1、1第七节 二次函数的综合应用要题随堂演练1(2018莱芜中考)如图，抛物线 yax 2bxc 经过 A(1，0)，B(4，0)，C(0，3)三点，D 为直线BC上方抛物线上一动点，DEBC 于 E.(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图 1，求线段 DE长度的最大值；(3)如图 2，设 AB的中点为 F，连接 CD，CF，是否存在点 D，使得CDE 中有一个角与CFO 相等？若存在，求点 D的横坐标；若不存在，请说明理由图 1 图 22如图，在平面直角坐标系中， RtABC 的顶点 A，C 分别在 y轴，x 轴上，ACB90，OA ，抛3物线 yax 2axa 经过点 B(2， )，与 y轴交
2、于点 D.33(1)求抛物线的表达式；(2)点 B关于直线 AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；(3)延长 BA交抛物线于点 E，连接 ED，试说明 EDAC 的理由23(2018自贡中考)如图，抛物线 yax 2bx3 过 A(1，0)，B(3，0)，直线 AD交抛物线于点 D，点D的横坐标为2，点 P(m，n)是线段 AD上的动点(1)求直线 AD及抛物线的表达式；(2)过点 P的直线垂直于 x轴，交抛物线于点 Q，求线段 PQ的长度 l与 m的关系式，m 为何值时，PQ 最长？(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R，使得 P，Q，D，R 为顶点的四边形是平行四边形？若存在
3、，直接写出点 R的坐标；若不存在，说明理由参考答案1解： (1)由已知得 解得a b c 0，16a 4b c 0，c 3， ) a 34，b 94，c 3， )y x2 x3.34 94(2)设直线 BC的表达式为 ykxb， 解得4k b 0，b 3， ) k 34，b 3， )y x3.34设 D(a， a2 a3)，(0a4)34 943如图，过点 D作 DMx 轴，交 BC于点 M，M(a， a3)，34DM( a2 a3)( a3)34 94 34 a23a.34DMEOCB，DEMCOB，DEMBOC， .DEDM OBBCOB4，OC3，BC5，DE DM，45DE a2 a
4、(a2) 2 ，35 125 35 125当 a2 时，DE 取最大值，最大值 是 .125(3)假设存在这样的点 D，使得CDE 中有一个角与CFO 相等F 为 AB的中点，OF ， tanCFO 2.32 OCOF如图，过点 B作 BGBC，交 CD的延长线于 G，过点 G作 GHx 轴，垂足为 H.若DCECFO， tanDCE 2，BG10.GBBCGBHBCO， ，GHBO HBOC GBBCGH8，BH6，G(10，8)设直线 CG的表达式为 ykxb， 解得b 3，10k b 8， ) k 12，b 3， )4y x3，12 解得 x 或 x0(舍)y 12x 3，y 34x2
5、94x 3， ) 73若CDECFO，同理可得 BG ，GH2，52BH ，32G( ， 2)112同理可得直线 CG的表达式为 y x3，211 解得 x 或 x0(舍)y 211x 3，y 34x2 94x 3， ) 10733综上所述，存在 D使得CDE 中有一个角与CFO 相等，其横坐标是 或 .73 107332解：(1)把点 B的坐标代入抛物线的表达式得a2 22 aa，解得 a .33 33抛物线的表达式为 y x2 x .33 33 33(2)如图，连接 CD，过点 B作 BFx 轴于点 F，则BCFCBF90.ACB90，ACOBCF90，ACOCBF.AOCCFB90 ，A
6、OCCFB， .AOCF OCFB设 OCm，则 CF2m，则有 ，32 m m33解得 m1，OCCF1.当 x0 时，y ，OD ，BFOD.33 33DOCBFC90，OCDFCB，5DCCB，OCDFCB，点 B，C，D 在同一直线上，点 B与点 D关于直线 AC对称，点 B关于直线 AC的对称点在抛物线上(3)如图，过点 E作 EGy 轴于点 G，设直线 AB的表达式为 ykxb，则 解得b 3，33 2k b， ) k 33，b 3， )直线 AB的表达式为 y x .33 3代入抛物线的表达式得 x x2 x .33 3 33 33 33解得 x2 或 x2.当 x2 时，y x
7、 ，33 3 5 33点 E的坐标为(2， )5 33 tanEDG ，EGDG 25 33 33 33EDG30. tanOAC ，OAC30，OCOA 13 33OACEDG，EDAC.3解：(1)把(1，0)，(3，0)代入函数表达式得解得a b 3 0，9a 3b 3 0， ) a 1，b 2， )抛物线的表达式为 yx 22x3.当 x2 时，y(2) 22(2)3，解得 y3，即 D(2，3)设 AD的表达式为 ykxb，将 A(1，0)，D(2，3)代入得 k b 0， 2k b 3， )解得 k 1，b 1， )直线 AD的表达式为 yx1.6(2)设 P点坐标为(m，m1)，
8、Q(m，m 22m3)，l(m1)(m 22m3)，化简得 lm 2m2，配方得 l(m )2 ，12 94当 m 时， l 最大 .12 94(3)由(2)可知，0PQ .当 PQ为边时，DRPQ 且 DRPQ.94R 是整点，D(2，3)，PQ 是正整数，PQ1 或 PQ2.当 PQ1 时，DR1，此时点 R的横坐标为2，纵坐标为312 或314，R(2，2)或(2，4)当 PQ2 时，DR2，此时点 R的横坐标为2，纵坐标为321 或325，即 R(2，1)或(2，5)当 PQ为对角线时，PDQR，且 PDQR.设点 R的坐标为(n，nm 2m3)，则 QR22(mn) 2.又P(m，m1)，D(2，3)，PD 22 (m2) 2，(m2) 2(mn) 2，解得 n2(不合题意，舍去)或 n2m2，点 R的坐标为(2m2，m 23m1)R 是整点，2m1，当 m1 时，点 R的坐标为(0，3)；当 m0 时，点 R的坐标为(2，1)综上所述，存在满足 R的点，它的坐标为(2，2)或(2，4)或(2，1)或(2，5)或(0，3)或(2，1)
