1、1第十一讲 直线与圆1.(2018吉林长春检测)已知圆 x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标为(a,b),则 a2+b2=( )A.8 B.16 C.12 D.132.(2018贵州贵阳模拟)经过三点 A(-1,0),B(3,0),C(1,2)的圆的面积 S=( )A. B.2 C.3 D.43.已知圆 C的圆心是直线 x-y+1=0与 x轴的交点,且圆 C与直线 x+y+3=0相切,则圆 C的方程是( )A.(x+1)2+y2=2 B.(x+1)2+y2=8C.(x-1)2+y2=2 D.(x-1)2+y2=84.(2018课标全国,8,5 分)直线 x+y+2=0分别与 x轴,y 轴交于
2、A,B两点,点 P在圆(x-2) 2+y2=2上,则ABP 面积的取值范围是( )A.2,6 B.4,8 C. ,3 D.2 ,3 2 2 2 25.(2018河南开封模拟)已知圆 C:(x-1)2+(y-2)2=2与 y轴在第二象限所围区域的面积为 S,直线 y=2x+b将圆 C分成两部分,其中一部分的面积也为 S,则 b=( )A.- B. C.- D.6 6 5 56.已知 P(x,y)是直线 kx+y+4=0(k0)上一点,PA 是圆 C:x2+y2-2y=0的一条切线,A 是切点,若 PA长度的最小值为 2,则 k的值为( )A.3 B. C.2 D.2212 27.(2018河南郑
3、州质量预测)若直线 ax+2y+3a=0与直线 3x+(a-1)y=a-7平行,则 a= . 8.已知直线 ax+y-1=0与圆 C:(x-1)2+(y+a)2=1相交于 A、B 两点,且ABC 为等腰直角三角形,则实数 a的值为 . 9.已知圆 C:(x-1)2+(y-2)2=2.y轴被圆 C截得的弦长与直线 y=2x+b被圆 C截得的弦长相等,则 b= . 10.(2018广西南宁二中、柳州高中联考)过点( ,0)的直线 l与曲线 y= 相交于 A,B两点,O 为2 1-x2坐标原点,当AOB 的面积取最大值时,直线 l的斜率等于 . 11.已知点 P(2,2),圆 C:x2+y2-8y=
4、0,过点 P的动直线 l与圆 C交于 A,B两点,线段 AB的中点为 M,O为坐标原点.(1)求 M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求 l的方程及POM 的面积.212.在平面直角坐标系 xOy中,曲线 :y=x 2-mx+2m(mR)与 x轴交于不同的两点 A,B,与 y轴交于点 C.(1)是否存在以 AB为直径的圆过点 C?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由;(2)求证:过 A,B,C三点的圆过定点.13.(2018广东广州调研)已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,抛物线上存在一点 E(2,t)到焦点 F的距离等于 3.(1)求抛物线 C的方程;(2)过点
5、 K(-1,0)的直线 l与抛物线 C相交于 A,B两点(A,B 两点在 x轴上方),点 A关于 x轴的对称点为D,且 FAFB,求ABD 的外接圆的方程.14.在平面直角坐标系 xOy中,已知圆 C与 y轴相切,且过点 M(1, ),N(1,- ).3 3(1)求圆 C的方程;(2)已知直线 l与圆 C交于 A,B两点,且直线 OA与直线 OB的斜率之积为-2.求证:直线 l恒过定点,并求出定点的坐标.3答案精解精析1.D 由圆的一般方程 x2+y2-4x+6y=0得到圆的标准方程为(x-2) 2+(y+3)2=13,所以圆心为(2,-3),即a=2,b=-3,所以 a2+b2=22+(-3
6、)2=13.故选 D.2.D 通解:设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0),将(-1,0),(3,0),(1,2)代入圆的方程可得解得 D=-2,E=0,F=-3,满足 D2+E2-4F0,所以圆的方程为(x-1) 2+y2=4,所以圆1-D+F=0,9+3D+F=0,1+4+D+2E+F=0,的半径 r=2,所以 S=4.故选 D.优解:根据 A,B两点的坐标特征可知圆心在直线 x=1上,设圆心坐标为(1,a),则 r= =|a-2|,所以4+a2a=0,r=2,所以 S=4,故选 D.3.A 根据题意知,圆 C的圆心为(-1,0).因为圆与直线 x+y+3=0相
7、切,所以半径为圆心到切线的距离,即r=d= = ,则圆的方程为(x+1) 2+y2=2.|-1+0+3|12+12 24.A 圆心(2,0)到直线 x+y+2=0的距离为 =2 ,圆的半径为 ,|2+2|2 2 2设点 P到直线的距离为 d,则 dmin=2 - = ,2 2 2dmax=2 + =3 ,2 2 2又易知 A(-2,0),B(0,-2),|AB|=2 ,2(S ABP )min= |AB|dmin12= 2 =2,12 2 2(SABP )max= |AB|dmax= 2 3 =6.12 12 2 2ABP 面积的取值范围是2,6.故选 A.45.D 结合图形(图略)及题意知,
8、圆心 C(1,2)到 y轴的距离与到直线 y=2x+b的距离相等,易知 C(1,2)到y轴的距离为 1,则 =1,解得 b= ,故选 D.|21-2+b|22+(-1)2 56.D 圆 C:x2+y2-2y=0的圆心坐标是(0,1),半径 r=1,PA 是圆 C:x2+y2-2y=0的一条切线,A 是切点,PA 长度的最小值为 2,PC 长度的最小值为 =12+22.5由点到直线的距离公式可得 = .k0,k=2,故选 D.|1+4|k2+1 57.答案 3解析 由直线 ax+2y+3a=0与直线 3x+(a-1)y+7-a=0平行,可得 解得a(a-1)-23=0,a(7-a)-33a 0,
9、故 a=3.a=3或 a= -2,a 0且 a -2,8.答案 1解析 由题意得圆心(1,-a)到直线 ax+y-1=0的距离为 ,所以 = ,解得 a=1.22 |a-a-1|1+a2 229.答案 5解析 在(x-1) 2+(y-2)2=2中,令 x=0,得(y-2) 2=1,解得 y1=3,y2=1,则 y轴被圆 C截得的弦长为 2,所以直线 y=2x+b被圆 C截得的弦长为 2,所以圆心 C(1,2)到直线 y=2x+b的距离为 1,即 =1,解得|21-2+b|5b= .510.答案 -33解析 解法一:设点 P( ,0),结合题意可设直线 l的方程为 y=k(x- )(k0,得 k
10、20,得 m21.2于是,S AOB =|SAOP -SBOP |= |OP|y1-y2|= |OP| = 12 12 (y1+y2)2-4y1y212 2= = ,(-22m1+m2)2- 41+m2 2m2-11+m2 12(2+m2-1)1+m2 12当且仅当 即 m=- 时取等号.2= m2-1,m0,x1+x2=m,x1x2=2m.令 x=0,得 y=2m,即 C(0,2m).(1)若存在以 AB为直径的圆过点 C,则 =0,得 x1x2+4m2=0,即 2m+4m2=0,ACBC所以 m=0或 m=- .12由 0 得 m8,所以 m=- ,12此时 C(0,-1),AB的中点 M
11、 即为圆心,半径 r=|CM|= ,故所求圆的方程为 +y2= .(-14,0) 174 (x+14)2 1716(2)证明:设过 A,B两点的圆的方程为 x2+y2-mx+Ey+2m=0,将(0,2m)代入,可得 E=-1-2m,所以过 A,B,C三点的圆的方程为 x2+y2-mx-(1+2m)y+2m=0,整理得 x2+y2-y-m(x+2y-2)=0.令 可得 或x2+y2-y=0,x+2y-2=0, x=0,y=1 x=25,y=45,故过 A,B,C三点的圆过定点(0,1)和 .(25,45)13.解析 (1)抛物线的准线方程为 x=- ,p2所以点 E(2,t)到焦点 F的距离为
12、2+ =3,p2解得 p=2.所以抛物线 C的方程为 y2=4x.(2)解法一:设直线 l的方程为 x=my-1(m0).将 x=my-1代入 y2=4x,并整理得 y2-4my+4=0,由 =(-4m) 2-160,解得 m1.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 D(x1,-y1),y1+y2=4m,y1y2=4,所以 =(x1-1)(x2-1)+y1y2=(1+m2)y1y2-2m(y1+y2)+4=8-4m2,FAFB因为 FAFB,所以 =0,FAFB7即 8-4m2=0,结合 m1,解得 m= .2所以直线 l的方程为 x- y+1=0.2设 AB的中点坐标为(x 0,y0)
13、,则 y0= =2m=2 ,x0=my0-1=3,y1+y22 2所以线段 AB的垂直平分线方程为 y-2 =- (x-3).2 2因为线段 AD的垂直平分线方程为 y=0,所ABD 的外接圆圆心坐标为(5,0).因为圆心(5,0)到直线 l的距离 d=2 ,3且|AB|= =4 ,1+m2 (y1+y2)2-4y1y2 3所以圆的半径 r= =2 .d2+(|AB|2)2 6所以ABD 的外接圆的方程为(x-5) 2+y2=24.解法二:依题意可设直线 l:y=k(x+1)(k0).将直线 l与抛物线 C的方程联立,并整理得 k2x2+(2k2-4)x+k2=0.由 =(2k 2-4)2-4
14、k40,结合 k0,得 00,又圆 C与 y轴相切,所以圆 C的半径 r=a,8所以圆 C的方程为(x-a) 2+y2=a2.因为点 M(1, )在圆 C上,3所以(1-a) 2+( )2=a2,解得 a=2.3所以圆 C的方程为(x-2) 2+y2=4.(2)记直线 OA的斜率为 k(k0),则其方程为 y=kx.联立,得 消去 y,得(k 2+1)x2-4x=0,(x-2)2+y2=4,y=kx, 解得 x1=0,x2= .所以 A .4k2+1 ( 4k2+1,4kk2+1)由 kkOB=-2,得 kOB=- ,故直线 OB的方程为 y=- x,2k 2k在点 A的坐标中用- 代换 k,
15、得 B .2k (4k2k2+4,-8kk2+4)当直线 l的斜率不存在时, = ,得 k2=2,此时直线 l的方程为 x= .4k2+1 4k2k2+4 43当直线 l的斜率存在时, ,即 k22,4k2+1 4k2k2+4则直线 l的斜率为 = = = .4kk2+1-8kk2+44k2+1-4k2k2+44k(k2+4)+8k(k2+1)4(k2+4)-4k2(k2+1)3k(k2+2)4-k4 3k2-k2故直线 l的方程为 y- = ,4kk2+1 3k2-k2(x- 4k2+1)即 y= ,所以直线 l过定点 .3k2-k2(x-43) (43,0)综上,直线 l恒过定点,定点坐标为 .(43,0)
