1、131 平面向量 平面向量的基本定理【考点讲解】一、具本目标： 平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义.（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.考点透析：理解平面向量基本定理的实质，理解基底的概念，会用给定的基底表示向量.二、知识概述： 平面向量基本定理及其应用平面向量基本定理如果 12e， 是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量 a ，有且只有一对实数 12， ，使 .其中，不共线的向量 12e， 叫做表示这一平面内所有向量的一 组基底平面向量基本定理及其应
2、用策略：平面向量基本定理又称向量的分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量 坐标表示的基础.用平面向量基本定理解决问题常用的思路是：先选择一组合适的基底，然后用平面向量基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算这对基底没有给定的情况下，合理的选取基 底解决问题带来很多 意想不到的便利.要熟练应用分点及中点的向量表达式.特别注意基底的不唯一性：只要两个向量不共 线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量 a 都可被这个平面的一组基底 12e， 线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的2【真题分析
3、】1. 【2017 课标 3，理 12】在矩形 ABCD 中， AB=1， AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若 AP= B+D，则 + 的最大值为（ ）A3 B2 C 5D2，所以有 可得 设 z.点 yxP,在圆 C 上，所以圆心到直线 的距离 rd,即 ，解得31z，可得 ，所以 的最大值是 3.【答案】A2. 【2014 福建,理 8】在下列向量组中，可以把向量 2,3a表示出来的是（ ）3A. B . C. D. 【答案】B3.【2015 高考四川，理 7】设四边形 ABCD 为平行四边形， 6AB， 4D.若点 M， N 满足3BMC， 2DN，则 AM
4、N（ ）A.20 B.15 C.9 D.6【解析】本题考点是平面向量的基本定理及向量的运算，由题意可知，所以 【答案】B6. 【优秀题】如图，在四边形 ABCD中， , 3AC，且 6AB， ，设 ，则 _.【答案】4.48.已知向量（1）若 /ab，求 tn的值； （2）若 求 的值。【答案】 （1） 4（2） .5【模拟考场】1. ABC中，点 E为 AB边的中点，点 F为 AC边的中点， BF交 CE于点 G，若 ，则 xy=（ ）A. 32B. 43 C.1 D. 23【答案】B2.已知 O、 A、 B 是平面上的三个点，直线 AB 上有一点 C，满足 2 0，则 ( )AC CB O
5、C A2 B 2 C D OA OB OA OB 23OA 13OB 13OA 23OB 【解析】依题 ，所以 .故选 A【答案】A63.如图，正方形 ABCD中， M是 的中点，若 ，则 （ ）A 43 B 53 C 158 D2 【答案】B4.设 FED,分别为 ABC的三边 AB,的中点，则 FCE（ ）A. A B. 21 C. 21 D. 【解析】根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在 BEF中， ，同理 ，【答案】 A75.已知 CBA,为圆 O上的三点，若 ，则 AB与 C的夹角为_【解析】由 ，故 ,BC三点共线，且 O是线段 中点，故 B是圆 O的直径，从而，因此 A与
6、 的夹角为 90. 【答案】 906.在平面直角坐标系中，给定 ABC，点 M为 的中点，点 N满足 2AC，点 P满足.（1）求 与 的值；（2）若 、三点坐标分别为 ，求 点坐标.由平面向量基本定理得 23，解得453.8（2） (,2)A、 (5,)B、 (3,0)C，由于 M为 BC中点， (1,) . 设 ,Pxy，又由（1）知 4AP所以可得 ，解之得652xy所以 P点的坐标为 62(,)5.【答案】 （1）435；（2） P点的坐标为 62(,)5.7.已知点 O为坐标原点， (0,)A， (4,6)B， (1)求点 M在第二或第三象限的充要条件 ；(2)求证：当 1t时，不论 2t为何实数， M、 、 三点都共线；(3)若 2a，求当 ur且 的面积为 12 时 a的值(2)证明：当 1t时， 由(1)知 ， ABM、 、 三点共线(3)当 21ta时， 9又 (4,)ABur， OMABur，故 又 42ABur，点 到直线 的距离：.， 解得 2a，故所求 a的值为 2.8.如图，在平面直角坐标系 xoy 中，向量 (1)OP，,将数轴 Oy 绕着 O 点顺时针旋转 03到 Oy,设12,e分别是与 Ox 轴、 y轴正方向同向的单位向量，若向量 ,求 cosP的值.
