1、第十五讲 概 率,总纲目录,(1)(2018湖南益阳、湘潭调研)若正方形ABCD的边长为4,E 为四边上任意一点,则AE的长度大于5的概率等于 ( ) A. B. C. D. (2)(2018课标全国,10,5分)下图来自古希腊数学家希波克拉底 所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为 直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.ABC的三边所围成的 区域记为,黑色部分记为,其余部分记为.在整个图形中随 机取一点,此点取自,的概率分别记为p1,p2,p3,则 ( ),A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p3 (3)(2018广西南宁二中、柳州高中
2、联考)老师计划在晚自习19:00 20:00解答同学甲、乙的问题,预计解答完一个学生的问题需要 20分钟.若甲、乙两人在晚自习的任意时刻去问问题是互不影响,的,则两人独自去时不需要等待的概率是 ( ) A. B. C. D.,答案 (1)D (2)A (3)B,解析 (1)设M,N分别为BC,CD上靠近点C的四等分点,则当E在线 段CM,CN(不包括M,N)上时,AE的长度大于5,因为正方形的周长 为16,CM+CN=2,所以AE的长度大于5的概率等于 = ,故选D. (2)本题主要考查几何概型概率的求法. 不妨设BC=5,AB=4,AC=3,则ABC三边所围成的区域的面积S1 = 34=6,
3、区域的面积S3= -S1= -6,区域的面积S2=22+ - =6,所以S1=S2S3,由几何概型的概率公式 可知p1=p2p3,故选A.,(3)设甲、乙两人分别在晚上19:00过x,y分钟后去问问题,则依题 意知,x,y应满足 作出该不等式组表示的平面区域,如图 中阴影部分所示,则所求概率P= = .故选B.,方法归纳 求解几何概型的概率应把握两点 (1)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角 等时,应考虑使用几何概型的概率公式求解. (2)寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域,有时需要 设出变量,在坐标系中表示所需要的区域. 提醒 利用几何概型求概率时,关键是对试验的
4、全部结果构成 的区域和事件发生的区域的寻找,有时需要设出变量,在坐标系中 表示所需要的区域.,1.(2017甘肃张掖第一次诊断)在区间0,上随机取一个数,则使 sin + cos 2成立的概率为 .,答案,解析 由 sin + cos 2,得 sin 1,结合 0,得 ,使 sin + cos 2成立的概率为= .,2.(2018河北唐山五校联考)向圆(x-2)2+(y- )2=4内随机投掷一点, 则该点落在x轴下方的概率为 .,答案 -,解析 圆(x-2)2+(y- )2=4与x轴的交点坐标为(1,0),(3,0),设A(1,0), B(3,0),圆心C(2, ),易得三角形ABC是边长为2
5、的正三角形,所以 圆(x-2)2+(y- )2=4在x轴下方的面积为 - = - ,则该点落 在x轴下方的概率P= = - .,(2018天津,15)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数 分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去 某敬老院参加献爱心活动. (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人? (2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2 名同学承担敬老院的卫生工作. 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果; 设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的 概率.,解析 (1)由已知,甲、乙、丙三个年
6、级的学生志愿者人数之比为 322,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从 甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人. (2)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为A, B,A,C,A,D,A,E,A,F,A,G,B,C,B,D,B,E,B,F,B, G,C,D,C,E,C,F,C,G,D,E,D,F,D,G,E,F,E,G, F,G,共21种. 由(1),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙 年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽 取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为A,B,A,C,B,C,D,E,F,G,
7、共5种. 所以,事件M发生的概率P(M)= .,方法归纳 求古典概型概率的方法 正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数. (1)对于较复杂的题目,列出事件时要正确分类,分类时应不重不 漏. (2)当直接求解有困难时,可考虑求出所求事件的对立事件的概 率.,1.(2018课标全国,5,5分)从2名男同学和3名女同学中任选2人参 加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为 ( ) A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3,答案 D 设两名男同学为A,B,三名女同学为a,b,c,则从5人中任 选2人有(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b)
8、,(a,c),(b,c),(A,B),共1 0种.2人都是女同学的有(a,b),(a,c),(b,c),共3种,所以所求概率为 =0.3.,2.(2018江西南昌模拟)甲邀请乙、丙、丁三人加入了“兄弟”这 个微信群聊,为庆祝兄弟相聚,甲发了一个9元的红包,被乙、丙、 丁三人抢完,已知三人抢到的钱数均为整数,且每人至少抢到2元, 则丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他两人)的概 率是 ( ) A. B. C. D.,答案 C 设乙、丙、丁分别抢到x元、y元、z元,记为(x,y,z),则 基本事件有:(2,2,5),(2,5,2),(5,2,2),(2,3,4),(2,4,3),(3,2,
9、4),(3,4,2),(4,3, 2),(4,2,3),(3,3,3),共10个,其中符合丙获得“手气最佳”的有4个, 所以丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他两人)的 概率P= = .故选C.,(1)计算这40名广场舞者中年龄分布在40,70)的人数; (2)若从年龄在20,40)的广场舞者中任选2名,求这2名广场舞者中 恰有一人年龄在30,40)的概率.,解析 (1)由题知,这40名广场舞者中年龄分布在40,70)的人数为 (0.02+0.03+0.025)1040=30. (2)由频率分布直方图可知,年龄在20,30)的有2人,分别记为a1,a2, 年龄在30,40)的有4人,分
10、别记为b1,b2,b3,b4. 现从这6人中任选2人,共有如下15种选法:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b 3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4),(b1,b2),(b1,b3),(b1,b4),(b2,b3),(b2,b4), (b3,b4). 其中恰有一人年龄在30,40)的有8种, 故这2名广场舞者中恰有一人年龄在30,40)的概率P= .,命题角度二:统计案例与概率的综合问题(2018辽宁沈阳质量监测)为调查中国及美国的高中生在“家” “朋友聚集的地方”“个人空间”这三个场所中感到最幸福的 场所是哪个,从中国某城市
11、的高中生中随机抽取了55人,从美国某 城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生的答题情 况:选择“家”的高中生的人数占 ,选择“朋友聚集的地方”的 高中生的人数占 ,选择“个人空间”的高中生的人数占 ;美 国高中生的答题情况:选择“家”的高中生的人数占 ,选择“朋 友聚集的地方”的高中生的人数占 ,选择“个人空间”的高中,生的人数占 . (1)请根据以上调查结果将下面的22列联表补充完整,并判断能 否有95%的把握认为“恋家(在家里感到最幸福)”与国别有关;,(2)从被调查的不“恋家”的美国高中生中,用分层抽样的方 法随机选出4人接受进一步调查,再从4人中随机选出2人到中国 交流学习
12、,求2人中含有在“个人空间”感到最幸福的高中生的 概率. 附:K2= ,其中n=a+b+c+d.,解析 (1)补充22列联表如下:,K2= 4.6283.841, 有95%的把握认为“恋家”与国别有关. (2)用分层抽样的方法选出4人,其中在“朋友聚集的地方”感到 最幸福的有3人,分别记a1,a2,a3,在“个人空间”感到最幸福的有1 人,记为b,则所有的基本事件为(a1,a2),(a1,a3),(a1,b),(a2,a3),(a2,b),(a3, b),共6个.,设“含有在个人空间感到最幸福的高中生”为事件A, 则A包含的基本事件为(a1,b),(a2,b),(a3,b),共3个, P(A)
13、= = , 故2人中含有在“个人空间”感到最幸福的高中生的概率为 .,命题角度三:概率的实际应用2017年全国两会继续关注了乡村教师的发展问题,随着城乡 发展失衡,乡村教师的待遇得不到保障,乡村教师流失现象严重, 教师短缺会严重影响乡村孩子的教育问题,为此,某市今年要为某 所乡村中学储备招聘未来三年的教师,现在每招聘一名教师需要 2万元,若三年后教师严重短缺时再进行招聘,由于各种因素,则每 招聘一名教师需要5万元,已知现在该乡村中学无多余教师,为决 策应储备招聘多少名乡村教师,该乡村中学的工作人员搜集并整 理了该市100所乡村中学在过去三年内流失的教师数,得到的条 形图如图所示,x表示一所乡村
14、中学在未来三年内流失的教师数,(单位:名),y表示未来四年内一所乡村中学在储备招聘教师上所 需的费用(单位:万元),n表示今年为该乡村中学储备招聘的教师 数,为保障乡村孩子的教育不受影响,若未来三年内教师有短缺, 则第四年马上招聘.,(1)若n=19,求y关于x的函数解析式; (2)若要求“三年内流失的教师数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;,(3)假设今年该市为这100所乡村中学的每一所都招聘了19名教 师或20名教师,分别计算该市未来四年内为这100所乡村中学储 备招聘教师所需费用的平均数,以此作为决策依据,今年该乡村中 学应招聘19名还是20名教师?,解析 (1)当x19时,y
15、=192=38;当x19时,y=38+5(x-19)=5x-57, 所以y关于x的函数解析式为y= (xN). (2)由条形统计图知,三年内流失的教师数不大于18的频率为0.46, 不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19. (3)若每所乡村中学在今年都招聘19名教师,则未来四年内这100 所乡村中学中有70所在储备招聘教师上所需的费用为38万元,20 所在储备招聘教师上所需的费用为43万元,10所在储备招聘教师 上所需的费用为48万元,因此未来四年内这100所乡村中学在储 备招聘教师上所需费用的平均数为 (3870+4320+4810)= 40(万元).,若每所乡村中学在今年都招聘20名
16、教师,则这100所乡村中学中 有90所在储备招聘教师上所需的费用为40万元,10所在储备招聘 教师上所需的费用为45万元,因此未来四年内这100所乡村中学 在储备招聘教师上所需费用的平均数为 (4090+4510)= 40.5(万元). 比较两个平均数可知,今年应为该乡村中学招聘19名教师.,方法归纳 解答概率与统计综合问题的两点注意 (1)明确频率与概率的关系,频率可近似替代概率. (2)此类问题中的概率模型多是古典概型,在求解时,要明确基本 事件的构成.,(2018贵州贵阳模拟)A市某校学生社团针对“A市的发展环境” 对男、女各10名学生进行问卷调查,每名学生给出评分(满分100 分),得到如图(1)所示的茎叶图.,(1)计算女生打分的平均分,并根据茎叶图判断男生、女生打分谁 更分散(不必说明理由); (2)如图(2)是按该20名学生的评分绘制的频率分布直方图(每个 分组包含左端点,不包含右端点),求a的值; (3)从打分在70分以下(不含70分)的学生中抽取2人,求有女生被 抽中的概率.,
