1、108 函数 二次函数及其性质【考点讲解】1、具本目标： 1.掌握二次函数的图象与性质,2.会求二次函数的最值(值域)、单调区间.二、知识概述：二次函数1.一元二次方程的相关知识：根的判别式： ；判别式与根的关系：_；求根公式：_；韦达定理：_.； ； ； 2.二次函数的相关知识： 定义域：_； 值域：_；对称轴方程：_； 顶点坐标：_；与 y轴的交点坐标：_.二次函数的顶点式：_.二次函数的零点式：_；与 x轴的交点坐标：_；定义域： R； 值域： ； 对称轴方程： abx2； 顶点坐标： ；与 y轴的交点坐标： ),0(c.二次函数的顶点 式： .二次函数的零点式： ；与 x轴的交点坐标：
2、 ；3.二次函数 的单调性：当 0a时，单调增区间是_；单调减区 间是_.2当 0a时，单调增区间是_；单调减区间是_.时 ),2(b； )2,(ab 0时 )2,(ab； ),(4.二次函数 在某一闭区间上的最值：首先确定二次函数的顶点：_若顶点的横 坐标在给定的区间上，则：0a时，在顶点处取得最_值，为_，在离对称轴较远的端点取得最_值.时，在顶点处取得最_值，为_，在离对称轴较远的端点取得最_值.若顶点的横坐标不在给定的区间上，则： 0a时，最_值在离对称轴较近的端点处取得，最_值在离对称轴较远的端点处取得.时，最_值在离对称轴较近的端点处取得，最_值在离对称轴较远的端点处取得.；小，
3、abc42，大；大， abc42，小 小 大 大 小5.考点探析：从近几年的高考试题来看，二次函数图像的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用高考对幂函数，只需掌握简单幂函数的图象与性质.6.温馨提示：（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论； （2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解7.根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定
4、系数法，选择规律如下：（1）已知三个点的坐标，可选用一般式；（2）已知顶点坐标、对称轴、最大或最小值，可选用顶点式；（3）已知抛物线与 x 轴的两交点坐标，可选用两点式.【常见题型】1.二次函数的解析式：（1）已知二次函数的图象经过三点 01A（ ， ） ， 2B（ ， ） ， 1C（ ， ） 那么这个二次函数的解析式为_3【答案】（2）已知：抛物线与 x 轴交于（-2，0） ， （4，0）两点，且过点为（1，- 29） ，则函数解析式为_【解析】设二次函数解析式为 ，因为二次函数图象交 x 轴于（-2，0） ， （4，0）两点，且过点（1，- 29） ，设 ， ， 12a 所求函数解析式为：
5、 , 【答案】(3)已知二次函数 ()fx的图象经过点 4,3，它在 x轴上截得的线段长为 2，并且对任意 xR，都有，求 f(x)的解析式【解析】由题意 对 R恒 成立可知，二次函数的对称轴是直线 2.并且函数 f的图象被 x 轴截得的线段的长为 2，所以可知方程 0xf的两个根为 1，3.根据题意可设函数 的解析式为 ，题中给出函数的图象过点（4，3） ，将点坐标代入解析式中可以 求得 1a，所以函数的解析式为 .2.二次函数的图象和性质(1)（2010 安徽）设 0abc，二次函数 的图象可能是 （ ）4c表示的是函数图象与 y 轴的交点位置，当 0c时，图象与 y 轴交于正半轴，当 0
6、c时，图象与 y 轴交于负半轴.结合题意可知符合题意的图象是 D，此时 cba.【答 案】D(2)函数 的图象关于直线 1x对称，则 .【解析】由题意可知二次函数的对称轴为直线 ， 解得 4a，又因为bax,是关于 1x对称，所以有 12ba，解得 6.【答案】 （3）设二次函数 在区间 0,1上单调递减，且 ，则实数 m的取值范围是 . ( )【解析】 法一：二次函数 在区间 ,上单调递减，则 0a，所以 0a，即函数图象的开口向上，对称轴是直线 1x 所以，则当 时，有 2m 【答案】B2. 【2018 年浙江卷】已知 R，函数 ，当 =2 时，不等式 f(x)0 的解集是_若函数 f(x
7、)恰有 2 个零点，则 的取值范围是_【解析】本题考点是两类函数的零点的应用.5由题意可得 042x或 ，所以有 42x或 1，不等式的 0xf的解集为 1， . 【 答案】 3,【模拟考场】1.函数 的单调递增区间是 ( )A 41,( B ),41 C 41,( D ,41【解析】原函数转化为 ，所以函数的单调递增区间为 ),41.【答案】B2.函数 且 ，则下列说法中正确的是 （ ）A. ()fx在区间 (,1上是减函数 B. ()fx在区间 1(,2上是减函数C. 在区间 上是增函数 D. 在区间 上是增函数【答案】B63.函数 在区间 (,6)上是减函数，则实数 a的取值范围是（ ）
8、 A. 3a B. 3a C. 3 D. 3【解 析】由题意可知二次函数 的开口向上，对称轴是直线 ax2，原函数在的单调递减区间为 ，所以有 ，即 6， .【答案】D4.函数 ，下列说法正确的是 （ ）A.函数有最大值 11，有最小值 2 B.函数有最大值 11，有最小值 3C.函数无最大值，有最小值 3 D.函数无最大值，有最小值 2【解析】由题意可知 ，在 上无最大值，有最小值是2. 【答案】D.5若函数 满足 ,则函数的单调减区间是( )A.(,0 B.0,) C.(1 D.1,)【答案】B6如果函数 对任意实数 t 都又有 ，那么（ ）A. B. C. D. 【解析】因为函数 对任意实数 t 都又有 ，所以可知函数的对称轴是直线 ，所以可得 4b，原函数为 .所以有 . 【答案】A77对于二次函数 ()fx=ax2 bx+c, 若函数 (1)fx是偶函数,则 ba的值为( )A. 0 B.1 C.2 D.-2【解析】：令 (1)yf的一次项系数为 0，可得 2ba【答案】：C8.已知函数 ， ()gxm，若对于任一实数 x， ()f与 gx至少有一个为正数，则实数 m的取值范围是( )A. 0,2 B. 0,8 C. (2,8) D. (,0)【解析】 ，此时 0fx恒成立，排除 A.D，易验证 2m满足，故选 B可数形结合详细解释【答案】B
