1、1引领一 命题有纲数学核心素养与高考命题教育部考试中心在 2018 年高考考试大纲中，着重明确了高考“考什么” ，即：必备知识、关键能力、学科素养、核心价值。教育部发布了普通高中课程方案和各科课程标准 ，此次课程标准的修订力度较大，并首次提出凝练“学科核心素养” 。可以预见，对学科核心素养的考查，将是今后高考的重要内容。那么，高考数学科目的核心素养是什么？它们在高考试题中怎样呈现和考查？对复习备考有哪些要求？这是我们关注的重点内容 。 一、数学核心素养是什么数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模、数学运算、数据分析。主要表现在用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的
2、语言表达现实世界。1数学抽象舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。主要包括从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。具体表现：形成数学概念与规则；形成数学命题与模型；形成数学方法与思想；形成数学结构与体系。2逻辑推理从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。主要包括两类，一类是从小范围成立的命题推断更大范围内成立的命题的推理，推理形式主要有归纳推理、类比推理；一类是从大范围成立的命题推断小范围内成立的命题的推理，推理形式主要有演绎推理。具体表现：发现和提出命题；掌握
3、推理的基本形式和规则；探索和表述论证的过程；构建命题体系；表达与交流。3直观想象借助空间想象感知事物的形态与变化，利用几何图形理解和解决数学问题。主要包括利用图形描述数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。具体表现：利用图形描述数学问题；利用图形理解数学问题；利用图形探索和解决数学问题；构建数学问题的直观模型。4数学建模对现实问题进行抽象，用数学语言表达和解决问题的过程。主要包括在实际情境中，从数学的视角提出问题、分析问题、表达问题、构建模型、求解结论、验证结果、改进模型，最终得到符合实际的结果。具体表现：发现和提出问题；建立模型；求解模型；检验结果和完善模型。
4、25数学运算在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题。主要包括理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果。具体表现：理解运算对象；掌握运算法则；探索运算思想；设计运算程序。6数据分析从数据中获得有用信息，形成知识。主要包括收集数据提取信息，利用图表展示数据，构建模型分析数据，解释数据获取知识。具体表现：数据获取；数据分析；知识构建。二、数学核心素养怎么考1数学抽象通过由具体的实例概括一般性结论，看我们能否在综合的情境中学会抽象出数学问题，并在得到数学结论的基础上形成新的命题，以此考查数学抽象素养。【例 1】 (2018全国卷)已知 f (x)是定
5、义域为(，)的奇函数，满足 f (1 x) f (1 x)。若 f (1)2，则 f (1) f (2) f (3) f (50)( )A50 B0C2 D50【命题立意】 本题主要考查函数的奇偶性和周期性，旨在考查学生探究数学本质的能力。【解题思路】 解法一：因为 f (x)是定义域为(，)的奇函数，且 f (1 x) f (1 x)，所以 f (1 x) f (x1)，所以 f (3 x) f (x1) f (x1)，所以T4，因此 f (1) f (2) f (3) f (50)12 f (1) f (2) f (3) f (4) f (1) f (2)，因为 f (3) f (1)，
6、f (4) f (2)，所以 f (1) f (2) f (3) f (4)0，因为 f (2) f (2) f (2)，所以 f (2) 0，从而 f (1) f (2) f (3) f (50) f (1)2。故选 C。解法二：由题意可设 f (x)2sin ，作出 f (x)的部分图象如图所示。由图可知，( 2x)f (x)的一个周期为 4，所以 f (1) f (2) f (3) f (50)12 f (1) f (2) f (3)3 f (4) f (49) f (50)120 f (1) f (2)2，故选 C。【答案】 C(1)若函数 f (x)的图象有两个不同的对称中心，分别为
7、( a,0)，( b,0)，则 2|b a|为函数 f (x)的周期。(2)若函数 f (x)的图象有两条不同的对称轴，分别为直线 x a，直线 x b，则2|b a|为函数 f (x)的周期。(3)若函数 f (x)的图象有一个对称中心( a,0)，一条对称轴为直线 x b，且 a b，则4|b a|为函数 f (x)的周期。 2.逻辑推理通过提出问题和论证命题的过程，看我们能否选择合适的论证方法和途径予以证明，并能用准确、严谨的数学语言表述论证过程，以此考查逻辑推理素养。【例 2】 (2018全国卷)已知双曲线 C： y21， O 为坐标原点， F 为 C 的右x23焦点，过 F 的直线与
8、 C 的两条渐近线的交点分别为 M， N。若 OMN 为直角三角形，则|MN|( )A B332C2 D43【命题立意】 本题主要考查双曲线的几何性质、直线与直线的位置关系，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算。【解题思路】 因为双曲线 y21 的渐近线方程为 y x，所以 MON60。x23 33不妨设过点 F 的直线与直线 y x 交于点 M，由 OMN 为直角三角形，不妨设33 OMN90，则 MF O60，又直线 MN 过点 F (2,0)，所以直线 MN 的方程为y (x2)，由Error!得 Error!所以 M ，所以| OM| ，所以3 (
9、32， 32) (32)2 ( 32)2 3|MN| |OM|3，故选 B。34【答案】 B破解此类题的关键：一是会“用图” ，即根据图形的特征，寻找转化的桥梁，如本题，观察图形，快速寻找直角三角形中直角的位置；二是运算准确，求解圆锥曲线试题运算要准确。 3直观想象通过空间图形与平面图形的观察以及图形与数量关系的分析，通过想象对复杂的数学问题进行直观表达，看我们能否运用图形和空间想象思考问题，感悟事物的本质，形成解决问题的思路，以此考查直观想象素养。【例 3】 (2018全国卷)某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图所示。圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点
10、N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为( )A2 B217 5C3 D2【命题立意】 本题主要考查三视图及最短路径问题，考查考生的运算求解能力与空间想象能力，考查的数学核心素养是直观想象。【解题思路】 由三视图可知，该几何体为如图所示的圆柱，该圆柱的高为 2，底5面周长为 16。画出该圆柱的侧面展开图，如图所示，连接 MN，则 MS2， SN4，则从M 到 N 的路径中，最短路径的长度为 2 。故选 B。MS2 SN2 22 42 5【答案】 B4.数学建模通过实际应用问题的处理，看我们是否能够运用数学语言，清晰、准确地表达数学建模的过程和结
11、果，以此考查数学建模素养。【例 4】 (2018北京高考)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献。十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 。若第一个单音的频率为 f ，则第八个单音的频率为( )122A f B. f 32 322C. f D. f 1225 1227【命题立意】 本题以音律体系中的“十二平均律”为背景，有机的将我国古代音律方面的成就与数学中的等比数列结合在一起，考查考生的阅读理解能力、运算求解能力和分析问题、解决问题的能力，考查的
12、核心素养是数学建模。【解题思路】 从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 ，第一个单音的频率为 f ，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个122首项为 f ，公比为 的等比数列，记为 an，则第八个单音频率为122a8 f ( )81 f ，故选 D。122 1227【答案】 D5数学运算通过各类数学问题特别是综合性问题的处理，看我们能否做到明确运算对象，分析运算条件，选择运算法则，把握运算方向，设计运算程序，获取运算结果，以此考查数学运算素养。【例 5】 (2018全国卷)设 alog 0.20.3， blog 20.3，则( )A a b0， b0，所
13、以 ab0，即1a 1b 1a 1b a bababa b0。故选 B。【答案】 B6数据分析通过对概率与统计问题中大量数据的分析和加工，看我们能否获得数据提供的信息及其所呈现的规律，进而分析随机现象的本质特征，发现随机现象的统计规律，以此考查数据分析素养。【例 6】 (2018全国卷)如图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图。为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型。根据 2000 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1,2，17)建立模型： 30.413.5 t；根据 201
14、0 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为y 1,2，7)建立模型： 9917.5 t。y (1)分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由。【命题立意】 本题主要考查线性回归模型、折线统计图，意在考查数据处理能力、运算求解能力、图形的识别能力。考查的核心素养是数据分析。【解题思路】 (1)利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为30.413.519226.1(亿元)。y 利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为79917.59256.5(亿元)。y (2)利用
15、模型得到的预测值更可靠。理由如下：a从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5 t 上下，这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好y 地描述环境基础设施投资额的变化趋势。2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型 9917.5 t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此y 利用模型得
16、到的预测值更可靠。b从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型得到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠。以上 2 种理由，答出其中一种或其他合理理由均可。三、复习备考有哪些要求1要重视基本概念的复习从概念的定义出发，由表及里，去伪存真，掌握概念的本质属性，这是提升数学素养的必要条件。在概念复习中要避免模式化，避免机械套用有关结论。2要重视基本定理、公式的复习很多学生存在重应用轻推导的现象，就是只重视定理公式的应用，而忽视公式的推导、定理的证明。事实上，重视公式的推导、定理的证明，不仅有利
17、于理解与掌握定理和公式，理解公式之间的相互关系，而且还可以进一步挖掘公式中蕴含的数学思想，从而成为我们解决有关问题的敲门砖。3要重视基本技能的复习基本技能是数学基础知识的重要组成部分，在数学建模、数学运算以及数据分析等核心素养中都有它的影子，也是历年高考考查的重点。对基本技能的复习，主要包括掌握入手点、了解隐藏点与熟悉易错点。4要重视数学本质数学核心素养中的数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学知识的产生、发展、应用的全过程中。导数既是函数的一个重要概念，同时也是研究函数性质，解决函数有关问题的一个重要工具。复习中不仅仅要重视导数的概念、运算以及应用，还要突出导数的工具性，突出8导数在研究函数的有关性质、解决函数有关问题时的工具作用。5要重视中国古代数学文化近几年的高考试题增加了对中国传统文化进行考查的内容，将中国古代文明作为试题背景材料，体现中国传统文化对人类发展和社会进步的贡献。这类题目虽然难度不大，但是立意新颖，富有创新精神，特别是巧妙地利用我国优秀的传统文化设计试题，不仅使学生对我国的传统文化有所了解，同时也考查了学生的各种能力，如阅读能力、思维能力、运算能力、数据处理能力等，很好地渗透了数学的核心素养。
