1、1第二部分 专题六 类型二1(2018创新同盟联考)已知抛物线 y a(x m)22 m(m0)经过原点，其顶点为 P，与 x轴的另一交点为 A.(1)P点坐标为 m， 2m)； A点坐标为(2 m， 0)；(用含 m的代数式表示)(2)求出 a， m之间的关系式；(3)当 m0 时，若抛物线 y a(x m)22 m向下平移 m个单位后经过(1,1)，求此抛物线的表达式；(4)若抛物线 y a(x m)22 m向下平移| m|个单位后与 x轴所截的线段长，与平移前相比有什么变化？请直接写出结果解：(1) P(m,2m)， A(2m,0)(2)将 x0， y0 代入 y a(x m)22 m得
2、am22 m0， m0, am20，am2， a .2m(3)当 m0 时， 抛物线 y a(x m)22 m向下平移 m个单位后： y a(x m)2 m，由于经过(1,1)， a(1 m)2 m1， am22 am a m1，又 am2，所以 a m3 代入 am2，解得 a11, m12； a22, m21.此时抛物线的关系式为 y( x2) 24 或 y2( x1) 21.(4)与 x轴所截的线段长，与平移前相比是原来的 或 倍22 62说明：当 m0 时，则 a0，原抛物线 y a(x m)22 m经过原点，故可化为 y ax22 amx，向下平移 m个单位后为 y ax22 amx
3、 m，( am2， a)2m平移前： d2 m，平移后： d| x1 x2| m，2当 m0 时，则 a0，原抛物线 y a(x m)22 m经过原点，故可化为 y ax22 amx，向下平移 m个单位后为y ax22 amx m，( am2， a )2m平移前： d2 m，平移后： d| x1 x2| m，6与 x轴所截的线段长，与平移前相比是原来的 或 倍22 6222如图，在平面直角坐标系 xOy中，二次函数 y ax2 bx c(a0)的图象经过A(0,4)， B(2,0), C(2,0)三点(1)求二次函数的解析式；(2)在 x轴上另有一点 D(4,0)，将二次函数图象沿着 DA方向
4、平移，使图象再次经过点 B；求平移后图象的顶点 E的坐标；求图象 A， B之间的曲线部分在平移过程中所扫过的面积解：(1)根据抛物线经过三点的坐标特征，可设其解析式为 y a(x2)( x2)( a0)，再代入点 A(0,4)，解得 a1，故二次函数的解析式为 y( x2)( x2) x24( a0)(2)经过点 A(0,4)， D(4,0)两点的直线 DA，其解析式为 y x4.抛物线沿着 DA方向平移后，设向右平移了 m个单位，则顶点 E为( m， m4)，此时抛物线的解析式可设为 y( x m)2( m4)，将点 B(2,0)代入，得 0(2 m)2 m4，解得 m10(舍去)， m25
5、；顶点 E为(5,9)，如答图 1，根据抛物线的轴对称性与平移的性质， A， B之间的曲线部分所扫过的面积显然等于平行四边形 ABFE的面积，也等于 2个 ABE的面积解法一：如答图 2，过点 E作 EK y轴于点 K，S ABE S 梯形 OBEK S AOB S AKE (25)9 42 5515，12 12 12图象 A， B之间的曲线部分在平移过程中所扫过的面积为 2S ABE30.解法二：如答图 2，过点 E作 EK y轴于点 K，过点 B作 BM x轴交 KM于点 M，过点A作 AN y轴交 BM于点 N(将 ABE的面积水平与铅直分割一种面积的常规分割法则)3直线 BM的解析式是
6、 x2，与 DA直线 y x4 相交得到点 G为(2,6)，所以线段 BG6， S ABE S AGB S EGB 62 6315，12 12所以图象 A， B之间的曲线部分在平移过程中所扫过的面积为 2S ABE30.3如图，抛物线 C1： y1 ax22 ax(a0)与 x轴交于点 A，顶点为点 P.(1)直接写出抛物线 C1的对称轴是直线 x1，用含 a的代数式表示顶点 P的坐标 (1， a)；(2)把抛物线 C1绕点 M(m,0)旋转 180得到抛物线 C2(其中 m0)，抛物线 C2与 x轴右侧的交点为点 B，顶点为点 Q.当 m1 时，求线段 AB的长；在的条件下，是否存在 ABP
7、为等腰三角形，若存在，请求出 a的值，若不存在，请说明理由；当四边形 APBQ为矩形时，请求出 m与 a之间的数量关系，并直接写出当 a3 时矩形 APBQ的面积解：(1)抛物线 C1： y1 ax22 ax a(x1) 2 a，对称轴是直线 x1，顶点 P坐标为(1， a)(2)由旋转知， MA MB，当 y10 时， x12， x20， A(2,0)， AO2. M(1,0)， AM3， AB2 MA236；存在 A(2,0)， AB6， B(4,0) A(2,0)， P(1， a)， AP ， BP .12 a 2 1 a2 25 a2当 AB AP时，1 a26 2，解得 a (负值已
8、舍去)；35当 AB BP时，25 a26 2，解得 a (负值已舍去)；11当 AP BP时，1 a225 a2，不成立，4即当 a取 或 时， ABP为等腰三角形35 11如答图，过点 P作 PH x轴于 H，点 A与点 B，点 P与点 Q均关于 M点成中心对称，故四边形APBQ为平行四边形，当 APB90时，四边形 APBQ为矩形，此时 APH PBH， ，即 ，AHHP HPBH 1a a2m 3 a22 m3， m a2 .12 32当 a3 时， m 32 3，12 32 S(2 m4) a(234)330.4(2018赣南模拟)如图，抛物线 C1： y x2 bx c经过原点，与
9、 x轴的另一个交点为(2,0)，将抛物线 C1向右平移 m(m0)个单位得到抛物线 C2， C2交 x轴于 A， B两点(点A在点 B的左边)，交 y轴于点 C.(1)求抛物线 C1的解析式以及顶点坐标；(2)以 AC为斜边向上作等腰直角三角形 ACD，当顶点 D落在抛物线 C2的对称轴上时，求抛物线 C2的解析式；(3)若抛物线 C2的对称轴上存在点 P，使得 PAC为等边三角形，求 m的值解：(1) 抛物线 C1经过原点(0,0)及(2,0)，Error! 解得 Error!抛物线 C1的解析式为 y x22 x( x1) 21.其顶点坐标为(1，1)(2)设抛物线 C2的解析式为 y(
10、x1 m)21，则其对称轴 DE为 x m1( m0)，化简 y( x1 m)21 x22( m1) x( m1) 21，设抛物线 C2与 y轴交于点 C(0， c)，则 c(1 m)21 m22 m.过点 C作 CH DE于点 H，如答图 1， ACD为等腰直角三角形， CD AD， ADC90，5 CDH ADE90， HCD ADE. DEA90， CHD DEA， AE HD1， CH DE m1， EH HD DE1 m1 m2.由 OC EH得 m22 m m2，解得 m11， m22(不合题意，舍去)，抛物线 C2的解析式为 y( x2) 21.图 1 图 2(3)如答图 2，连接 BC， BP，由抛物线对称性可知 AP BP，则点 A(m,0)，对称轴 DE为直线 x m1( m0)，点 B的坐标为( m2,0) ACP为等边三角形， AP CP BP， APC60. C， A， B三点在以 P为圆心 PA为半径的圆上， CBO CPA 6030， BC2 OC，12 12根据勾股定理得 OB OC，BC2 OC2 3 (m22 m) m2，3解得 m1 ， m22(不合题意，舍去)，33 m .33
