1、118 导数及其应用 导数的应用 2（恒成立及存在性问题、导数的综合应用）【考点讲解】1、具本目标： 1. 导数在研究函数中的应用：了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间 （对多项式函数一般不超过三次）。了解函数在某点 取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）.2.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题。考点透析：1.以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合； 2.单独考查利用导数研究函数
2、的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现；3.适度关注生活中的优化问题.3.备考重点：(1) 熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；(2) 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方 法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方 程思想等，分析问题解决问题.二、知识概述：一）函数的单调性：1.设函数 y=f(x)在某个区间内可导，如果 0)(xf，则函数 y=f(x)为增函数；如果 f (x)0 非必要条件 )(f为增函数，一定可以推出 0)(f，但反之不一定24. 讨论可导函数的单调性的步骤：（1）确定 )(xf的定义域；（2）求 ，令 0)(f，解方程求分界点
3、；（3）用分界点将定义域分成若干个开区间；（4）判断 )(xf在每个开区间内的符号，即可确定 )(xf的单调性.5.我们也可利用导数来证明一些不等式如 f(x)、 g(x)均在 a、 b上连续，( a， b)上可导，那么令h(x) f(x) g(x)，则 h(x)也在 a， b上连续，且在( a， b)上可导，若对任何 x( a， b)有 h (x)0 且 h(a)0，则当 x( a， b)时 h(x)h(a)=0，从而 f(x)g(x)对所有 x( a， b)成立二）函数的极、最值：1函数的极值(1)函数的极小值：函数 y f(x)在点 x a 的函数值 f(a)比它在点 x a 附近其它点
4、的函数值都小， f(a) 0，而且在点x a 附近的左侧 f(x) 0，右侧 f(x) 0，则点 a 叫做函数 y f(x)的极小值点， f(a)叫做函数y f(x)的极小值(2)函数的极大值：函数 y f(x)在点 x b 的函数值 f(b)比它在点 x b 附近的其他点的函数值都大， f(b) 0，而且在点x b 附近的左侧 f(x) 0，右侧 f(x) 0，则点 b 叫做函数 y f(x)的极大值点， f(b)叫做函数y f(x)的极大值极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值2函数的最值(1)在闭区间 a， b上连续的函数 f(x)在 a， b上必有最大值与最小值(2)
5、若函数 f(x)在 a， b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值， f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在a， b上单调递减，则 f(a)为函数的最大值， f(b)为函数的最小值【真题分析】31.【优选题】若曲线 存在垂直于 y轴的切线，则实数 a取值范围是_.【答案 】 (,0)2.【2018 年江苏卷】若函数 在 ，0内有且只有一个零点，则xf在 1， 上的最大值与最小值的和为_【解析】本题考点是函数的零点、函数的单调性与最值的综合应用.由题意可求得原函数的导函数为 解得 ，因为函数在，0上有且只有一个零点，且有 10f，所以有 ，因此有，函数 xf在 ，上单调递增，在 10， 上单
6、调递减，所以有， ， . 令 ， .， ()hx在 ,4e上单调递减， 2lna得， 2l7.【2018 山东模拟】设函数4（）当 时 ，1m曲线 处的切线斜率.（）求函数的单调区间与极值；（）已知函数 )(xf有三个互不相同的零点 0， 21,x，且 21x.若对任意的 ,21x，1)(xf恒成立，求 m 的取值范围.x)1,(mm1),()(f+ 0 - 0 +x极小值 极大值)(xf在 )1,m和 ),(内减函数，在 内增函数。函数 f在 处取得极大值 )1(mf，且 )1(f=.函数 )(xf在 1处取得极小值 )(f，且 )(f=.（3） 由题设， 5所以方程 =0 由两个相异的实根
7、 21,x，故 321，且 ，解得因为.若 ，而 0)(1xf，不合题意若 ,12x则对任意的 ,21x有则 又 0)(1f，所以函数 )(xf在 ,21x的最小值为 0，于是对任意的 ,21x， )(ff恒成立的充要条件是 ,解得 .综上， m 的取值范围是 3，. 【答案】D3.若函数 有两个零点，则 m的取值范围（ ）A.1,3 B. 3,1 C.3, D. ,1【解析】考查函数 ，则问题转化为曲线 ygx与直线 2y有两个公共点，则 ，则 0g，当 01a时， ln0，当 x时， x， ， 2x，则 ，当 ， ， ， 0，则 ，此时，函数 在区间 ,上单调递减，在区间 0,上单调递增，
8、同理，当 1a时，函数 在区间 ,上单调递减，在区间 ,上单调递增，6因此函数 在 0x处取得极小值，亦即最小值，即 ，由于函数 有两个零点，结合图象知 12m，解得 13，故选 A.【答案】A4.设函数（）求曲线 ()yfx在点 0,()f处的切线方程；（）求函数 的单调区间；（）若函数 ()fx在区间 (1,)内单调递增，求 k的取值范围.（）由 ，得 ，若 0k，则当 时， 0fx，函数 fx单调递减，当 时， f，函数 f单调递增，7若 0k，则当 时， 0fx，函数 fx单调递 增，当 时， f，函数 f单调递减，（）由（）知，若 0k，则当且仅当 1k，即 1k时，函数 fx1,内
9、单调递增，若 0，则当且仅当 k，即 k时，函数 fx,内单调递增，综上可知，函数 1,内单调递增时， k的取值范围是 .5.已知函数 ，其中 0a.若 ()fx在 x=1 处取得极值，求 a 的值； 求 的单调区间；（）若 ()fx的最小值为 1，求 a 的取值范围.当 2a时，在区间 ()fx的单调增区间为 (0,).当 0时，由（）当 2a时，由（）知，8当 02a时，由（）知， ()fx在 2a处取得最小值综上可知，若 ()fx得最小值为 1，则 a 的取值范围是 ,).6.设 （1）求函数 fx的单调区间；（2）若当 1,2时 fm恒成 立，求 的取值范围【解析】（2）根据上一步知函数在区间 21, 3上递增，在区间 2,13上递减，在区间 1,2上递增，又，所以在区间 , 2上 max7f要使 fxm恒成立，只需 7即可.【答案】 （1）增区间为 2,3， 1, 单调减区间为 2, 13（2） 7m
