x0(舍)
5、y 12x 3，y 34x2 94x 3， ) 73若CDECFO，同理可得 BG ，GH2，52BH ，32G( ，2)112同理可得直线 CG 的表达式为 y x3，211 解得 x 或 x0(舍)y 211x 3，y 34x2 94x 3， ) 10733综上所述，存在 D 使得CDE 中有一个角与CFO 相等，其横坐标是 或 .73 107332解：(1)把点 B 的坐标代入抛物线的表达式得a2 22aa，解得 a .33 336抛物线的表达式为 y x2 x .33 33 33(2)如图，连接 CD，过点 B 作 BFx 轴于点 F，则BCFCBF90.ACB90，ACOBCF90，
6、ACOCBF.AOCCFB90，AOCCFB， .AOCF OCFB设 OCm，则 CF2m，则有 ，32 m m33解得 m1，OCCF1.当 x0 时，y ，OD ，BFOD.33 33DOCBFC90，OCDFCB，DCCB，OCDFCB，点 B，C，D 在同一直线上，点 B 与点 D 关于直线 AC 对称，点 B 关于直线 AC 的对称点在抛物线上(3)如图，过点 E 作 EGy 轴于点 G，设直线 AB 的表达式为ykxb，则 解得b 3，33 2k b， ) k 33，b 3， )直线 AB 的表达式为 y x .33 3代入抛物线的表达式得 x x2 x .33 3 33 33
7、33解得 x2 或 x2.当 x2 时，y x ，33 3 5 33点 E 的坐标为(2， )5 337tanEDG ，EGDG 25 33 33 33EDG30.tanOAC ，OAC30，OCOA 13 33OACEDG，EDAC.3解：(1)把(1，0)，(3，0)代入函数表达式得解得a b 3 0，9a 3b 3 0， ) a 1，b 2， )抛物线的表达式为 yx 22x3.当 x2 时，y(2) 22(2)3，解得 y3，即 D(2，3)设 AD 的表达式为 ykxb，将 A(1，0)，D(2，3)代入得 解得k b 0， 2k b 3， ) k 1，b 1， )直线 AD 的表达
8、式为 yx1.(2)设 P 点坐标为(m，m1)，Q(m，m 22m3)，l(m1)(m 22m3)，化简得 lm 2m2，配方得 l(m )2 ，12 94当 m 时，l 最大 .12 94(3)由(2)可知，0PQ .当 PQ 为边时，DRPQ 且 DRPQ.94R 是整点，D(2，3)，PQ 是正整数，PQ1 或 PQ2.当 PQ1 时，DR1，此时点 R 的横坐标为2，纵坐标为312 或314，R(2，2)或(2，4)当 PQ2 时，DR2，此时点 R 的横坐标为2，纵坐标为321 或325，即 R(2，1)或(2，5)当 PQ 为对角线时，PDQR，且 PDQR.设点 R 的坐标为(n，nm 2m3)，则 QR22(mn) 2.又P(m，m1)，D(2，3)，8PD 22(m2) 2，(m2) 2(mn) 2，解得 n2(不符合题意，舍去)或 n2m2，点 R 的坐标为(2m2，m 23m1)R 是整点，2m1，当 m1 时，点 R 的坐标为(0，3)；当 m0 时，点 R 的坐标为(2，1)综上所述，存在满足 R 的点，它的坐标为(2，2)或(2，4)或(2，1)或(2，5)或(0，3)或(2，1)
